Теорема Фугледеса - Fugledes theorem

В математика, Теорема Фугледе это результат теория операторов, названный в честь Бент Фугледе.

Результат

Теорема (Фугледе) Позволять Т и N - ограниченные операторы в комплексном гильбертовом пространстве с N существование нормальный. Если TN = NT, тогда TN * = N * T, куда N * обозначает прилегающий из N.

Нормальность N необходимо, как видно, взяв Т=N. Когда Т является самосопряженным, утверждение тривиально независимо от того, N это нормально:

${\displaystyle TN^{*}=(NT)^{*}=(TN)^{*}=N^{*}T.\,}$

Предварительное доказательство: Если основное гильбертово пространство конечномерно, спектральная теорема Говорит, что N имеет форму

${\displaystyle N=\sum _{i}\lambda _{i}P_{i}\,}$

куда п_я являются попарно ортогональными проекциями. Ожидается, что TN = NT если и только если TP_я = P_яТДействительно, это можно доказать элементарными аргументами (например, можно показать, что все п_я представлены в виде многочленов от N и по этой причине, если Т ездит с N, он должен добираться до п_я...). Следовательно Т должен также добираться до

${\displaystyle N^{*}=\sum _{i}{{\bar {\lambda }}_{i}}P_{i}.}$

В общем случае, когда гильбертово пространство не конечномерно, нормальный оператор N рождает проекционно-оценочная мера п по его спектру, σ(N), который задает проекцию п_Ω каждому борелевскому подмножеству σ(N). N можно выразить как

${\displaystyle N=\int _{\sigma (N)}\lambda dP(\lambda ).\,}$

В отличие от конечномерного случая отнюдь не очевидно, что TN = NT подразумевает TP_Ω = п_ΩТ. Таким образом, не так очевидно, что Т также коммутирует с любой простой функцией вида

${\displaystyle \rho =\sum _{i}{\bar {\lambda }}P_{\Omega _{i}}.}$

Действительно, следуя построению спектрального разложения для ограниченного нормального несамосопряженного оператора Т, видно, что для проверки того, что Тездит с ${\displaystyle P_{\Omega _{i}}}$, наиболее простой способ - предположить, что Т ездит с обоими N и N *, порождая замкнутый круг!

В этом актуальность теоремы Фугледе: последняя гипотеза на самом деле не нужна.

Обобщение Патнэма

Ниже приводится частный случай результата Фугледе. Изображенное ниже доказательство Розенблюма - это как раз доказательство, представленное Фугледе для его теоремы в предположении N = M.

Теорема (Кальвин Ричард Патнэм) Позволять Т, M, N быть линейные операторы на комплексе Гильбертово пространство, и предположим, что M и N находятся нормальный, M ограничена и MT = TN. потом M*Т = TN*.

Первое доказательство (Марвин Розенблюм): По индукции из предположения следует, что M^kТ = TN^k для всех k. Таким образом, для любого λ из ${\displaystyle \mathbb {C} }$,

${\displaystyle e^{{\bar {\lambda }}M}T=Te^{{\bar {\lambda }}N}.}$

Рассмотрим функцию

${\displaystyle F(\lambda )=e^{\lambda M^{*}}Te^{-\lambda N^{*}}.}$

Это равно

${\displaystyle e^{\lambda M^{*}}\left[e^{-{\bar {\lambda }}M}Te^{{\bar {\lambda }}N}\right]e^{-\lambda N^{*}}=U(\lambda )TV(\lambda )^{-1}}$,

куда ${\displaystyle U(\lambda )=e^{\lambda M^{*}-{\bar {\lambda }}M}}$ потому что ${\displaystyle M}$ нормально, и аналогично ${\displaystyle V(\lambda )=e^{\lambda N^{*}-{\bar {\lambda }}N}}$. Однако у нас есть

${\displaystyle U(\lambda )^{*}=e^{{\bar {\lambda }}M-\lambda M^{*}}=U(\lambda )^{-1}}$

поэтому U унитарен и, следовательно, имеет норму 1 для всех λ; то же самое верно для V(λ), поэтому

${\displaystyle \|F(\lambda )\|\leq \|T\|\ \forall \lambda .}$

Так F является ограниченной аналитической векторнозначной функцией и, следовательно, постоянна и равна F(0) = Т. Рассматривая члены первого порядка в разложении для малых λ, мы должны иметь M * T = TN *.

Оригинальная статья Фугледе появилась в 1950 году; он был расширен до указанной выше формы Патнэмом в 1951 году. Приведенное выше краткое доказательство было впервые опубликовано Розенблюмом в 1958 году; оно очень элегантно, но менее общее, чем исходное доказательство, которое также рассматривало случай неограниченных операторов. Другое простое доказательство теоремы Патнэма выглядит следующим образом:

Второе доказательство: Рассмотрим матрицы

${\displaystyle T'={\begin{bmatrix}0&0\\T&0\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad N'={\begin{bmatrix}N&0\\0&M\end{bmatrix}}.}$

Оператор N ' нормально и по предположению T 'N' = N 'T' . По теореме Фугледе

${\displaystyle T'(N')^{*}=(N')^{*}T'.\,}$

Затем сравнение записей дает желаемый результат.

Из обобщения Патнэма можно вывести следующее:

Следствие Если два нормальных оператора M и N подобны, то они унитарно эквивалентны.

Доказательство: Предполагать MS = SN куда S - ограниченный обратимый оператор. Результат Патнэма подразумевает РС = SN *, т.е.

${\displaystyle S^{-1}M^{*}S=N^{*}.\,}$

Возьмем сопряженное к приведенному выше уравнению, и мы имеем

${\displaystyle S^{*}M(S^{-1})^{*}=N.\,}$

Так

${\displaystyle S^{*}M(S^{-1})^{*}=S^{-1}MS\quad \Rightarrow \quad SS^{*}M(SS^{*})^{-1}=M.}$

Позволять S * = VR, с V унитарная (поскольку S обратима) и р положительный квадратный корень из SS*. В качестве р является пределом многочленов на SS*, из сказанного выше следует, что р ездит с M. Он также обратим. потом

${\displaystyle N=S^{*}M(S^{*})^{-1}=VRMR^{-1}V^{*}=VMV^{*}.}$

Следствие Если M и N - нормальные операторы, а MN = NM, тогда MN тоже нормально.

Доказательство: Аргумент использует только теорему Фугледе. Можно напрямую вычислить

${\displaystyle (MN)(MN)^{*}=MN(NM)^{*}=MNM^{*}N^{*}.\,}$

По Фугледе это становится

${\displaystyle =MM^{*}NN^{*}=M^{*}MN^{*}N.\,}$

Но M и N нормальные, так что

${\displaystyle =M^{*}N^{*}MN=(MN)^{*}MN.\,}$

C *-алгебры

Теорема может быть перефразирована как утверждение об элементах C * -алгебры.

Теорема (Фугледе-Патнам-Розенблюм) Позволять х, у быть двумя нормальными элементами C *-алгебра А иz такой, что xz = zy. Тогда следует, что х * г = г у *.

Рекомендации

• Фугледе, Бент. Теорема о коммутативности для нормальных операторов - PNAS
• Бербериан, Стерлинг К. (1974), Лекции по функциональному анализу и теории операторов, Тексты для выпускников по математике, 15, Нью-Йорк-Гейдельберг-Берлин: Springer-Verlag, стр. 274, г. ISBN  0-387-90080-2, МИСТЕР  0417727.
• Рудин, Вальтер (1973). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  9780070542259.