Многомерная гамма-функция - Multivariate gamma function

В математика, то многомерная гамма-функция Γ_п является обобщением гамма-функция. Это полезно в многомерная статистика, появляясь в функция плотности вероятности из Wishart и обратные распределения Уишарта, а матричное вариативное бета-распределение.^[1]

У него есть два эквивалентных определения. Один задается следующим интегралом по ${\displaystyle p\times p}$ положительно определенный реальные матрицы:

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\int _{S>0}\exp \left(-{\rm {tr}}(S)\right)\left|S\right|^{a-(p+1)/2}dS,}$

(Обратите внимание, что ${\displaystyle \Gamma _{1}\left(a\right)}$ сводится к обычной гамма-функции). Другой, более полезный для получения числового результата:

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left[a+(1-j)/2\right].}$

Отсюда мы получаем рекурсивные отношения:

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma [a+(1-p)/2].}$

Таким образом

• ${\displaystyle \Gamma _{1}(a)=\Gamma (a)}$
• ${\displaystyle \Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)}$
• ${\displaystyle \Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)\Gamma (a-1)}$

и так далее.

Это также можно расширить до нецелых значений p с помощью выражения:

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}{\frac {G(a+{\frac {1}{2}})G(a+1)}{G(a+{\frac {1-p}{2}})G(a+1-{\frac {p}{2}})}}}$

Где G - это G-функция Барнса, то неопределенный продукт из Гамма-функция.

Функция получена Андерсоном^[2] из первых принципов, который также цитирует более ранние работы Вишрта, Махалаболиса и др.

Производные

Мы можем определить многомерную функция дигаммы в качестве

${\displaystyle \psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2),}$

и вообще полигамма функция в качестве

${\displaystyle \psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}(a+(1-i)/2).}$

Шаги расчета

• С

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right),}$

следует, что

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^{p}{\frac {\partial \Gamma \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)}{\partial a}}\prod _{j=1,j\neq i}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right).}$

• По определению функция дигаммы, ψ,

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a+(1-i)/2)}{\partial a}}=\psi (a+(i-1)/2)\Gamma (a+(i-1)/2)}$

следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}&=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+(1-j)/2)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2)\\[4pt]&=\Gamma _{p}(a)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2).\end{aligned}}}$

Рекомендации

1. Джеймс, Алан Т. (июнь 1964 г.). «Распределение матричных вариаций и скрытых корней, полученных из нормальных образцов». Анналы математической статистики. 35 (2): 475–501. Дои:10.1214 / aoms / 1177703550. ISSN  0003-4851.
2. Андерсон, Т. В. (1984). Введение в многомерный статистический анализ. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. гл. 7. ISBN  0-471-88987-3.

• 1. Джеймс, А. (1964). «Распределение матричных вариаций и скрытых корней, полученных из нормальных образцов». Анналы математической статистики. 35 (2): 475–501. Дои:10.1214 / aoms / 1177703550. МИСТЕР  0181057. Zbl  0121.36605.
• 2. А. К. Гупта и Д. К. Нагар 1999. "Матричные вариативные распределения". Чепмен и Холл.