Состояние Крейнса - Kreins condition

В математический анализ, Состояние Крейна обеспечивает необходимое и достаточное условие для экспоненциальных сумм

${\displaystyle \left\{\sum _{k=1}^{n}a_{k}\exp(i\lambda _{k}x),\quad a_{k}\in \mathbb {C} ,\,\lambda _{k}\geq 0\right\},}$

быть плотный в взвешенный L₂ Космос на реальной линии. Это было обнаружено Марк Крейн в 1940-е гг.^[1] Следствие, также называемое условием Крейна, дает достаточное условие неопределенности проблема момента.^[2][3]

Заявление

Позволять μ быть абсолютно непрерывный мера на реальной линии, dμ(Икс) = ж(Икс) dИкс. Экспоненциальные суммы

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}\exp(i\lambda _{k}x),\quad a_{k}\in \mathbb {C} ,\,\lambda _{k}\geq 0}$

плотно в L₂(μ) если и только если

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx=\infty .}$

Неопределенность проблемы моментов

Позволять μ быть как указано выше; предполагаю, что все моменты

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu (x),\quad n=0,1,2,\ldots }$

из μ конечны. Если

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx<\infty }$

держит, то Проблема моментов гамбургера за μ неопределенный; то есть существует другая мера ν ≠ μ на р такой, что

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\nu (x),\quad n=0,1,2,\ldots }$

Это можно вывести из части "только если" приведенной выше теоремы Крейна.^[4]

Пример

Позволять

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\exp \left\{-\ln ^{2}x\right\};}$

мера dμ(Икс) = ж(Икс) dИкс называется Мера Стилтьеса – Вигерта. С

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\ln ^{2}x+\ln {\sqrt {\pi }}}{1+x^{2}}}\,dx<\infty ,}$

проблема моментов Гамбургера для μ неопределенно.

Рекомендации

1. Крейн, М. (1945). «О проблеме экстраполяции Колмогорова». Доклады Академии Наук СССР. 46: 306–309.
2. Стоянов, Дж. (2001) [1994], "Krein_condition", Энциклопедия математики, EMS Press
3. Берг, гл. (1995). «Неопределенные проблемы моментов и теория целых функций». J. Comput. Appl. Математика. 65: 1–3, 27–55. Дои:10.1016/0377-0427(95)00099-2. МИСТЕР  1379118.
4. Ахиезер, Н.И. (1965). Классическая проблема моментов и некоторые связанные с ними вопросы анализа. Оливер и Бойд.