Момент проблемы - Moment problem

В математика, а проблема момента возникает в результате попытки инвертировать отображение, которое требует мера μ к последовательностям моменты

В более общем плане можно рассмотреть

для произвольной последовательности функций Mп.

Вступление

В классической постановке μ - мера на реальная линия, и M последовательность { Иксп : п = 0, 1, 2, ...}. В этой форме вопрос появляется в теория вероятности, спрашивая, есть ли вероятностная мера указав иметь в виду, отклонение и так далее, и уникальна ли она.

Существует три названных классических проблемы моментов: Проблема моментов гамбургера в которой поддерживать из μ может быть целая реальная линия; то Проблема моментов Стилтьеса, для [0, + ∞); и Проблема моментов Хаусдорфа для ограниченного интервала, который не теряя общий смысл можно принять как [0, 1].

Существование

Последовательность чисел мп последовательность моментов меры μ тогда и только тогда, когда выполняется определенное условие положительности; а именно Матрицы Ганкеля ЧАСп,

должно быть положительный полуопределенный. Это связано с тем, что положительно-полуопределенная матрица Ганкеля соответствует линейному функционалу такой, что и (неотрицательный для суммы квадратов многочленов). Предполагать может быть расширен до . В одномерном случае неотрицательный многочлен всегда можно записать в виде суммы квадратов. Итак, линейный функционал положительна для всех неотрицательных многочленов в одномерном случае. По теореме Хэвиленда линейный функционал имеет форму меры, т. Е. . Условие аналогичного вида необходимо и достаточно для существования меры поддерживается на заданном интервале [аб].

Один из способов доказать эти результаты - рассмотреть линейный функционал который посылает многочлен

к

Если мкн моменты какой-то меры μ поддерживается на [аб], то, очевидно,

для любого полинома п неотрицательный на [аб].

 

 

 

 

(1)

Наоборот, если (1), можно применить Теорема М. Рисса о продолжении и продлить к функционалу на пространстве непрерывных функций с компактным носителем C0([аб]), так что

для любого

 

 

 

 

(2)

Посредством Теорема Рисса о представлении, (2) выполняется тогда и только тогда, когда существует мера μ поддерживается на [аб], такое что

для каждого ƒ ∈ C0([аб]).

Таким образом, существование меры эквивалентно (1). Используя теорему о представлении положительных многочленов на [аб], можно переформулировать (1) как условие на Матрицы Ганкеля.

Видеть Шохат и Тамаркин 1943 и Керин и Нудельман 1977 Больше подробностей.

Уникальность (или определенность)

Уникальность μ в проблеме моментов Хаусдорфа следует из Аппроксимационная теорема Вейерштрасса, в котором говорится, что многочлены находятся плотный под единая норма в пространстве непрерывные функции на [0, 1]. Для задачи на бесконечном интервале единственность - более тонкий вопрос; видеть Состояние Карлемана, Состояние Крейна и Ахиезер (1965).

Вариации

Важным изменением является усеченная проблема момента, изучающая свойства мер с фиксированными первыми k моменты (для конечного k). Результаты по усеченной проблеме моментов имеют многочисленные приложения к экстремальные проблемы, оптимизационные и предельные теоремы в теория вероятности. Смотрите также: Неравенства Чебышева – Маркова – Стилтьеса. и Керин и Нудельман 1977.

Смотрите также

Рекомендации

  • Шохат, Джеймс Александр; Тамаркин, Яков Д. (1943). Проблема моментов. Нью-Йорк: Американское математическое общество.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Ахиезер, Наум И. (1965). Классическая проблема моментов и некоторые смежные вопросы анализа. Нью-Йорк: Hafner Publishing Co.CS1 maint: ref = harv (связь) (пер. с русского Н. Кеммера)
  • Крейн, М. Г .; Нудельман, А.А. (1977). Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Идеи и проблемы П. Л. Чебышева и А. А. Маркова и их дальнейшее развитие. Переводы математических монографий, Vol. 50. Американское математическое общество, Провиденс, Р.И.CS1 maint: ref = harv (связь) (Перевод с русского Д. Лувиша)
  • Шмюдген, Конрад (2017). Проблема момента. Издательство Springer International.CS1 maint: ref = harv (связь)