Константа Хинчина - Khinchins constant

В теория чисел, Александр Яковлевич Хинчин доказал, что для почти все действительные числа Икс, коэффициенты а_я из непрерывная дробь расширение Икс иметь конечный среднее геометрическое это не зависит от стоимости Икс и известен как Постоянная Хинчина.

То есть для

{ displaystyle x = a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2} + { cfrac {1} {a_ {3} + { cfrac {) 1} { ddots}}}}}}}} ;}

это почти всегда правда что

{ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} left (a_ {1} a_ {2} ... a_ {n} right) ^ {1 / n} = K_ {0}}

куда ${ displaystyle K_ {0}}$ постоянная Хинчина

{ displaystyle K_ {0} = prod _ {r = 1} ^ { infty} { left (1+ {1 over r (r + 2)} right)} ^ { log _ {2} r} приблизительно 2,6854520010 точек}

(последовательность A002210 в OEIS )

(с ${ displaystyle prod}$ обозначающий продукт по всем условиям последовательности ).

Хотя почти все числа удовлетворяют этому свойству, оно не было доказано для любой настоящий номер нет специально сконструированы для этой цели. Икс чьи разложения в цепную дробь известны нет иметь это свойство рациональное число, корни квадратные уравнения (в том числе Золотое сечение Φ и квадратные корни целых чисел), а основание натурального логарифма е.

В более ранней математической литературе Хинчин иногда пишется как Хинчин (французская транслитерация русского Хинчин).

Эскиз доказательства

Представленное здесь доказательство было организовано Чеслав Рылль-Нардзевский^[1] и намного проще, чем оригинальное доказательство Хинчина, в котором не использовалось эргодическая теория.

Поскольку первый коэффициент а₀ непрерывной дроби Икс не играет роли в теореме Хинчина, и поскольку рациональное число имеют Мера Лебега нуля, мы сводимся к изучению иррациональных чисел в единичный интервал, т.е. находящиеся в ${ Displaystyle I = [0,1] setminus mathbb {Q}}$ . Эти числа находятся в биекция с бесконечным непрерывные дроби вида [0;а₁, а₂, ...], которую мы просто пишем [а₁, а₂, ...], куда а₁, а₂, ... находятся положительные целые числа. Определить преобразование Т:я → я к

{ displaystyle T ([a_ {1}, a_ {2}, dots]) = [a_ {2}, a_ {3}, dots]. ,}

Преобразование Т называется Оператор Гаусса – Кузмина – Вирсинга. Для каждого Борелевское подмножество E из я, мы также определяем Мера Гаусса – Кузьмина из E

{ displaystyle mu (E) = { frac {1} { log 2}} int _ {E} { frac {dx} {1 + x}}.}

потом μ это вероятностная мера на σ-алгебра борелевских подмножеств я. Мера μ является эквивалент к мере Лебега на я, но у него есть дополнительное свойство: преобразование Т сохраняет мера μ. Более того, можно доказать, что Т является эргодическое преобразование из измеримое пространство я наделен вероятностной мерой μ (это самая сложная часть доказательства). В эргодическая теорема затем говорит, что для любого μ-интегрируемая функция ж на я, среднее значение ${ Displaystyle е влево (Т ^ {к} х вправо)}$ одинаково почти для всех ${ displaystyle x}$ :

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} (f circ T ^ {k}) (x) = int _ {I} fd mu quad { text {for}} mu { text {- почти все}} x in I.}

Применяя это к функции, определенной ж([а₁, а₂, ...]) = журнал (а₁), получаем, что

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} log (a_ {k}) = int _ {I} f , d mu = sum _ {r = 1} ^ { infty} log (r) { frac { log { bigl (} 1 + { frac {1} {r (r + 2 )}} { bigr)}} { log 2}}}

почти для всех [а₁, а₂, ...] в я в качестве п → ∞.

Принимая экспоненциальный с обеих сторон получим слева среднее геометрическое из первых п коэффициенты при непрерывной дроби и правую постоянную Хинчина.

Выражения ряда

Постоянная Хинчина может быть выражена как рациональная дзета-серия в виде^[2]

{ displaystyle log K_ {0} = { frac {1} { log 2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n) -1} {n} } sum _ {k = 1} ^ {2n-1} { frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}}}

или, удаляя термины в серии,

{ displaystyle log K_ {0} = { frac {1} { log 2}} left [- sum _ {k = 2} ^ {N} log left ({ frac {k-1 } {k}} right) log left ({ frac {k + 1} {k}} right) + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n , N + 1)} {n}} sum _ {k = 1} ^ {2n-1} { frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}} right]}

куда N является целым числом, фиксированным, а ζ (s, п) - комплекс Дзета-функция Гурвица. Оба ряда сильно сходятся, так как ζ (п) - 1 быстро приближается к нулю для больших п. Расширение также может быть дано в терминах дилогарифм:

{ displaystyle log K_ {0} = log 2 + { frac {1} { log 2}} left [{ mbox {Li}} _ {2} left ({ frac {-1} {2}} right) + { frac {1} {2}} sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { mbox {Li}} _ {2} left ({ frac {4} {k ^ {2}}} right) right].}

Гёльдер означает

Константу Хинчина можно рассматривать как первую в серии Гёльдер означает членов непрерывных дробей. Для произвольной серии {а_п}, среднее Гельдера порядка п серии задается

{ displaystyle K_ {p} = lim _ {n to infty} left [{ frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {p } right] ^ {1 / p}.}

Когда {а_п} - члены разложения в непрерывную дробь, константы задаются выражением

{ displaystyle K_ {p} = left [ sum _ {k = 1} ^ { infty} -k ^ {p} log _ {2} left (1 - { frac {1} {(k +1) ^ {2}}} right) right] ^ {1 / p}.}

Это получается, если взять п-е среднее в сочетании с Распределение Гаусса – Кузьмина. Значение для K₀ может оказаться полученным в пределах п → 0.

Гармоническое среднее

Посредством приведенных выше выражений гармоническое среднее членов непрерывной дроби. Полученное значение

{ displaystyle K _ {- 1} = 1,74540566240 точек}

(последовательность A087491 в OEIS ).

Открытые проблемы

Лимит

{ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} ( pi _ {1} pi _ {2} ... pi _ {n}) ^ {1 / n}}

похоже, стремится к постоянной Хинчина.

$π$ , то Константа Эйлера – Маскерони γ, и сама константа Хинчина, основанная на численных доказательствах,^[3]^[4] считаются числами, среднее геометрическое значение коэффициентов которых а_я в их непрерывной дроби разложение стремится к постоянной Хинчина. Однако ни один из этих ограничений не был строго установлен.
Неизвестно, является ли постоянная Хинчина рациональной, алгебраический иррациональный или же трансцендентный номер.^[5]

Смотрите также

Список математических констант

внешняя ссылка

[1] Рыль-Нардзевский, Чеслав (1951), "Об эргодических теоремах II (эргодическая теория цепных дробей)", Studia Mathematica, 12: 74–79

[2] Bailey, Borwein & Crandall, 1997. В этой статье для дзета-функции Гурвица используется несколько нестандартное определение.

[3] Вайсштейн, Эрик В. "Постоянная непрерывная дробь Эйлера-Маскерони". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-03-23.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Непрерывная дробь Пи». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-03-23.

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная Хинчина». MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]