Функциональный детерминант - Functional determinant

В функциональный анализ, филиал математика, иногда можно обобщить понятие детерминант из квадратная матрица конечного порядка (представляющий линейное преобразование из конечномерного векторное пространство самому себе) к бесконечномерному случаю линейный оператор S отображение функциональное пространство V себе. Соответствующая величина det (S) называется функциональный детерминант из S.

Существует несколько формул функционального определителя. Все они основаны на том, что определитель конечного матрица равно произведению собственные значения матрицы. Математически строгое определение дается через дзета-функция оператора,

${\displaystyle \zeta _{S}(a)=\operatorname {tr} \,S^{-a}\,,}$

где tr означает функциональный след: определитель тогда определяется как

${\displaystyle \det S=e^{-\zeta _{S}'(0)}\,,}$

где дзета-функция в точке s = 0 определяется как аналитическое продолжение. Еще одно возможное обобщение, часто используемое физиками при использовании Интеграл по путям Фейнмана формализм в квантовая теория поля (QFT), использует функциональная интеграция:

${\displaystyle \det S\propto \left(\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi ,S\phi \rangle }\right)^{-2}\,.}$

Этот интеграл по путям хорошо определен только с точностью до некоторой расходящейся мультипликативной константы. Чтобы придать ему строгий смысл, он должен быть разделен на другой функциональный детерминант, таким образом эффективно устраняя проблемные «константы».

Якобы это два разных определения функционального детерминанта, одно из квантовой теории поля, а другое из спектральная теория. Каждый включает в себя своего рода регуляризация: в популярном в физике определении два детерминанта можно сравнивать только друг с другом; в математике использовалась дзета-функция. Осгуд, Филлипс и Сарнак (1988) показали, что результаты, полученные путем сравнения двух функциональных детерминант в формализме КТП, согласуются с результатами, полученными с помощью дзета-функционального детерминанта.

Определение формул

Версия с интегральным путём

Для положительного самосопряженный оператор S на конечномерном Евклидово пространство V, формула

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}=\int _{V}e^{-\pi \langle x,Sx\rangle }\,dx}$

держит.

Проблема в том, чтобы найти способ понять определитель оператора. S на бесконечномерном функциональном пространстве. Один из подходов, предпочитаемых в квантовой теории поля, в котором функциональное пространство состоит из непрерывных траекторий на отрезке, заключается в формальной попытке вычислить интеграл

${\displaystyle \int _{V}e^{-\pi \langle \phi ,S\phi \rangle }\,{\mathcal {D}}\phi }$

где V - функциональное пространство и ${\displaystyle \langle -,-\rangle }$ в L² внутренний продукт и ${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi }$ в Мера Винера. Основное предположение о S в том, что он должен быть самосопряженным и иметь дискретные спектр λ₁, λ₂, λ₃… С соответствующим набором собственные функции ж₁, ж₂, ж₃… Которые завершены в L² (как, например, было бы в случае оператора второй производной на компактном интервале Ω). Это примерно означает, что все функции φ могут быть записаны как линейные комбинации функций ж_я:

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}c_{i}|f_{i}\rangle \quad {\text{with }}c_{i}=\langle f_{i}|\phi \rangle .\,}$

Следовательно, внутренний продукт в экспоненте можно записать как

${\displaystyle \langle \phi |S|\phi \rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\langle f_{i}|S|f_{j}\rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\delta _{ij}\lambda _{i}=\sum _{i}|c_{i}|^{2}\lambda _{i}.}$

В основе функций ж_я, функциональная интеграция сводится к интеграции по всем базовым функциям. Формально, если предположить, что наша интуиция из конечномерного случая переносится на бесконечномерную среду, тогда мера должна быть равна

${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi =\prod _{i}{\frac {dc_{i}}{2\pi }}.}$

Это делает функциональный интеграл продуктом Гауссовские интегралы:

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dc_{i}}{2\pi }}e^{-\lambda _{i}c_{i}^{2}}.}$

Затем интегралы могут быть вычислены, давая

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi \lambda _{i}}}}}={\frac {N}{\sqrt {\prod _{i}\lambda _{i}}}}}$

где N - бесконечная константа, с которой нужно иметь дело с помощью некоторой процедуры регуляризации. Произведение всех собственных значений равно определителю для конечномерных пространств, и мы формально определяем, что это имеет место и в нашем бесконечномерном случае. Это приводит к формуле

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }\propto {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}.}$

Если все величины сходятся в подходящем смысле, то функциональный определитель можно описать как классический предел (Ватсон и Уиттакер). В противном случае необходимо выполнить какое-то регуляризация. Самым популярным из них для вычисления функциональных детерминантов является регуляризация дзета-функции.^[1] Например, это позволяет вычислить определитель операторов Лапласа и Дирака на Риманово многообразие, с использованием Дзета-функция Минакшисундарама – Плейжеля. В противном случае также можно рассматривать частное двух определителей, что сокращает расходящиеся константы.

Версия дзета-функции

Позволять S быть эллиптическим дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, который положителен на функциях компактная опора. То есть существует постоянная c > 0 такой, что

${\displaystyle \langle \phi ,S\phi \rangle \geq c\langle \phi ,\phi \rangle }$

для всех гладких функций φ с компактным носителем. потом S имеет самосопряженное расширение к оператору на L² с нижней границей c. Собственные значения S могут быть расположены в последовательности

${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\qquad \lambda _{n}\to \infty .}$

Тогда дзета-функция S определяется серией:^[2]

${\displaystyle \zeta _{S}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}.}$

Известно, что ζ_S имеет мероморфное расширение на весь самолет.^[3] Более того, хотя можно определить дзета-функцию в более общих ситуациях, дзета-функция эллиптического дифференциального оператора (или псевдодифференциального оператора) является обычный в ${\displaystyle s=0}$.

Формально, почленное дифференцирование этого ряда дает

${\displaystyle \zeta _{S}'(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\log \lambda _{n}}{\lambda _{n}^{s}}},}$

и поэтому, если функциональный детерминант четко определен, он должен быть задан как

${\displaystyle \det S=\exp \left(-\zeta _{S}'(0)\right).}$

Поскольку аналитическое продолжение дзета-функции регулярно в нуле, это можно строго принять как определение определителя.

Этот вид дзета-регуляризованного функционального детерминанта также появляется при вычислении сумм вида ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)}}}$, интегрирование по 'a' дает ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\log(n+a)}$ который можно рассматривать как логарифм определителя для Гармонический осциллятор это последнее значение просто равно ${\displaystyle -\partial _{s}\zeta _{H}(0,a)}$, где ${\displaystyle \zeta _{H}(s,a)}$ - дзета-функция Гурвица.

Практический пример

Бесконечная потенциальная яма с А = 0.

Бесконечная потенциальная яма

Вычислим определитель следующего оператора, описывающего движение квантово-механический частица в бесконечная потенциальная яма:

${\displaystyle \det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\qquad (x\in [0,L]),}$

где А это глубина потенциала и L длина колодца. Мы вычислим этот определитель, диагонализуя оператор и умножая собственные значения. Чтобы не беспокоиться о неинтересной расходящейся константе, мы вычислим частное между детерминантами оператора с глубиной А и оператор с глубиной А = 0. Собственные значения этого потенциала равны

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A\qquad (n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}).}$

Это означает, что

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }{\frac {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A}{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Теперь мы можем использовать Эйлер с бесконечное представление продукта для функция синуса:

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$

откуда аналогичная формула для функция гиперболического синуса можно вывести:

${\displaystyle \sinh z=-i\sin iz=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Применяя это, мы находим, что

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}$

Другой способ вычисления функционального определителя

Для одномерных потенциалов существует короткий путь, дающий функциональный детерминант.^[4] Он основан на рассмотрении следующего выражения:

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}}$

где м это сложный постоянный. Это выражение мероморфная функция из м, имея нули при м равно собственному значению оператора с потенциалом V₁(Икс) и полюс, когда м - собственное значение оператора с потенциалом V₂(Икс). Рассмотрим теперь функции ψ^м₁ и ψ^м₂ с участием

${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{i}(x)-m\right)\psi _{i}^{m}(x)=0}$

подчиняясь граничным условиям

${\displaystyle \psi _{i}^{m}(0)=0,\quad \qquad {\frac {d\psi _{i}^{m}}{dx}}(0)=1.}$

Если мы построим функцию

${\displaystyle \Delta (m)={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}},}$

который также является мероморфной функцией м, мы видим, что у него точно такие же полюсы и нули, что и у частного детерминантов, которые мы пытаемся вычислить: если м является собственным значением оператора номер один, то ψ^м₁(Икс) будет его собственной функцией, то есть ψ^м₁(L) = 0; и аналогично для знаменателя. От Теорема Лиувилля, две мероморфные функции с одинаковыми нулями и полюсами должны быть пропорциональны друг другу. В нашем случае константа пропорциональности оказывается равной единице, и мы получаем

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}}}$

для всех значений м. Для м = 0 получаем

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)\right)}}={\frac {\psi _{1}^{0}(L)}{\psi _{2}^{0}(L)}}.}$

Снова о бесконечной потенциальной яме

С помощью этого формализма проще решить проблему из предыдущего раздела. Функции ψ⁰_я(Икс) подчиниться

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\psi _{1}^{0}=0,\qquad \psi _{1}^{0}(0)=0\quad ,\qquad {\frac {d\psi _{1}^{0}}{dx}}(0)=1,\\&-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}^{0}=0,\qquad \psi _{2}^{0}(0)=0,\qquad {\frac {d\psi _{2}^{0}}{dx}}(0)=1,\end{aligned}}}$

что дает следующие решения:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{1}^{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {A}}}\sinh x{\sqrt {A}},\\&\psi _{2}^{0}(x)=x.\end{aligned}}}$

Это дает окончательное выражение

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}$

Смотрите также

• Определитель Фредгольма
• Метод Фудзикавы
• Призрак Фаддеева – Попова

Заметки

1. (Брэнсон 1993 ); (Осгуд, Филлипс и Сарнак 1988 )
2. Увидеть Осгуд, Филлипс и Сарнак (1988). Для более общего определения спектральной функции см. Хёрмандер (1968) или Шубин (1987).
3. Относительно случая обобщенного лапласиана, а также регулярности в нуле см. Берлин, Гетцлер и Вернь (2004 г., Предложение 9.35). Об общем случае эллиптического псевдодифференциального оператора см. Сили (1967).
4. С. Коулман, Использование инстантонов, Int. Школа субъядерной физики (Эриче, 1977)

использованная литература

• Берлайн, Николь; Гетцлер, Эзра; Вернь, Мишель (2004), Ядра тепла и операторы Дирака, ISBN  978-3-540-20062-8
• Брэнсон, Томас П. (2007), "Q-кривизна, спектральные инварианты и теория представлений", Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения, 3: Бумага 090, 31, arXiv:0709.2471, Bibcode:2007SIGMA ... 3..090B, Дои:10.3842 / SIGMA.2007.090, ISSN  1815-0659, Г-Н  2366932, S2CID  14629173
• Брэнсон, Томас П. (1993), Функциональный детерминант, Серия конспектов лекций, 4, Сеул: Исследовательский центр глобального анализа математического института Сеульского национального университета, Г-Н  1325463
• Хёрмандер, Ларс (1968), "Спектральная функция эллиптического оператора", Acta Mathematica, 121: 193–218, Дои:10.1007 / BF02391913, ISSN  0001-5962, Г-Н  0609014
• Осгуд, Б .; Phillips, R .; Сарнак, Петр (1988), «Экстремали определителей лапласианов», Журнал функционального анализа, 80 (1): 148–211, Дои:10.1016/0022-1236(88)90070-5, ISSN  0022-1236, Г-Н  0960228
• Ray, D. B .; Певец, И.М. (1971), "р-кручение и лапласиан на римановых многообразиях », Успехи в математике, 7 (2): 145–210, Дои:10.1016/0001-8708(71)90045-4, Г-Н  0295381
• Сили, Р. Т. (1967), "Комплексные степени эллиптического оператора", Сингулярные интегралы (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966)., Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 288–307, Г-Н  0237943
• Шубин, М.А. (1987), Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, Серия Спрингера по советской математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-13621-7, Г-Н  0883081