Тонкая топология (теория потенциала) - Fine topology (potential theory)

В математика, в области теория потенциала, то прекрасная топология это естественная топология для постановки исследования субгармонические функции. В самых ранних исследованиях субгармонических функций, а именно тех, для которых ${displaystyle Delta ugeq 0,}$ куда ${displaystyle Delta}$ это Лапласиан, Только гладкие функции считались. В этом случае было естественно рассматривать только Евклидово топология, но с появлением верхних полунепрерывный субгармонические функции, введенные Ф. Рис, точная топология стала более естественным инструментом во многих ситуациях.

Определение

Прекрасная топология на Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ определяется как самый грубый топология делая все субгармонические функции (эквивалентно все супергармонические функции) непрерывный. Понятия в точной топологии обычно имеют префикс со словом «точный», чтобы отличать их от соответствующих концепций в обычной топологии, например, «прекрасное соседство» или «точное непрерывное».

Наблюдения

Тонкая топология была введена в 1940 г. Анри Картан чтобы помочь в изучении тонкие наборы и изначально считался несколько патологическим из-за отсутствия ряда свойств, таких как локальная компактность, которые так часто используются при анализе. Последующие работы показали, что отсутствие таких свойств в некоторой степени компенсируется наличием других, чуть менее сильных свойств, таких как квази-линделёфское свойство.

В одном измерении, то есть на реальная линия, тонкая топология совпадает с обычной топологией, поскольку в этом случае субгармонические функции - это в точности выпуклые функции которые уже непрерывны в обычной (евклидовой) топологии. Таким образом, тонкая топология представляет наибольший интерес в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ куда ${displaystyle ngeq 2}$ . Тонкая топология в этом случае строго тоньше обычной топологии, поскольку существуют разрывные субгармонические функции.

Картан заметил в переписке с Марсель Брело что в равной степени можно развить теорию тонкой топологии, используя концепцию «тонкости». В этой разработке набор ${displaystyle U}$ является тонкий в какой-то момент ${displaystyle zeta}$ если существует субгармоническая функция ${displaystyle v}$ определенный в окрестности ${displaystyle zeta}$ такой, что

{displaystyle v (zeta)> limsup _ {z o zeta, zin U} v (z).}

Затем набор ${displaystyle U}$ прекрасный район ${displaystyle zeta}$ тогда и только тогда, когда дополнение ${displaystyle U}$ тонкий в ${displaystyle zeta}$ .

Свойства тонкой топологии

Тонкая топология в некоторых отношениях гораздо менее управляема, чем обычная топология в евклидовом пространстве, о чем свидетельствует следующее (принимая ${displaystyle ngeq 2}$ ):

Множество ${displaystyle F}$ в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ Это хорошо компактный если и только если ${displaystyle F}$ конечно.
Прекрасная топология на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ не является локально компактный (Хотя это является Хаусдорф ).
Прекрасная топология на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ не является исчисляемый первым, счетный или же метризуемый.

У прекрасной топологии есть, по крайней мере, несколько «хороших» свойств:

Прекрасная топология имеет Бэр недвижимость.
Прекрасная топология в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ является локально связанный.

Тонкая топология не обладает Lindelöf недвижимость но у него есть немного более слабое свойство квази-Линделёфа:

Произвольное объединение мелких открытых подмножеств ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ отличается на полярный набор из какой-то счетной части.

Тонкая топология (теория потенциала) - Fine topology (potential theory)

Содержание

Определение

Наблюдения

Свойства тонкой топологии

Рекомендации