Эквивалентность (теория меры) - Equivalence (measure theory)

В математика, и особенно в теория меры, эквивалентность это понятие двух меры будучи качественно похожими. В частности, эти две меры согласовывают, какие события имеют нулевую оценку.

Определение

Позволять ${displaystyle mu}$ и ${displaystyle u}$ быть двумя меры на измеримом пространстве ${displaystyle (X, {mathcal {A}})}$ , и разреши

{displaystyle {mathcal {N}} _ {mu}: = {Ain {mathcal {A}} mid mu (A) = 0}}

и

{displaystyle {mathcal {N}} _ {u}: = {Ain {mathcal {A}} mid u (A) = 0}}

быть наборами ${displaystyle mu}$ -нулевые наборы и ${displaystyle u}$ -null устанавливает соответственно. Тогда мера ${displaystyle u}$ как говорят абсолютно непрерывный в отношении ${displaystyle mu}$ если только ${displaystyle {mathcal {N}} _ {u} supseteq {mathcal {N}} _ {mu}}$ . Это обозначается как ${displaystyle u ll mu}$ .

Эти две меры называются эквивалентными, если и только если ${displaystyle mu ll u}$ и ${displaystyle u ll mu}$ ,^[1] который обозначается как ${displaystyle mu sim u}$ . То есть две меры эквивалентны, если они удовлетворяют ${displaystyle {mathcal {N}} _ {mu} = {mathcal {N}} _ {u}}$ .

Примеры

На реальной линии

Определите две меры на реальная линия в качестве

{displaystyle mu (A) = int _ {A} mathbf {1} _ {[0,1]} (x) mathrm {d} x}

{displaystyle u (A) = int _ {A} x ^ {2} mathbf {1} _ {[0,1]} (x) mathrm {d} x}

для всех Наборы Бореля ${displaystyle A}$ . потом ${displaystyle mu}$ и ${displaystyle u}$ эквивалентны, поскольку все множества вне ${displaystyle [0,1]}$ имеют ${displaystyle mu}$ и ${displaystyle u}$ мера ноль, а набор внутри ${displaystyle [0,1]}$ это ${displaystyle mu}$ -null set или a ${displaystyle u}$ -null устанавливается именно тогда, когда это нулевой набор по отношению к Мера Лебега.

Абстрактное пространство меры

Посмотрите на какое-то измеримое пространство ${displaystyle (X, {mathcal {A}})}$ и разреши ${displaystyle mu}$ быть счетная мера, так

{displaystyle mu (A) = | A |}

,

куда ${displaystyle | A |}$ это мощность из набора a. Таким образом, счетная мера имеет только один нулевой набор, который является пустой набор. То есть, ${displaystyle {mathcal {N}} _ {mu} = {emptyset}}$ . Итак, согласно второму определению, любая другая мера ${displaystyle u}$ эквивалентен счетной мере, если он также имеет только пустое множество в качестве единственного ${displaystyle u}$ -Нулевой набор.

Поддерживающие меры

Мера ${displaystyle mu}$ называется поддерживающая мера меры ${displaystyle u}$ если ${displaystyle mu}$ является ${displaystyle sigma}$ -конечный и ${displaystyle u}$ эквивалентно ${displaystyle mu}$ .^[2]