Распределение ближайших соседей - Nearest neighbour distribution

Для использования в других целях см. Ближайший сосед.

В вероятности и статистике a функция ближайшего соседа, распределение расстояний до ближайших соседей,^[1] функция распределения ближайших соседей^[2] или же распределение ближайших соседей^[3] это математическая функция что определено в отношении математические объекты известный как точечные процессы, которые часто используются как математические модели физических явлений, представимых как случайно расположен точки во времени, пространстве или и там, и там.^[4][5] Более конкретно, функции ближайшего соседа определены относительно некоторой точки в точечном процессе как распределение вероятностей расстояния от этой точки до ближайшей соседней точки в том же точечном процессе, следовательно, они используются для описания вероятности существования другой точки на некотором расстоянии от точки. Функция ближайшего соседа можно противопоставить функция распределения сферических контактов, который определяется не по отношению к некоторой начальной точке, а скорее как распределение вероятностей радиуса сферы, когда она впервые встречается или вступает в контакт с точкой точечного процесса.

Функция ближайшего соседа используются при изучении точечных процессов.^[1][5][6] а также связанные области стохастическая геометрия^[4] и пространственная статистика,^[1][7] которые применяются в различных научный и инженерное дело дисциплины, такие как биология, геология, физика, и телекоммуникации.^[4][5][8][9]

Обозначение точечного процесса

Основная статья: Обозначение точечного процесса

Точечные процессы - это математические объекты, которые определены на некоторых базовых математическое пространство. Поскольку эти процессы часто используются для представления совокупностей точек, случайно разбросанных в пространстве, времени или и в том, и в другом, базовое пространство обычно d-размерный Евклидово пространство обозначается здесь как ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$, но их можно определить подробнее Абстрактные математические пространства.^[6]

Точечные процессы имеют множество интерпретаций, что отражается в различных типах обозначение точечного процесса.^[4][9] Например, если точка ${\displaystyle \textstyle x}$ принадлежит или является членом точечного процесса, обозначенного ${\displaystyle \textstyle {N}}$, то это можно записать как:^[4]

${\displaystyle \textstyle x\in {N},}$

и представляет точечный процесс, интерпретируемый как случайный набор. Как вариант, количество точек ${\displaystyle \textstyle {N}}$ расположен в некоторых Набор Бореля ${\displaystyle \textstyle B}$ часто записывается как:^[8][4][7]

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

что отражает случайная мера интерпретация точечных процессов. Эти два обозначения часто используются параллельно или взаимозаменяемо.^[4][7][8]

Определения

Функция ближайшего соседа

Функция ближайшего соседа, в отличие от функция распределения сферических контактов, определяется относительно некоторой точки точечного процесса, уже существующего в некоторой области пространства. Точнее, в какой-то момент точечного процесса ${\displaystyle \textstyle {N}}$функция ближайшего соседа - это распределение вероятностей расстояния от этой точки до ближайшей или ближайшей соседней точки.

Чтобы определить эту функцию для точки, расположенной в ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$ на, например, источник ${\displaystyle \textstyle o}$, то ${\displaystyle \textstyle d}$-размерный мяч ${\displaystyle \textstyle b(o,r)}$ радиуса ${\displaystyle \textstyle r}$ сосредоточен на источник о Считается. Учитывая точку ${\displaystyle \textstyle {N}}$ существующие в ${\displaystyle \textstyle o}$, то функция ближайшего соседа определяется как:^[4]

${\displaystyle D_{o}(r)=1-P({N}(b(o,r))=1\mid o).}$

куда ${\displaystyle \textstyle P({N}(b(o,r))=1\mid o)}$ обозначает условную вероятность того, что существует одна точка ${\displaystyle \textstyle {N}}$ находится в ${\displaystyle \textstyle b(o,r)}$ учитывая, что есть точка ${\displaystyle \textstyle {N}}$ расположен в ${\displaystyle \textstyle o}$.

Контрольная точка не обязательно должна быть в начале координат и может быть расположена в произвольной точке. ${\displaystyle \textstyle x\in {\textbf {R}}^{d}}$. Учитывая точку ${\displaystyle \textstyle {N}}$ существующие в ${\displaystyle \textstyle x}$, то функция ближайшего соседа, определяется как:

${\displaystyle D_{x}(r)=1-P({N}(b(x,r))=1\mid x).}$

Примеры

Математические выражения распределения ближайших соседей существуют только для нескольких точечных процессов.

Точечный процесс Пуассона

Для Точечный процесс Пуассона ${\displaystyle \textstyle {N}}$ на ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$ с мера интенсивности ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ функция ближайшего соседа:

${\displaystyle D_{x}(r)=1-e^{-\Lambda (b(x,r))},}$

который для однородного случая принимает вид

${\displaystyle D_{x}(r)=1-e^{-\lambda |b(x,r)|},}$

куда ${\displaystyle \textstyle |b(x,r)|}$ обозначает объем (или, более конкретно, Мера Лебега ) (гипер) шара радиуса ${\displaystyle \textstyle r}$. В плоскости ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{2}}$ с точкой отсчета, расположенной в начале координат, это становится

${\displaystyle D_{x}(r)=1-e^{-\lambda \pi r^{2}}.}$

Связь с другими функциями

Функция распределения сферических контактов

В целом функция распределения сферических контактов и соответствующая функция ближайшего соседа не равны. Однако эти две функции идентичны для точечных процессов Пуассона.^[4] Фактически, эта характеристика обусловлена ​​уникальным свойством процессов Пуассона и их распределений Пальма, которое составляет часть результата, известного как Сливняк – Меке^[8] или же Теорема Сливняка.^[1]

J-функция

Тот факт, что сферическая функция распределения ЧАС_s(р) и функция ближайшего соседа D_о(р) идентичны для точечного процесса Пуассона, могут использоваться для статистической проверки, являются ли данные точечного процесса данными точечного процесса Пуассона. Например, в пространственной статистике J-функция определена для всех р ≥ 0 как:^[4]

${\displaystyle J(r)={\frac {1-D_{o}(r)}{1-H_{s}(r)}}}$

Для точечного процесса Пуассона J функция просто J(р) = 1, поэтому он используется как непараметрический проверить, ведут ли данные себя так, как если бы они были получены от процесса Пуассона. Однако считается возможным построить непуассоновские точечные процессы, для которых J(р) = 1,^[10] но такие контрпримеры рассматриваются некоторыми как несколько «искусственные» и существуют для других статистических тестов.^[11]

В более общем смысле, J-функция служит одним способом (другие включают использование факторные меры момента^[1]) для измерения взаимодействия между точками в точечном процессе.^[4]

Смотрите также

• Факторный момент
• Размер локального объекта
• Момент измерения
• Функция распределения сферических контактов

Рекомендации

1. А. Баддели, И. Барань, Р. Шнайдер. Процессы пространственных точек и их приложения. Стохастическая геометрия: лекции, прочитанные на летней школе CIME в Мартина-Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г., страницы 1–75, 2007.
2. Торквато, С., Лу, Б., Рубинштейн, Дж. (1990). «Функция распределения ближайших соседей для систем на взаимодействующих частицах». Журнал физики A: математические и общие. 23 (3): L103 – L107. Дои:10.1088/0305-4470/23/3/005.
3. Догува, Сани I (1992). «Об оценке распределения ближайших соседей точка-объект F (y) для точечных процессов». Журнал статистических вычислений и моделирования. 41 (1–2): 95–107. Дои:10.1080/00949659208811393.
4. Д. Стоян, В. С. Кендалл, Дж. Меке, Л. Рушендорф. Стохастическая геометрия и ее приложения, том 2. Уайли Чичестер, 1995.
5. Д. Дж. Дейли и Д. Вер-Джонс. Введение в теорию точечных процессов. Vol. я. Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк). Спрингер, Нью-Йорк, второе издание, 2003 г.
6. Д. Дж. Дейли и Д. Вер-Джонс. Введение в теорию точечных процессов. Vol. {II}. Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк). Спрингер, Нью-Йорк, второе издание, 2008 г.
7. Дж. Моллер и Р. П. Ваагепетерсен. Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов. CRC Press, 2003. [1]
8. Ф. Баччелли и Б. Блащишин. Стохастическая геометрия и беспроводные сети, Том I - Теория, том 3, № 3-4 из Основы и тенденции в сети. Издательство NoW, 2009. [2]
9. Ф. Баччелли и Б. Блащишин. Стохастическая геометрия и беспроводные сети, Том II - Приложения, том 4, № 1-2 из Основы и тенденции в сети. Издательство NoW, 2009.
10. Бедфорд, Т., Ван ден Берг, Дж. (1997). «Замечание о J-функции Ван Лисхаута и Баддели для точечных процессов». Достижения в прикладной теории вероятностей. 29 (1): 19–25. Дои:10.2307/1427858. JSTOR  1427858.
11. Фоксолл, Роб, Баддели, Адриан (2002). «Непараметрические меры связи между пространственным точечным процессом и случайным набором с геологическими приложениями». Журнал Королевского статистического общества, серия C. 51 (2): 165–182. Дои:10.1111/1467-9876.00261.