Теорема Дональдсона - Donaldsons theorem

В математика, и особенно дифференциальная топология и калибровочная теория, Теорема Дональдсона заявляет, что определенный форма пересечения из компактный, ориентированный, односвязный, гладкое многообразие из измерение 4 это диагонализуемый. Если форма пересечения положительно (отрицательно) определена, ее можно диагонализовать до единичная матрица (отрицательная единичная матрица) над целые числа.

История

Теорема была доказана Саймон Дональдсон. Это был цитируемый вклад в его Медаль Филдса в 1986 г.

Идея доказательства

Доказательство Дональдсона использует пространство модулей ${ Displaystyle { mathcal {M}} _ {P}}$ решений для уравнения антиавтодуальности на главный ${ displaystyle operatorname {SU} (2)}$ -пучок ${ displaystyle P}$ над четырехмерным многообразием. Посредством Теорема Атьи – Зингера об индексе, размерность пространства модулей определяется выражением

{ displaystyle dim { mathcal {M}} = 8k-3 (1-b_ {1} (X) + b _ {+} (X)),}

куда ${ displaystyle c_ {2} (P) = k}$ , ${ displaystyle b_ {1} (X)}$ это первый Бетти число из ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle b _ {+} (X)}$ размерность положительно определенного подпространства ${ displaystyle H_ {2} (X, mathbb {R})}$ относительно формы пересечения. Когда ${ displaystyle X}$ односвязно с определенной формой пересечения, возможно, после смены ориентации всегда ${ displaystyle b_ {1} (X) = 0}$ и ${ displaystyle b _ {+} (X) = 0}$ . Таким образом, принимая любой принципал ${ displaystyle operatorname {SU} (2)}$ -связать с ${ displaystyle k = 1}$ , получаем пространство модулей ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ измерения пять.

Кобордизм, заданный пространством модулей Янга – Миллса в теореме Дональдсона

Это пространство модулей некомпактно и в общем случае гладко, с особенностями, возникающими только в точках, соответствующих приводимым связностям, из которых ровно ${ displaystyle b_ {2} (X)}$ много.^[1] Результаты Клиффорд Таубс и Карен Уленбек покажи это пока ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ некомпактна, ее структуру на бесконечности легко описать.^[2]^[3]^[4] А именно, существует открытое подмножество ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ , сказать ${ Displaystyle { mathcal {M}} _ { varepsilon}}$ , такая, что при достаточно малом выборе параметра ${ displaystyle varepsilon}$ , существует диффеоморфизм

{ Displaystyle { mathcal {M}} _ { varepsilon} { xrightarrow { quad cong quad}} X times (0, varepsilon)}

.

Работа Таубса и Уленбека в основном касается построения последовательностей ASD-связностей на четырехмерном многообразии. ${ displaystyle X}$ с кривизной, становящейся бесконечно сосредоточенной в любой данной единственной точке ${ displaystyle x in X}$ . Для каждой такой точки в пределе получается уникальная сингулярная связность ASD, которая становится четко определенной гладкой связью ASD в этой точке с использованием теоремы Уленбека об устранимой особенности.^[4]^[1]

Дональдсон заметил, что особые точки внутри ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ соответствующие приводимым связям также можно описать: они выглядели как шишки над комплексная проективная плоскость ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {2}}$ , с обратной ориентацией.

Таким образом, можно компактифицировать пространство модулей следующим образом: сначала отрежьте каждый конус в приводимой сингулярности и приклейте копию ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {2}}$ . Во-вторых, приклейте копию ${ displaystyle X}$ сам в бесконечности. Полученное пространство - это кобордизм между ${ displaystyle X}$ и несвязный союз ${ displaystyle b_ {2} (X)}$ копии ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {2}}$ с обратной ориентацией. Форма пересечения четырехмерного многообразия является кобордизмом, инвариантным с точностью до изоморфизма квадратичных форм, из чего заключают форму пересечения четырехмерного многообразия. ${ displaystyle X}$ диагонализуема.

Расширения

Майкл Фридман ранее показал, что любой унимодулярная симметричная билинейная форма реализуется как форма пересечения некоторых замкнутых ориентированных четырехколлекторный. Комбинируя этот результат с Классификационная теорема Серра и теоремы Дональдсона можно увидеть несколько интересных результатов:

1) Любая недиагонализуемая форма пересечения порождает четырехмерную топологическое многообразие без дифференцируемая структура (так что не сглаживается).

2) Два гладких односвязных 4-многообразия являются гомеоморфный, тогда и только тогда, когда их формы пересечения имеют одинаковые классифицировать, подпись, и паритет.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Дональдсон, С. К. (1983). Приложение калибровочной теории к четырехмерной топологии. Журнал дифференциальной геометрии, 18 (2), 279-315.
^ Таубес, К. Х. (1982). Самодвойственные связности Янга – Миллса на несамодуальных 4-многообразиях. Журнал дифференциальной геометрии, 17 (1), 139-170.
^ Уленбек, К. К. (1982). Связности с L p-границами кривизны. Сообщения по математической физике, 83 (1), 31-42.
^ ^а ^б Уленбек, К. К. (1982). Устранимые особенности в полях Янга – Миллса. Сообщения по математической физике, 83 (1), 11-29.