В статистика, то матрица вариативное распределение Дирихле является обобщением матричное вариативное бета-распределение.
Предполагать
находятся
положительно определенные матрицы с
, куда
это
единичная матрица. Затем мы говорим, что
имеют матричное вариативное распределение Дирихле,
, если их совместное функция плотности вероятности является
![{ displaystyle left { beta _ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r}, a_ {r + 1} right) right } ^ {- 1} prod _ {i = 1} ^ {r} det left (U_ {i} right) ^ {a_ {i} - (p + 1) / 2} det left (I_ {p} - sum _ { i = 1} ^ {r} U_ {i} right) ^ {a_ {r + 1} - (p + 1) / 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e46e75b0604681a8e86ba6c537f8d86460810fe)
куда
и
это многомерная бета-функция.
Если мы напишем
тогда PDF принимает более простую форму
![{ displaystyle left { beta _ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} right) right } ^ {- 1} prod _ {i = 1} ^ {r + 1} det left (U_ {i} right) ^ {a_ {i} - (p + 1) / 2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c35063d5bb6dda2e1aeb097ae211feb0442fad8)
при том понимании, что
.
Теоремы
обобщение результата хи-квадрат-Дирихле
Предполагать
независимо распределены Wishart
положительно определенные матрицы. Затем, определяя
(куда
- сумма матриц и
разумная факторизация
), у нас есть
![{ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {r} right) sim D_ {p} left (n_ {1} / 2, ..., n_ {r + 1} / 2 верно).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ce2c19c55843c482678f24a535df2fdda88c53)
Маржинальное распределение
Если
, и если
, тогда:
![{ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {s} right) sim D_ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {s}, sum _ {i = s +1} ^ {r + 1} a_ {i} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54154d885753f47b35ed8f9b372a5c0322ac7f9)
Условное распространение
Кроме того, с теми же обозначениями, что и выше, плотность
дан кем-то
![{ displaystyle { frac { prod _ {i = s + 1} ^ {r + 1} det left (U_ {i} right) ^ {a_ {i} - (p + 1) / 2} } { beta _ {p} left (a_ {s + 1}, ldots, a_ {r + 1} right) det left (I_ {p} - sum _ {i = 1} ^ { s} U_ {i} right) ^ { sum _ {i = s + 1} ^ {r + 1} a_ {i} - (p + 1) / 2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344da901ae33d0f9ebd479b4c1f554196d708c40)
где мы пишем
.
разделенное распределение
Предполагать
и предположим, что
это раздел
(то есть,
и
если
). Затем, написав
и
(с
), у нас есть:
![{ displaystyle left (U _ {(1)}, ldots U _ {(t)} right) sim D_ {p} left (a _ {(1)}, ldots, a _ {(t)} верно).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5281a346a3fd7718207dd8b4a3390ef98f9ab6)
перегородки
Предполагать
. Определять
![{ displaystyle U_ {i} = left ({ begin {array} {rr} U_ {11 (i)} & U_ {12 (i)} U_ {21 (i)} & U_ {22 (i)}) end {array}} right) qquad i = 1, ldots, r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210f8e9bdbc95eb591ac1e31437461406fe3a9df)
куда
является
и
является
. Написание Дополнение Шура
у нас есть
![{ displaystyle left (U_ {11 (1)}, ldots, U_ {11 (r)} right) sim D_ {p_ {1}} left (a_ {1}, ldots, a_ {r +1} вправо)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e945294eab29daad2451cafa40aba9edebde7ac7)
и
![{ displaystyle left (U_ {22.1 (1)}, ldots, U_ {22.1 (r)} right) sim D_ {p_ {2}} left (a_ {1} -p_ {1} / 2 , ldots, a_ {r} -p_ {1} / 2, a_ {r + 1} -p_ {1} / 2 + p_ {1} r / 2 right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79befd7cf0722c9a6ff85193ab2e4e3f643a9923)
Смотрите также
Рекомендации
А. К. Гупта и Д. К. Нагар 1999. "Матричные вариативные распределения". Чепмен и Холл.