Теорема Данфорда – Шварца - Dunford–Schwartz theorem

В математика особенно функциональный анализ, то Теорема Данфорда – Шварца, названный в честь Нельсон Данфорд и Джейкоб Т. Шварц, гласит, что средние значения определенных норм -ограниченные операторы на L¹ сходиться в подходящем смысле.^[1]

Формулировка теоремы

${\displaystyle {\text{Let }}T{\text{ be a linear operator from }}L^{1}{\text{ to }}L^{1}{\text{ with }}\|T\|_{1}\leq 1{\text{ and }}\|T\|_{\infty }\leq 1{\text{. Then}}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}T^{k}f}$

${\displaystyle {\text{exists almost everywhere for all }}f\in L^{1}{\text{.}}}$

Утверждение перестает быть верным, если условие ограниченности ослаблено до четного ${\displaystyle \|T\|_{\infty }\leq 1+\varepsilon }$.^[2]

Заметки

1. Данфорд, Нельсон; Шварц, Дж. Т. (1956), "Сходимость почти всюду операторных средних", Журнал рациональной механики и анализа, 5: 129–178, Г-Н  0077090.
2. Фридман Н. (1966), "О теореме Данфорда – Шварца", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete, 5 (3): 226–231, Дои:10.1007 / BF00533059, Г-Н  0220900.