Лемма Эрлингса - Ehrlings lemma

В математика, Лемма Эрлинга это результат относительно Банаховы пространства. Часто используется в функциональный анализ продемонстрировать эквивалентность определенных нормы на Соболевские пространства. Его предложил Гуннар Эрлинг.

Утверждение леммы

Позволять (Икс, ||·||_Икс), (Y, ||·||_Y) и (Z, ||·||_Z) - три банаховых пространства. Предположить, что:

• Икс является компактно встроенный в Y: т.е. Икс ⊆ Y и каждый || · ||_Икс-ограниченный последовательность в Икс имеет подпоследовательность то есть || · ||_Y-сходящийся; и
• Y является постоянно внедренный в Z: т.е. Y ⊆ Z и есть постоянная k так что ||у||_Z ≤ k||у||_Y для каждого у ∈ Y.

Затем для каждого ε > 0 существует постоянная C(ε) такой, что для всех Икс ∈ Икс,

${\displaystyle \|x\|_{Y}\leq \varepsilon \|x\|_{X}+C(\varepsilon )\|x\|_{Z}}$

Следствие (эквивалентные нормы для пространств Соболева)

Пусть Ω ⊂р^п быть открыто и ограниченный, и разреши k ∈ N. Предположим, что пространство Соболева ЧАС^k(Ω) компактно вложено в ЧАС^k−1(Ω). Тогда следующие две нормы о ЧАС^k(Ω) эквивалентны:

${\displaystyle \|\cdot \|:H^{k}(\Omega )\to \mathbf {R} :u\mapsto \|u\|:={\sqrt {\sum _{|\alpha |\leq k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}}}}$

и

${\displaystyle \|\cdot \|':H^{k}(\Omega )\to \mathbf {R} :u\mapsto \|u\|':={\sqrt {\|u\|_{L^{1}(\Omega )}^{2}+\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}}}.}$

Для подпространства ЧАС^k(Ω), состоящий из функций Соболева с нулевой след (те, которые «равны нулю на границе» Ω), L¹ норма ты можно опустить, чтобы получить другую эквивалентную норму.

Рекомендации

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (1992). Введение в дифференциальные уравнения с частными производными. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-97952-4.