В статистика, то матричное вариативное бета-распределение является обобщением бета-распространение. Если
это
положительно определенная матрица с матричным вариативным бета-распределением, и
реальные параметры, пишем
(иногда
). В функция плотности вероятности за
является:
![{ displaystyle left { beta _ {p} left (a, b right) right } ^ {- 1} det left (U right) ^ {a- (p + 1) / 2} det left (I_ {p} -U right) ^ {b- (p + 1) / 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b268cfa72892d530099b0be0d5b0224192eced)
Матричное вариативное бета-распределениеОбозначение | ![{ Displaystyle { rm {B}} _ {p} (а, б)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d97038d1521e99134a3ac30443612e93eabf4dc) |
---|
Параметры | ![а, б](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8) |
---|
Поддерживать | матрицы с обоими и положительно определенный |
---|
PDF | ![{ displaystyle left { beta _ {p} left (a, b right) right } ^ {- 1} det left (U right) ^ {a- (p + 1) / 2} det left (I_ {p} -U right) ^ {b- (p + 1) / 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b268cfa72892d530099b0be0d5b0224192eced) |
---|
CDF | ![{ displaystyle {} _ {1} F_ {1} left (a; a + b; iZ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fa280392bdd6bc7a040e6ff62f571f1b32dec89) |
---|
Здесь
это многомерная бета-функция:
![{ displaystyle beta _ {p} left (a, b right) = { frac { Gamma _ {p} left (a right) Gamma _ {p} left (b right)} { Gamma _ {p} left (a + b right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d20bd17598aec12c57eaff759effcb096fa75f)
куда
это многомерная гамма-функция данный
![{ Displaystyle Gamma _ {p} left (a right) = pi ^ {p (p-1) / 4} prod _ {i = 1} ^ {p} Gamma left (a- ( i-1) / 2 right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0632a53d243542e0595d7648e8bafcb3f3e4d451)
Теоремы
Распределение обратной матрицы
Если
тогда плотность
дан кем-то
![{ displaystyle { frac {1} { beta _ {p} left (a, b right)}} det (X) ^ {- (a + b)} det left (X-I_ { p} right) ^ {b- (p + 1) / 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec49a5c69a6cb070cd5cc7b73aff69a3df82d2da)
при условии, что
и
.
Ортогональное преобразование
Если
и
это постоянная
ортогональная матрица, тогда ![{ displaystyle HUH ^ {T} sim B (a, b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a33cb694f54323df3cbdab6cd28d65ed986c914)
Кроме того, если
является случайным ортогональным
матрица, которая независимый из
, тогда
распространяется независимо от
.
Если
любая постоянная
,
матрица классифицировать
, тогда
имеет Обобщенное матричное вариативное бета-распределение, конкретно
.
Результаты секционированной матрицы
Если
и мы разделяем
в качестве
![{ displaystyle U = { begin {bmatrix} U_ {11} & U_ {12} U_ {21} & U_ {22} end {bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe1bb15606144e75c5202e7eba9c7a19b6ea2de)
куда
является
и
является
, затем определяя Дополнение Шура
в качестве
дает следующие результаты:
является независимый из ![{ Displaystyle U_ {22 cdot 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18db6468c154351872540736defe5ef2f422163b)
![{ Displaystyle U_ {11} sim B_ {p_ {1}} left (a, b right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b521793993f9a2c2400b3f67e11cdaa43a10981)
![{ Displaystyle U_ {22 cdot 1} sim B_ {p_ {2}} left (a-p_ {1} / 2, b right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8822eb5eaa2ed086709210e9b6a3cd835f45e30)
имеет инвертированная матрица варьировать t распределение, конкретно ![{ displaystyle U_ {21} mid U_ {11}, U_ {22 cdot 1} sim IT_ {p_ {2}, p_ {1}} left (2b-p + 1,0, I_ {p_ { 2}} - U_ {22 cdot 1}, U_ {11} (I_ {p_ {1}} - U_ {11}) right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09bc10e23a77daecbfc9ab7a714ba42eb34420a8)
Результаты Wishart
Митра доказывает следующую теорему, которая иллюстрирует полезное свойство матричного вариативного бета-распределения. Предполагать
независимы Wishart
матрицы
. Предположить, что
является положительно определенный и это
. Если
![{ Displaystyle U = S ^ {- 1/2} S_ {1} left (S ^ {- 1/2} right) ^ {T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453ddb68c0412eaf96aeba3cc9b4868efb1cf2f3)
куда
, тогда
имеет матричное вариативное бета-распределение
. Особенно,
не зависит от
.
Смотрите также
Рекомендации
- А. К. Гупта и Д. К. Нагар 1999. "Матричные вариативные распределения". Чепмен и Холл.
- С. К. Митра 1970. "Бесплотный подход к матричному изменению бета-распределения". Индийский статистический журнал, серия A, (1961-2002), том 32, номер 1 (март 1970), стр 81-88.