Неравенство Марцинкевича – Зигмунда - Marcinkiewicz–Zygmund inequality

В математика, то Неравенство Марцинкевича – Зигмунда, названный в честь Юзеф Марцинкевич и Антони Зигмунд, дает отношения между моменты коллекции независимые случайные величины. Это обобщение правила для суммы отклонения независимых случайных величин до моментов произвольного порядка. Это частный случай Неравенство Буркхолдера-Дэвиса-Ганди в случае мартингалов с дискретным временем.

Формулировка неравенства

Теорема ^[1][2] Если ${\displaystyle \textstyle X_{i}}$, ${\displaystyle \textstyle i=1,\ldots ,n}$, - независимые случайные величины такие, что ${\displaystyle \textstyle E\left(X_{i}\right)=0}$ и ${\displaystyle \textstyle E\left(\left\vert X_{i}\right\vert ^{p}\right)<+\infty }$, ${\displaystyle \textstyle 1\leq p<+\infty }$, тогда

${\displaystyle A_{p}E\left(\left(\sum _{i=1}^{n}\left\vert X_{i}\right\vert ^{2}\right)_{}^{p/2}\right)\leq E\left(\left\vert \sum _{i=1}^{n}X_{i}\right\vert ^{p}\right)\leq B_{p}E\left(\left(\sum _{i=1}^{n}\left\vert X_{i}\right\vert ^{2}\right)_{}^{p/2}\right)}$

куда ${\displaystyle \textstyle A_{p}}$ и ${\displaystyle \textstyle B_{p}}$ положительные константы, зависящие только от ${\displaystyle \textstyle p}$ а не на основное распределение задействованных случайных величин.

Случай второго порядка

В случае ${\displaystyle \textstyle p=2}$, неравенство выполняется с ${\displaystyle \textstyle A_{2}=B_{2}=1}$, и оно сводится к правилу суммы дисперсий независимых случайных величин с нулевым средним, известному из элементарной статистики: если ${\displaystyle \textstyle E\left(X_{i}\right)=0}$ и ${\displaystyle \textstyle E\left(\left\vert X_{i}\right\vert ^{2}\right)<+\infty }$, тогда

${\displaystyle \mathrm {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=E\left(\left\vert \sum _{i=1}^{n}X_{i}\right\vert ^{2}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}E\left(X_{i}{\overline {X}}_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}E\left(\left\vert X_{i}\right\vert ^{2}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {Var} \left(X_{i}\right).}$

Смотрите также

Несколько подобных неравенств моментов известны как Неравенство Хинчина и Неравенства Розенталя, а также есть расширения на более общие симметричные статистика независимых случайных величин.^[3]

Примечания

1. Я. Марцинкевич и А. Зигмунд. Sur les foncions independantes. Фонд. Математика., 28: 60–90, 1937. Перепечатано в Józef Marcinkiewicz, Сборник статей, под редакцией Антони Зигмунда, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Варшава, 1964, стр. 233–259.
2. Юань Ши Чоу и Генри Тейчер. Теория вероятности. Независимость, взаимозаменяемость, мартингалы. Springer-Verlag, Нью-Йорк, второе издание, 1988 г.
3. Р. Ибрагимов, Ш. Шарахметов. Аналоги неравенств Хинчина, Марцинкевича – Зигмунда и Розенталя для симметричной статистики. Скандинавский статистический журнал, 26(4):621–633, 1999.