Теорема Рохлина - Rokhlins theorem

В 4-мерной топологии, раздел математики, Теорема Рохлина заявляет, что если гладкий, закрыто 4-многообразие M имеет спиновая структура (или, что то же самое, второй Класс Штифеля – Уитни ${\displaystyle w_{2}(M)}$ исчезает), то подпись своего форма пересечения, а квадратичная форма на второй группа когомологий ${\displaystyle H^{2}(M)}$, делится на 16. Теорема названа в честь Владимир Рохлин, который доказал это в 1952 году.

Примеры

• В форма пересечения на M

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M,\mathbb {Z} )\times H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} }$

является унимодулярный на ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ к Двойственность Пуанкаре, и исчезновение ${\displaystyle w_{2}(M)}$ означает, что форма пересечения четная. По теореме Cahit Arf, любая четная унимодулярная решетка имеет сигнатуру, делящуюся на 8, поэтому теорема Рохлина вынуждает один дополнительный множитель 2 для разделения сигнатуры.

• А K3 поверхность компактный, 4-мерный и ${\displaystyle w_{2}(M)}$ обращается в нуль, а сигнатура равна −16, поэтому 16 - наилучшее возможное число в теореме Рохлина.
• Сложная поверхность в ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ степени ${\displaystyle d}$ спин тогда и только тогда, когда ${\displaystyle d}$ даже. Имеет подпись ${\displaystyle (4-d^{2})d/3}$, что видно из Фридрих Хирцебрух с сигнатурная теорема. Дело ${\displaystyle d=4}$ возвращает последний пример K3 поверхность.
• Майкл Фридман с Коллектор E8 это односвязный компактный топологическое многообразие с исчезновением ${\displaystyle w_{2}(M)}$ и форма пересечения ${\displaystyle E_{8}}$ сигнатуры 8. Из теоремы Рохлина следует, что это многообразие не имеет гладкая структура. Это многообразие показывает, что теорема Рохлина неверна для множества чисто топологических (а не гладких) многообразий.
• Если коллектор M односвязна (или, в более общем смысле, если первая группа гомологий не имеет 2-кручения), то исчезновение ${\displaystyle w_{2}(M)}$ эквивалентно четной форме пересечения. В целом это неверно: Поверхность Энриквеса компактное гладкое 4-многообразие и имеет четную форму пересечения II_1,9 сигнатуры −8 (не делится на 16), но класс ${\displaystyle w_{2}(M)}$ не исчезает и обозначается торсионный элемент во второй группе когомологий.

Доказательства

Теорема Рохлина выводится из того факта, что третье стабильная гомотопическая группа сфер ${\displaystyle \pi _{3}^{S}}$ является циклическим порядка 24; это оригинальный подход Рохлина.

Это также можно вывести из Теорема Атьи – Зингера об индексе. Видеть Род и теорема Рохлина.

Робион Кирби  (1989 ) дает геометрическое доказательство.

Инвариант Рохлина

Поскольку теорема Рохлина утверждает, что сигнатура спинового гладкого многообразия делится на 16, определение Инвариант Рохлина выводится следующим образом:

Для 3-х коллекторного ${\displaystyle N}$ и спиновая структура ${\displaystyle s}$ на ${\displaystyle N}$, инвариант Рохлина ${\displaystyle \mu (N,s)}$ в ${\displaystyle \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} }$ определяется как сигнатура любого гладкого компактного спинового 4-многообразия со спиновым краем ${\displaystyle (N,s)}$.

Если N это вращение 3-многообразие, то оно ограничивает спиновое 4-многообразие M. Подпись M делится на 8, и простое применение теоремы Рохлина показывает, что его значение по модулю 16 зависит только от N а не по выбору M. Гомологии 3-сферы обладают уникальным спиновая структура так что мы можем определить инвариант Рохлина гомологической 3-сферы как элемент ${\displaystyle \operatorname {sign} (M)/8}$ из ${\displaystyle \mathbb {Z} /2Z}$, куда M любое спиновое 4-многообразие, ограничивающее сферу гомологий.

Например, Сфера гомологии Пуанкаре ограничивает спиновое 4-многообразие с формой пересечения ${\displaystyle E_{8}}$, поэтому его инвариант Рохлина равен 1. Этот результат имеет некоторые элементарные следствия: сфера гомологий Пуанкаре не допускает гладкого вложения в ${\displaystyle S^{4}}$, и не связывает Мазурский коллектор.

В более общем смысле, если N это вращение 3-многообразие (например, любое ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ сфера гомологии), то сигнатура любого спинового 4-многообразия M с границей N корректно определено по модулю 16 и называется инвариантом Рохлина N. На топологическом 3-многообразии N, то обобщенный инвариант Рохлина относится к функции, доменом которой является спиновые структуры на N, и которая вычисляет инвариант Рохлина пары ${\displaystyle (N,s)}$ куда s это спиновая структура на N.

Инвариант Рохлина для M равен половине Инвариант Кэссона mod 2. Инвариант Кассона рассматривается как Z-значный подъем инварианта Рохлина целочисленной гомологии 3-сферы.

Обобщения

В Теорема Кервера – Милнора (Кервэр и Милнор 1960 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFKervaireMilnor1960 (помощь) заявляет, что если ${\displaystyle \Sigma }$ - характеристическая сфера в гладком компактном 4-многообразии M, тогда

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma {\bmod {1}}6}$.

Характеристическая сфера - это вложенная 2-сфера, класс гомологии которой представляет класс Штифеля – Уитни. ${\displaystyle w_{2}(M)}$. Если ${\displaystyle w_{2}(M)}$ исчезает, мы можем взять ${\displaystyle \Sigma }$ любая малая сфера с числом самопересечения 0, отсюда следует теорема Рохлина.

В Теорема Фридмана – Кирби (Фридман и Кирби 1978 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFFreedmanKirby1978 (помощь) заявляет, что если ${\displaystyle \Sigma }$ - характеристическая поверхность в гладком компактном 4-многообразии M, тогда

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma ){\bmod {1}}6}$.

куда ${\displaystyle \operatorname {Arf} (M,\Sigma )}$ это Инвариант Arf некоторой квадратичной формы на ${\displaystyle H_{1}(\Sigma ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$. Этот инвариант Арфа, очевидно, равен 0, если ${\displaystyle \Sigma }$ является сферой, поэтому теорема Кервера – Милнора - частный случай.

Обобщение теоремы Фридмана-Кирби на топологические (а не гладкие) многообразия утверждает, что

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma )+8\operatorname {ks} (M){\bmod {1}}6}$,

куда ${\displaystyle \operatorname {ks} (M)}$ это Инвариант Кирби – Зибенмана из M. Инвариант Кирби – Зибенмана M равно 0, если M гладко.

Арман Борель и Фридрих Хирцебрух доказал следующую теорему: если Икс это гладкий компакт спиновый коллектор размерности кратной 4, то Â род является целым числом, даже если размерность Икс составляет 4 мод. 8. Это можно вывести из Теорема Атьи – Зингера об индексе: Майкл Атья и Исадор Сингер показал, что род Â является индексом оператора Атьи – Зингера, который всегда целочислен и имеет четную размерность 4 mod 8. Для 4-мерного многообразия оператор Теорема Хирцебруха о сигнатуре показывает, что сигнатура в −8 раз превышает род, поэтому в размерности 4 отсюда следует теорема Рохлина.

Очанин (1980) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFOchanine1980 (помощь) доказал, что если Икс компактное ориентированное гладкое спиновое многообразие размерности 4 по модулю 8, то его сигнатура делится на 16.

Рекомендации

• Фридман, Майкл; Кирби, Робион, «Геометрическое доказательство теоремы Рохлина», в: Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, CA, 1976), Часть 2, стр. 85–97, Proc. Симпози. Чистая математика, XXXII, амер. Математика. Soc., Providence, R.I., 1978. МИСТЕР0520525 ISBN  0-8218-1432-X
• Кирби, Робион (1989), Топология 4-многообразий, Конспект лекций по математике, 1374, Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0089031, ISBN  0-387-51148-2, МИСТЕР  1001966
• Кервер, Мишель А.; Милнор, Джон В., "Числа Бернулли, гомотопические группы и теорема Рохлина", 1960 Proc. Междунар. Congress Math. 1958, с. 454–458, Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк. МИСТЕР0121801
• Кервер, Мишель А.; Милнор, Джон В., О 2-сферах в 4-многообразиях. Proc. Natl. Акад. Sci. США 47 (1961), 1651–1657. МИСТЕР0133134
• Мацумото, Ёитиро (1986). «Элементарное доказательство теоремы Рохлина о сигнатуре и ее расширение Гийу и Марин» (PDF).
• Мишельсон, Мария-Луиза; Лоусон, Х. Блейн (1989), Геометрия вращения, Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  0-691-08542-0, МИСТЕР  1031992 (особенно стр. 280)
• Очанин, Серж, "Подпись по модулю 16, инварианты генерализованного Кервера и nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle", Mém. Soc. Математика. Франция 1980/81, нет. 5, 142 с. МИСТЕР1809832
• Рохлин В.А., Новые результаты в теории четырехмерных многообразий, Докл. Акад. Наук. СССР 84 (1952) 221–224. МИСТЕР0052101
• Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3749-8, МИСТЕР  2136212.
• Сеч, Андраш (2003), "Две теоремы Рохлина", Журнал математических наук, 113 (6): 888–892, Дои:10.1023 / А: 1021208007146, МИСТЕР  1809832