К-функция - K-function

Для k-функции см. Функция Бейтмана.

В математика, то К-функция, обычно обозначается K(z), является обобщением гиперфакториальный к сложные числа, аналогично обобщению факториал к гамма-функция.

Формально K-функция определяется как

${\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\,dt\right].}$

Его также можно представить в закрытом виде как

${\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}$

где ζ '(z) обозначает производная из Дзета-функция Римана, ζ (а,z) обозначает Дзета-функция Гурвица и

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right]_{s=a}.}$

Другое выражение, использующее полигамма функция является^[1]

${\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)}$

Или используя сбалансированное обобщение полигамма-функции:^[2]

${\displaystyle K(z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}}$

где A Постоянная Глейшера.

Также можно показать, что для ${\displaystyle \alpha >0}$:

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln(K(x))dx-\int _{0}^{1}\ln(K(x))dx={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln(\alpha )-{\frac {1}{2}}\right)}$

Это можно показать, определив функцию ${\displaystyle f}$ такой, что:

${\displaystyle f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln(K(x))dx}$

Получение этого тождества теперь относительно ${\displaystyle \alpha }$ дает:

${\displaystyle f'(\alpha )=\ln(K(\alpha +1))-\ln(K(\alpha ))}$

Применяя правило логарифма, получаем

${\displaystyle f'(\alpha )=\ln \left({\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}\right)}$

По определению K-функции мы пишем

${\displaystyle f'(\alpha )=\alpha \ln(\alpha )}$

И так

${\displaystyle f(\alpha )={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln(\alpha )-{\frac {1}{2}}\right)+C}$

Настройка ${\displaystyle \alpha =0}$ у нас есть

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln(K(x))dx=\lim _{n\rightarrow 0}\left({\frac {1}{2}}n^{2}\left(\ln(n)-{\frac {1}{2}}\right)\right)+C}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln(K(x))dx=C}$

Теперь можно вывести указанное выше тождество.

K-функция тесно связана с гамма-функция и G-функция Барнса; для натуральных чисел п, у нас есть

${\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.}$

Проще говоря, можно написать

${\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}.}$

Первые значения:

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... ((последовательность A002109 в OEIS )).

Рекомендации

1. Виктор Сергеевич Адамчик. Полигамма-функции отрицательного порядка
2. Оливье Эспиноза Виктор Х. Молл. Обобщенная полигамма-функция. Интегральные преобразования и специальные функции Vol. 15, № 2, апрель 2004 г., стр. 101–115.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «К-функция». MathWorld.