Теорема Гильберта – Шмидта - Hilbert–Schmidt theorem

В математический анализ, то Теорема Гильберта – Шмидта, также известный как собственная функция теорема разложения, является фундаментальным результатом о компактный, самосопряженные операторы на Гильбертовы пространства. В теории уравнения в частных производных, это очень полезно при решении эллиптический краевые задачи.

Формулировка теоремы

Позволять (ЧАС, ⟨,⟩) Быть настоящий или же сложный Гильбертово пространство и пусть А : ЧАС → ЧАС быть ограниченный, компактный, самосопряженный оператор. Тогда существует последовательность ненулевых вещественных собственные значения λ_я, я = 1, ..., N, с N равно классифицировать из А, такое что |λ_я| является монотонно невозрастающий и если N = +∞,

${\displaystyle \lim _{i\to +\infty }\lambda _{i}=0.}$

Кроме того, если каждое собственное значение А повторяется в последовательности согласно его множественность, то существует ортонормированный набор φ_я, я = 1, ..., Nсоответствующих собственных функций, т. е.

${\displaystyle A\varphi _{i}=\lambda _{i}\varphi _{i}{\mbox{ for }}i=1,\dots ,N.}$

Кроме того, функции φ_я для мужчин ортонормированный базис для классифицировать из А и А можно записать как

${\displaystyle Au=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\langle \varphi _{i},u\rangle \varphi _{i}{\mbox{ for all }}u\in H.}$

Рекомендации

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр.356. ISBN  0-387-00444-0. (Теорема 8.94)