Теорема Дворецкого - Dvoretzkys theorem

В математика, Теорема Дворецкого это важная структурная теорема о нормированные векторные пространства доказано Арье Дворецки в начале 1960-х гг.^[1] отвечая на вопрос Александр Гротендик. По сути, он говорит, что каждое достаточно многомерное нормированное векторное пространство будет иметь подпространства низкой размерности, которые приблизительно Евклидово. Эквивалентно любая многомерная ограниченная симметричная выпуклый набор имеет низкоразмерные секции, которые приблизительно эллипсоиды.

Новое доказательство, найденное Виталий Мильман в 1970-х^[2] была одной из отправных точек для развития асимптотический геометрический анализ (также называемый асимптотический функциональный анализ или локальная теория банаховых пространств).^[3]

Оригинальные составы

Для каждого натурального числа k ∈ N и каждый ε > 0 существует натуральное число N(k, ε) ∈ N так что если (Икс, · ‖) - любое нормированное пространство размерности N(k, ε) существует подпространство E ⊂ Икс измерения k и положительный квадратичная форма Q на E такая, что соответствующая евклидова норма

${\displaystyle |\cdot |={\sqrt {Q(\cdot )}}}$

на E удовлетворяет:

${\displaystyle |x|\leq \|x\|\leq (1+\varepsilon )|x|\quad {\text{for every}}\ x\in E.}$

Что касается мультипликативное расстояние Банаха-Мазура d вывод теоремы можно сформулировать так:

${\displaystyle d(E,\ \ell _{k}^{2})\leq 1+\varepsilon }$

куда ${\displaystyle \ell _{k}^{2}}$ обозначает стандарт k-мерное евклидово пространство.

Поскольку единичный мяч любого нормированного векторного пространства является ограниченным, симметричным, выпуклым множеством, а единичный шар каждого евклидова пространства является эллипсоидом, теорема также может быть сформулирована как утверждение об эллипсоидных сечениях выпуклых множеств.

Дальнейшие разработки

В 1971 г. Виталий Мильман дал новое доказательство теоремы Дворецкого, используя концентрация меры на сфере, чтобы показать, что случайный k-мерное подпространство удовлетворяет указанному выше неравенству с вероятностью, очень близкой к 1. Доказательство дает точную зависимость от k:

${\displaystyle N(k,\varepsilon )\leq \exp(C(\varepsilon )k)}$

где постоянная C(ε) зависит только от ε.

Таким образом, мы можем утверждать: для каждого ε > 0 и каждое нормированное пространство (Икс, ‖ · ‖) Размерности Nсуществует подпространство E ⊂ Икс измеренияk ≥ C(ε) бревноN и евклидова норма | · | на E такой, что

${\displaystyle |x|\leq \|x\|\leq (1+\varepsilon )|x|\quad {\text{for every}}\ x\in E.}$

Точнее, пусть S^N − 1 обозначим единичную сферу относительно некоторой евклидовой структуры Q на Икс, и разреши σ - инвариантная вероятностная мера на S^N − 1. Потом:

• существует такое подпространство E с

${\displaystyle k=\dim E\geq C(\varepsilon )\,\left({\frac {\int _{S^{N-1}}\|\xi \|\,d\sigma (\xi )}{\max _{\xi \in S^{N-1}}\|\xi \|}}\right)^{2}\,N.}$

• Для любого Икс можно выбрать Q так что член в скобках будет не более

${\displaystyle c_{1}{\sqrt {\frac {\log N}{N}}}.}$

Здесь c₁ - универсальная постоянная. Для данного Икс и ε, максимально возможный k обозначается k_*(Икс) и назвал Дворецкое измерение из Икс.

Зависимость от ε был изучен Йехорам Гордон,^[4][5] кто показал это k_*(Икс) ≥ c₂ ε² бревноN. Другое доказательство этого результата было дано Гидеон Шехтман.^[6]

Нога Алон и Виталий Мильман показал, что логарифмическая оценка размерности подпространства в теореме Дворецкого может быть значительно улучшена, если кто-то хочет принять подпространство, которое близко либо к евклидову пространству, либо к пространству Чебышевское пространство. В частности, для некоторой постоянной c, каждый п-мерное пространство имеет подпространство размерности k ≥ ехр (c√бревноN), близкий либо к ℓ^k
₂ или чтобы ℓ^k
_∞.^[7]

Важные связанные результаты были подтверждены Тадеуш Фигель, Иорам Линденштраус и Мильман.^[8]

Рекомендации

1. Дворецкий, А. (1961). «Некоторые результаты о выпуклых телах и банаховых пространствах». Proc. Междунар. Симпози. Линейные пространства (Иерусалим, 1960). Иерусалим: Иерусалимская академическая пресса. С. 123–160.
2. Мильман, В. Д. (1971). «Новое доказательство теоремы А. Дворецкого о сечениях выпуклых тел». Функц. Анальный. Я Приложен. (на русском). 5 (4): 28–37.
3. Гауэрс, В. Т. (2000). «Две культуры математики». Математика: рубежи и перспективы. Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. С. 65–78. ISBN  978-0-8218-2070-4. Полное значение концентрации меры впервые осознал Виталий Мильман в его революционном доказательстве [Mil1971] теоремы Дворецкого ... Теорема Дворецкого, особенно доказанная Мильманом, является важной вехой в локальном (то есть конечномерном) теория банаховых пространств. Хотя мне жаль математика, который не видит его внутренней привлекательности, этот призыв сам по себе не объясняет того огромного влияния, которое оказало доказательство, выходящее далеко за рамки теории пространства Банаха, в результате внедрения идеи концентрации меры в умы. многих математиков. К настоящему времени опубликовано огромное количество статей, в которых используется эта идея или предлагаются новые методы доказательства ее правильности.
4. Гордон, Ю. (1985). «Некоторые неравенства для гауссовских процессов и приложений». Исраэль Дж. Математика. 50 (4): 265–289. Дои:10.1007 / bf02759761.
5. Гордон, Ю. (1988). «Гауссовы процессы и почти сферические сечения выпуклых тел». Анналы вероятности. 16 (1): 180–188. Дои:10.1214 / aop / 1176991893.
6. Шехтман, Г. (1989). «Замечание о зависимости от ε в теореме Дворецкого». Геометрические аспекты функционального анализа (1987–88). Конспект лекций по математике. 1376. Берлин: Springer. С. 274–277. ISBN  978-0-387-51303-4.
7. Алон, Н.; Мильман, В. (1983), "Вложение ${\displaystyle \scriptstyle \ell _{\infty }^{k}}$ в конечномерных банаховых пространствах », Израильский математический журнал, 45 (4): 265–280, Дои:10.1007 / BF02804012, МИСТЕР  0720303.
8. Figiel, T .; Lindenstrauss, J .; Мильман, В. Д. (1976). «Размерность почти сферических сечений выпуклых тел». Бык. Амер. Математика. Soc. 82 (4): 575–578. Дои:10.1090 / с0002-9904-1976-14108-0., раскрыто в "Размерности почти сферических сечений выпуклых тел", Acta Math. 139 (1977), 53–94.