Неопределенный продукт - Indefinite product

В математика, то неопределенный продукт оператор является обратным оператором ${displaystyle Q(f(x))={frac {f(x+1)}{f(x)}}}$. Это дискретная версия геометрического интеграла геометрического исчисления, одного из неньютоновских исчислений. Некоторые авторы используют термин дискретное мультипликативное интегрирование.^{[нужна цитата ]}

Таким образом

${displaystyle Q(prod _{x}f(x))=f(x),.}$

Более точно, если ${displaystyle prod _{x}f(x)=F(x)}$, тогда

${displaystyle {frac {F(x+1)}{F(x)}}=f(x),.}$

Если F(Икс) является решением этого функционального уравнения для заданного ж(Икс), то так CF(Икс) для любой постоянной C. Таким образом, каждое неопределенное произведение фактически представляет собой семейство функций, различающихся мультипликативной константой.

Правило периода

Если ${displaystyle T}$ это период функции ${displaystyle f(x)}$ тогда

${displaystyle prod _{x}f(Tx)=Cf(Tx)^{x-1}}$

Подключение к неопределенной сумме

Неопределенный продукт можно выразить через неопределенная сумма:

${displaystyle prod _{x}f(x)=exp left(sum _{x}ln f(x)ight)}$

Альтернативное использование

Некоторые авторы используют фразу «неопределенный продукт» несколько иначе, но родственным образом, чтобы описать продукт, в котором не указано числовое значение верхнего предела.^[1] например

${displaystyle prod _{k=1}^{n}f(k)}$.

Правила

${displaystyle prod _{x}f(x)g(x)=prod _{x}f(x)prod _{x}g(x)}$

${displaystyle prod _{x}f(x)^{a}=left(prod _{x}f(x)ight)^{a}}$

${displaystyle prod _{x}a^{f(x)}=a^{sum _{x}f(x)}}$

Список неопределенных продуктов

Это список неопределенных продуктов ${displaystyle prod _{x}f(x)}$. Не все функции имеют неопределенное произведение, которое может быть выражено в элементарных функциях.

${displaystyle prod _{x}a=Ca^{x}}$

${displaystyle prod _{x}x=C,Gamma (x)}$

${displaystyle prod _{x}{frac {x+1}{x}}=Cx}$

${displaystyle prod _{x}{frac {x+a}{x}}={frac {C,Gamma (x+a)}{Gamma (x)}}}$

${displaystyle prod _{x}x^{a}=C,Gamma (x)^{a}}$

${displaystyle prod _{x}ax=Ca^{x}Gamma (x)}$

${displaystyle prod _{x}a^{x}=Ca^{{frac {x}{2}}(x-1)}}$

${displaystyle prod _{x}a^{frac {1}{x}}=Ca^{frac {Gamma '(x)}{Gamma (x)}}}$

${displaystyle prod _{x}x^{x}=C,e^{zeta ^{prime }(-1,x)-zeta ^{prime }(-1)}=C,e^{psi ^{(-2)}(z)+{frac {z^{2}-z}{2}}-{frac {z}{2}}ln(2pi )}=C,operatorname {K} (x)}$

(видеть К-функция )

${displaystyle prod _{x}Gamma (x)={frac {C,Gamma (x)^{x-1}}{operatorname {K} (x)}}=C,Gamma (x)^{x-1}e^{{frac {z}{2}}ln(2pi )-{frac {z^{2}-z}{2}}-psi ^{(-2)}(z)}=C,operatorname {G} (x)}$

(видеть G-функция Барнса )

${displaystyle prod _{x}operatorname {sexp} _{a}(x)={frac {C,(operatorname {sexp} _{a}(x))'}{operatorname {sexp} _{a}(x)(ln a)^{x}}}}$

(видеть суперэкспоненциальная функция )

${displaystyle prod _{x}x+a=C,Gamma (x+a)}$

${displaystyle prod _{x}ax+b=C,a^{x}Gamma left(x+{frac {b}{a}}ight)}$

${displaystyle prod _{x}ax^{2}+bx=C,a^{x}Gamma (x)Gamma left(x+{frac {b}{a}}ight)}$

${displaystyle prod _{x}x^{2}+1=C,Gamma (x-i)Gamma (x+i)}$

${displaystyle prod _{x}x+{frac {1}{x}}={frac {C,Gamma (x-i)Gamma (x+i)}{Gamma (x)}}}$

${displaystyle prod _{x}csc xsin(x+1)=Csin x}$

${displaystyle prod _{x}sec xcos(x+1)=Ccos x}$

${displaystyle prod _{x}cot x an(x+1)=C an x}$

${displaystyle prod _{x} an xcot(x+1)=Ccot x}$

Смотрите также

• Неопределенная сумма
• Интеграл продукта
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях
• Фрактальная производная

Рекомендации

1. Алгоритмы для нелинейных разностных уравнений высокого порядка., Мануэль Кауэрс

дальнейшее чтение

• http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Product.html -Бесконечные продукты с Mathematica
• http://www.math.rwth-aachen.de/MapleAnswers/660.html^{[постоянная мертвая ссылка ]} - ошибка в Maple V to Maple 8 при обработке неопределенного продукта
• Маркус Мюллер. Как добавить нецелое число членов и как произвести необычное бесконечное суммирование
• Маркус Мюллер, Дирк Шлейхер. Дробные суммы и эйлероподобные тождества

внешняя ссылка

• Сайт неньютоновского исчисления