Неопределенная сумма - Indefinite sum

В математика то неопределенная сумма оператор (также известный как антиразличие оператор), обозначаемый ${displaystyle sum _{x}}$ или же ${displaystyle Delta ^{-1}}$,^[1][2][3] это линейный оператор, инверсия оператор прямой разницы ${displaystyle Delta }$. Это относится к оператор прямой разницы как неопределенный интеграл относится к производная. Таким образом

${displaystyle Delta sum _{x}f(x)=f(x),.}$

Более точно, если ${displaystyle sum _{x}f(x)=F(x)}$, тогда

${displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x),.}$

Если F(Икс) является решением этого функционального уравнения для заданного ж(Икс), то так F(Икс)+С (х) для любой периодической функции С (х) с периодом 1. Таким образом, каждая неопределенная сумма фактически представляет собой семейство функций. Однако решение, равное его Серия Ньютон разложение уникально с точностью до аддитивной константы C. Это уникальное решение может быть представлено в виде формального степенного ряда оператора антиразличия: ${displaystyle Delta ^{-1}={frac {1}{e^{D}-1}}}$

Основная теорема дискретного исчисления

Неопределенные суммы можно использовать для вычисления определенных сумм по формуле:^[4]

${displaystyle sum _{k=a}^{b}f(k)=Delta ^{-1}f(b+1)-Delta ^{-1}f(a)}$

Определения

Формула суммирования Лапласа

${displaystyle sum _{x}f(x)=int _{0}^{x}f(t)dt-sum _{k=1}^{infty }{frac {c_{k}Delta ^{k-1}f(x)}{k!}}+C}$

куда ${displaystyle c_{k}=int _{0}^{1}{frac {Gamma (x+1)}{Gamma (x-k+1)}}dx}$ - числа Коши первого рода, также известные как числа Бернулли второго рода.^{[5][нужна цитата ]}

Формула Ньютона

${displaystyle sum _{x}f(x)=sum _{k=1}^{infty }{inom {x}{k}}Delta ^{k-1}[f]left(0ight)+C=sum _{k=1}^{infty }{frac {Delta ^{k-1}[f](0)}{k!}}(x)_{k}+C}$

куда ${displaystyle (x)_{k}={frac {Gamma (x+1)}{Gamma (x-k+1)}}}$ это падающий факториал.

Формула Фаульхабера

${displaystyle sum _{x}f(x)=sum _{n=1}^{infty }{frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}B_{n}(x)+C,,}$

при условии, что правая часть уравнения сходится.

Формула Мюллера

Если ${displaystyle lim _{x o {+infty }}f(x)=0,}$ тогда^[6]

${displaystyle sum _{x}f(x)=sum _{n=0}^{infty }left(f(n)-f(n+x)ight)+C.}$

Формула Эйлера – Маклорена

${displaystyle sum _{x}f(x)=int _{0}^{x}f(t)dt-{frac {1}{2}}f(x)+sum _{k=1}^{infty }{frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)+C}$

Выбор постоянного члена

Часто постоянная C в неопределенной сумме фиксируется из следующего условия.

Позволять

${displaystyle F(x)=sum _{x}f(x)+C}$

Тогда постоянная C фиксируется из условия

${displaystyle int _{0}^{1}F(x)dx=0}$

или же

${displaystyle int _{1}^{2}F(x)dx=0}$

В качестве альтернативы можно использовать сумму Рамануджана:

${displaystyle sum _{xgeq 1}^{Re }f(x)=-f(0)-F(0)}$

или в 1

${displaystyle sum _{xgeq 1}^{Re }f(x)=-F(1)}$

соответственно^[7][8]

Суммирование по частям

Основная статья: Суммирование по частям

Неопределенное суммирование по частям:

${displaystyle sum _{x}f(x)Delta g(x)=f(x)g(x)-sum _{x}(g(x)+Delta g(x))Delta f(x)}$

${displaystyle sum _{x}f(x)Delta g(x)+sum _{x}g(x)Delta f(x)=f(x)g(x)-sum _{x}Delta f(x)Delta g(x)}$

Определенное суммирование по частям:

${displaystyle sum _{i=a}^{b}f(i)Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-sum _{i=a}^{b}g(i+1)Delta f(i)}$

Правила периода

Если ${displaystyle T}$ это период функции ${displaystyle f(x)}$ тогда

${displaystyle sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C}$

Если ${displaystyle T}$ антипериод функции ${displaystyle f(x)}$, то есть ${displaystyle f(x+T)=-f(x)}$ тогда

${displaystyle sum _{x}f(Tx)=-{frac {1}{2}}f(Tx)+C}$

Альтернативное использование

Некоторые авторы используют фразу «неопределенная сумма» для описания суммы, в которой не указано числовое значение верхнего предела:

${displaystyle sum _{k=1}^{n}f(k).}$

В этом случае выражение в закрытой форме F(k) для суммы является решением

${displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x+1)}$

которое называется уравнением телескопирования.^[9] Это обратное обратная разница ${displaystyle abla }$ Он связан с оператором прямого антиразличия с помощью фундаментальной теоремы дискретного исчисления, описанной ранее.

Список неопределенных сумм

Это список неопределенных сумм различных функций. Не у каждой функции есть неопределенная сумма, которую можно выразить через элементарные функции.

Антиразличия рациональных функций

${displaystyle sum _{x}a=ax+C}$

${displaystyle sum _{x}x={frac {x^{2}}{2}}-{frac {x}{2}}+C}$

${displaystyle sum _{x}x^{a}={frac {B_{a+1}(x)}{a+1}}+C,,aotin mathbb {Z} ^{-}}$

куда ${displaystyle B_{a}(x)=-azeta (-a+1,x)}$, обобщенное к реальному порядку Полиномы Бернулли.

${displaystyle sum _{x}x^{a}={frac {(-1)^{a-1}psi ^{(-a-1)}(x)}{Gamma (-a)}}+C,,ain mathbb {Z} ^{-}}$

куда ${displaystyle psi ^{(n)}(x)}$ это полигамма функция.

${displaystyle sum _{x}{frac {1}{x}}=psi (x)+C}$

куда ${displaystyle psi (x)}$ это функция дигаммы.

${displaystyle sum _{x}B_{a}(x)=(x-1)B_{a}(x)-{frac {a}{a+1}}B_{a+1}(x)+C}$

Антиразличия экспоненциальных функций

${displaystyle sum _{x}a^{x}={frac {a^{x}}{a-1}}+C}$

Особенно,

${displaystyle sum _{x}2^{x}=2^{x}+C}$

Антиразличия логарифмических функций

${displaystyle sum _{x}log _{b}x=log _{b}Gamma (x)+C}$

${displaystyle sum _{x}log _{b}ax=log _{b}(a^{x-1}Gamma (x))+C}$

Антиразличия гиперболических функций

${displaystyle sum _{x}sinh ax={frac {1}{2}}operatorname {csch} left({frac {a}{2}}ight)cosh left({frac {a}{2}}-axight)+C}$

${displaystyle sum _{x}cosh ax={frac {1}{2}}operatorname {csch} left({frac {a}{2}}ight)sinh left(ax-{frac {a}{2}}ight)+C}$

${displaystyle sum _{x} anh ax={frac {1}{a}}psi _{e^{a}}left(x-{frac {ipi }{2a}}ight)+{frac {1}{a}}psi _{e^{a}}left(x+{frac {ipi }{2a}}ight)-x+C}$

куда ${displaystyle psi _{q}(x)}$ это q-дигамма функция.

Антиразличия тригонометрических функций

${displaystyle sum _{x}sin ax=-{frac {1}{2}}csc left({frac {a}{2}}ight)cos left({frac {a}{2}}-axight)+C,,,,aeq 2npi }$

${displaystyle sum _{x}cos ax={frac {1}{2}}csc left({frac {a}{2}}ight)sin left(ax-{frac {a}{2}}ight)+C,,,,aeq 2npi }$

${displaystyle sum _{x}sin ^{2}ax={frac {x}{2}}+{frac {1}{4}}csc(a)sin(a-2ax)+C,,,,,aeq npi }$

${displaystyle sum _{x}cos ^{2}ax={frac {x}{2}}-{frac {1}{4}}csc(a)sin(a-2ax)+C,,,,,aeq npi }$

${displaystyle sum _{x} an ax=ix-{frac {1}{a}}psi _{e^{2ia}}left(x-{frac {pi }{2a}}ight)+C,,,,aeq {frac {npi }{2}}}$

куда ${displaystyle psi _{q}(x)}$ это q-дигамма функция.

${displaystyle sum _{x} an x=ix-psi _{e^{2i}}left(x+{frac {pi }{2}}ight)+C=-sum _{k=1}^{infty }left(psi left(kpi -{frac {pi }{2}}+1-xight)+psi left(kpi -{frac {pi }{2}}+xight)-psi left(kpi -{frac {pi }{2}}+1ight)-psi left(kpi -{frac {pi }{2}}ight)ight)+C}$

${displaystyle sum _{x}cot ax=-ix-{frac {ipsi _{e^{2ia}}(x)}{a}}+C,,,,aeq {frac {npi }{2}}}$

Антиразличия обратных гиперболических функций

${displaystyle sum _{x}operatorname {artanh} ,ax={frac {1}{2}}ln left({frac {Gamma left(x+{frac {1}{a}}ight)}{Gamma left(x-{frac {1}{a}}ight)}}ight)+C}$

Антиразличия обратных тригонометрических функций

${displaystyle sum _{x}arctan ax={frac {i}{2}}ln left({frac {Gamma (x+{frac {i}{a}})}{Gamma (x-{frac {i}{a}})}}ight)+C}$

Антиразличия специальных функций

${displaystyle sum _{x}psi (x)=(x-1)psi (x)-x+C}$

${displaystyle sum _{x}Gamma (x)=(-1)^{x+1}Gamma (x){frac {Gamma (1-x,-1)}{e}}+C}$

куда ${displaystyle Gamma (s,x)}$ это неполная гамма-функция.

${displaystyle sum _{x}(x)_{a}={frac {(x)_{a+1}}{a+1}}+C}$

куда ${displaystyle (x)_{a}}$ это падающий факториал.

${displaystyle sum _{x}operatorname {sexp} _{a}(x)=ln _{a}{frac {(operatorname {sexp} _{a}(x))'}{(ln a)^{x}}}+C}$

(видеть суперэкспоненциальная функция )

Смотрите также

• Неопределенный продукт
• Расчет шкалы времени
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях

Рекомендации

1. Неопределенная сумма в PlanetMath.org.
2. О вычислении замкнутых форм для неопределенных сумм. Ю-Квонг Ман. J. Символическое вычисление (1993), 16, 355-376^{[постоянная мертвая ссылка ]}
3. "Если Y - функция, первое отличие которой - функция у, тогда Y называется неопределенной суммой у и обозначили Δ⁻¹у" Введение в разностные уравнения, Сэмюэл Голдберг
4. "Справочник по дискретной и комбинаторной математике", Кеннет Х. Розен, Джон Г. Майклс, CRC Press, 1999, ISBN  0-8493-0149-1
5. Числа Бернулли второго вида на Mathworld
6. Маркус Мюллер. Как добавить нецелое число членов и как произвести необычное бесконечное суммирование В архиве 2011-06-17 на Wayback Machine (обратите внимание, что в своей работе он использует несколько альтернативное определение дробной суммы, то есть обратное обратной разнице, поэтому 1 в качестве нижнего предела в его формуле)
7. Брюс С. Берндт, Записные книжки Рамануджана В архиве 2006-10-12 на Wayback Machine, Теория расходящихся рядов Рамануджана, Глава 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), стр. 133–149.
8. Эрик Делабэр, Подведение итогов Рамануджана, Семинар по алгоритмам 2001–2002 гг., Ф. Чизак (ред.), INRIA, (2003), стр. 83–88.
9. Алгоритмы для нелинейных разностных уравнений высокого порядка., Мануэль Кауэрс

дальнейшее чтение

• "Разностные уравнения: введение в приложения", Уолтер Г. Келли, Аллан С. Петерсон, Academic Press, 2001, ISBN  0-12-403330-X
• Маркус Мюллер. Как добавить нецелое число членов и как произвести необычное бесконечное суммирование
• Маркус Мюллер, Дирк Шлейхер. Дробные суммы и эйлероподобные тождества
• Поляков С.П. Неопределенное суммирование рациональных функций с дополнительной минимизацией суммируемой части. Программирование, 2008, т. 34, №2.
• «Конечно-разностные уравнения и моделирование», Фрэнсис Б. Хильдебранд, Пренктис-Холл, 1968 г.