Момент проблемы - Moment problem

В математика, а проблема момента возникает в результате попытки инвертировать отображение, которое требует мера μ к последовательностям моменты

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)\,.}$

В более общем плане можно рассмотреть

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }M_{n}(x)\,d\mu (x)\,.}$

для произвольной последовательности функций M_п.

Вступление

В классической постановке μ - мера на реальная линия, и M последовательность { Икс^п : п = 0, 1, 2, ...}. В этой форме вопрос появляется в теория вероятности, спрашивая, есть ли вероятностная мера указав иметь в виду, отклонение и так далее, и уникальна ли она.

Существует три названных классических проблемы моментов: Проблема моментов гамбургера в которой поддерживать из μ может быть целая реальная линия; то Проблема моментов Стилтьеса, для [0, + ∞); и Проблема моментов Хаусдорфа для ограниченного интервала, который не теряя общий смысл можно принять как [0, 1].

Существование

Последовательность чисел м_п последовательность моментов меры μ тогда и только тогда, когда выполняется определенное условие положительности; а именно Матрицы Ганкеля ЧАС_п,

${\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}\,,}$

должно быть положительный полуопределенный. Это связано с тем, что положительно-полуопределенная матрица Ганкеля соответствует линейному функционалу ${\displaystyle \Lambda }$ такой, что ${\displaystyle \Lambda (x^{n})=m_{n}}$ и ${\displaystyle \Lambda (f^{2})\geq 0}$ (неотрицательный для суммы квадратов многочленов). Предполагать ${\displaystyle \Lambda }$ может быть расширен до ${\displaystyle \mathbb {R} [x]^{*}}$. В одномерном случае неотрицательный многочлен всегда можно записать в виде суммы квадратов. Итак, линейный функционал ${\displaystyle \Lambda }$ положительна для всех неотрицательных многочленов в одномерном случае. По теореме Хэвиленда линейный функционал имеет форму меры, т. Е. ${\displaystyle \Lambda (x^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu }$. Условие аналогичного вида необходимо и достаточно для существования меры ${\displaystyle \mu }$ поддерживается на заданном интервале [а, б].

Один из способов доказать эти результаты - рассмотреть линейный функционал ${\displaystyle \varphi }$ который посылает многочлен

${\displaystyle P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}}$

к

${\displaystyle \sum _{k}a_{k}m_{k}.}$

Если м_кн моменты какой-то меры μ поддерживается на [а, б], то, очевидно,

${\displaystyle \varphi (P)\geq 0}$ для любого полинома п неотрицательный на [а, б].

(1)

Наоборот, если (1), можно применить Теорема М. Рисса о продолжении и продлить ${\displaystyle \phi }$ к функционалу на пространстве непрерывных функций с компактным носителем C₀([а, б]), так что

${\displaystyle \varphi (f)\geq 0}$ для любого ${\displaystyle f\in C_{0}([a,b]),\;f\geq 0.}$

(2)

Посредством Теорема Рисса о представлении, (2) выполняется тогда и только тогда, когда существует мера μ поддерживается на [а, б], такое что

${\displaystyle \varphi (f)=\int f\,d\mu }$

для каждого ƒ ∈ C₀([а, б]).

Таким образом, существование меры ${\displaystyle \mu }$ эквивалентно (1). Используя теорему о представлении положительных многочленов на [а, б], можно переформулировать (1) как условие на Матрицы Ганкеля.

Видеть Шохат и Тамаркин 1943 и Керин и Нудельман 1977 Больше подробностей.

Уникальность (или определенность)

Уникальность μ в проблеме моментов Хаусдорфа следует из Аппроксимационная теорема Вейерштрасса, в котором говорится, что многочлены находятся плотный под единая норма в пространстве непрерывные функции на [0, 1]. Для задачи на бесконечном интервале единственность - более тонкий вопрос; видеть Состояние Карлемана, Состояние Крейна и Ахиезер (1965).

Вариации

Важным изменением является усеченная проблема момента, изучающая свойства мер с фиксированными первыми k моменты (для конечного k). Результаты по усеченной проблеме моментов имеют многочисленные приложения к экстремальные проблемы, оптимизационные и предельные теоремы в теория вероятности. Смотрите также: Неравенства Чебышева – Маркова – Стилтьеса. и Керин и Нудельман 1977.

Смотрите также

• Проблема моментов Стилтьеса
• Проблема моментов гамбургера
• Проблема моментов Хаусдорфа
• Момент (математика)
• Состояние Карлемана
• Матрица Ганкеля

Рекомендации

• Шохат, Джеймс Александр; Тамаркин, Яков Д. (1943). Проблема моментов. Нью-Йорк: Американское математическое общество.
• Ахиезер, Наум И. (1965). Классическая проблема моментов и некоторые смежные вопросы анализа. Нью-Йорк: Hafner Publishing Co. (пер. с русского Н. Кеммера)
• Крейн, М. Г .; Нудельман, А.А. (1977). Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Идеи и проблемы П. Л. Чебышева и А. А. Маркова и их дальнейшее развитие. Переводы математических монографий, Vol. 50. Американское математическое общество, Провиденс, Р.И. (Перевод с русского Д. Лувиша)
• Шмюдген, Конрад (2017). Проблема момента. Издательство Springer International.