Критический показатель - Critical exponent

Эта статья о физических системах. О свойстве бесконечного слова см. Критический показатель слова.

Критические показатели описывают поведение физических величин вблизи непрерывных фазовые переходы. Считается, хотя и не доказано, что они универсальны, т.е. зависят не от деталей физической системы, а только от некоторых ее общих характеристик. Например, для ферромагнитных систем критические показатели зависят только от:

• размер системы
• диапазон взаимодействия
• то вращение измерение

Эти свойства критических показателей подтверждаются экспериментальными данными. Аналитические результаты теоретически могут быть достигнуты в теория среднего поля в больших размерах или когда известны точные решения, такие как двумерные Модель Изинга. Теоретическая трактовка общих измерений требует ренормгруппа подход или конформный бутстрап Фазовые переходы и критические показатели появляются во многих физических системах, таких как вода при переходе жидкость-пар, в магнитных системах, в сверхпроводимости, в перколяции и в турбулентных жидкостях. Критический размер, выше которого допустимы средние показатели поля, зависит от системы. и даже может быть бесконечным. Он равен 4 для перехода жидкость-пар, 6 для перколяции и, вероятно, бесконечен для турбулентности.^[1]Критические показатели среднего поля также действительны для случайных графов, таких как графы Эрдеша – Реньи, которые можно рассматривать как бесконечномерные системы.^[2]

Определение

Управляющий параметр, управляющий фазовые переходы Часто это температура, но также могут быть другие макроскопические переменные, такие как давление или внешнее магнитное поле. Для простоты следующее обсуждение работает с точки зрения температуры; перевод в другой управляющий параметр прост. Температура, при которой происходит переход, называется критическая температура Т_c. Мы хотим описать поведение физической величины ж с точки зрения сила закона около критической температуры; мы представляем пониженная температура

${\displaystyle \tau :={\frac {T-T_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {c} }}}}$

который равен нулю на фаза перехода, и определим критический показатель ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle k\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{\tau \to 0}{\frac {\log |f(\tau )|}{\log |\tau |}}}$

Это приводит к искомому степенному закону:

${\displaystyle f(\tau )\propto \tau ^{k}\,,\quad \tau \to 0}$

Важно помнить, что это представляет собой асимптотическое поведение функции ж(τ) так как τ → 0.

В более общем плане можно было ожидать

${\displaystyle f(\tau )=A\tau ^{k}\left(1+b\tau ^{k_{1}}+\cdots \right)}$

Наиболее важные критические показатели

Предположим, что система имеет две разные фазы, характеризующиеся параметр порядка Ψ, которая исчезает при и выше Т_c.

Рассмотрим неупорядоченная фаза (τ > 0), упорядоченная фаза (τ < 0) и критическая температура (τ = 0) фазы отдельно. Согласно стандартному соглашению, критические показатели, относящиеся к упорядоченной фазе, штрихуются. Еще одно стандартное соглашение - использовать верхний / нижний индекс + (-) для неупорядоченного (упорядоченного) состояния. В общем спонтанное нарушение симметрии происходит в упорядоченной фазе.

Определения

Ψ	параметр порядка (например, ρ − ρc/ρc для критической точки жидкость – газ, намагничивание для Точка Кюри, так далее.)
τ	Т − Тc/Тc
ж	конкретный свободная энергия
C	удельная теплоемкость; −Т∂^2ж/∂Т^2
J	исходное поле (например, п − пc/пc где п это давление и пc то критическое давление для критической точки жидкость-газ, приведенная химический потенциал, то магнитное поле ЧАС для Точка Кюри )
χ	то восприимчивость, сжимаемость, так далее.; ∂ψ/∂J
ξ	длина корреляции
d	количество пространственных Габаритные размеры
⟨ψ(Икс→) ψ(у→)⟩	то корреляционная функция
р	пространственное расстояние

Следующие записи оцениваются на J = 0 (кроме δ запись)

Критические показатели для τ > 0 (неупорядоченная фаза) Греческая буква связь α C ∝ τ−α γ χ ∝ τ−γ ν ξ ∝ τ−ν

Критические показатели для τ < 0 (заказанная фаза) Греческая буква связь α′ C ∝ (−τ)−α′ β Ψ ∝ (−τ)β γ′ χ ∝ (−τ)−γ′ ν′ ξ ∝ (−τ)−ν′

Критические показатели для τ = 0 Греческая буква связь δ J ∝ Ψδ η ⟨ψ(0) ψ(р)⟩ ∝ р−d + 2 − η

Критические показатели могут быть получены из удельной свободной энергии ж(J,Т) в зависимости от источника и температуры. Длина корреляции может быть получена из функциональный F[J;Т].

Эти соотношения точны вблизи критической точки в двух- и трехмерных системах. Однако в четырех измерениях степенные законы изменяются логарифмическими коэффициентами. Они не появляются в размерах, произвольно близких к четырем, но не точно, что можно использовать как способ обойти эту проблему.^[3]

Критические показатели среднего поля систем типа Изинга

Классический Теория Ландау (также известен как теория среднего поля ) значения критических показателей для скалярного поля (из которых Модель Изинга является прототипным примером) даны

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{\prime }=0\,,\quad \beta ={\tfrac {1}{2}}\,,\quad \gamma =\gamma ^{\prime }=1\,,\quad \delta =3}$

Если мы добавим производные члены, превратив его в среднее поле Теория Гинзбурга – Ландау, мы получаем

${\displaystyle \eta =0\,,\quad \nu ={\tfrac {1}{2}}}$

Одно из главных открытий в изучении критических явлений заключается в том, что теория среднего поля критических точек верна только тогда, когда пространственная размерность системы превышает определенное измерение, называемое верхний критический размер что в большинстве случаев исключает физические размеры 1, 2 или 3. Проблема с теорией среднего поля состоит в том, что критические показатели не зависят от размерности пространства. Это приводит к количественному расхождению ниже критических размеров, где истинные критические показатели отличаются от значений среднего поля. Это может даже привести к качественному несоответствию при низкой размерности пространства, когда критическая точка фактически больше не может существовать, хотя теория среднего поля все еще предсказывает, что она есть. Так обстоит дело с моделью Изинга в размерности 1, где фазовый переход отсутствует. Пространственная размерность, в которой теория среднего поля становится качественно неверной, называется нижней критической размерностью.

Экспериментальные значения

Наиболее точно измеренное значение α составляет −0,0127 (3) для фазового перехода сверхтекучий гелий (так называемое лямбда-переход ). Значение было измерено на космическом шаттле, чтобы свести к минимуму перепады давления в образце.^[4] Это значение сильно расходится с самыми точными теоретическими определениями.^[5][6][7] происходящие из методов высокотемпературного расширения, Монте-Карло методы и конформный бутстрап.^[8]

Нерешенная проблема в физике: Объясните расхождение экспериментальных и теоретических определений критического показателя теплоемкости. α для сверхтекучий переход в гелии-4.[8] (больше нерешенных задач по физике)

Теоретические предсказания

Критические показатели можно оценить с помощью Монте-Карло моделирования решетчатых моделей. Точность этого первопринципного метода зависит от доступных вычислительных ресурсов, которые определяют возможность перехода к пределу бесконечного объема и уменьшения статистических ошибок. Другие методы основаны на теоретическом понимании критических колебаний. Наиболее широко применяемый метод - это ренормгруппа. В конформный бутстрап это недавно разработанный метод, который достиг непревзойденной точности для Критические показатели Изинга.

Функции масштабирования

В свете критических масштабов мы можем заново выразить все термодинамические величины в терминах безразмерных величин. Достаточно близко к критической точке, все может быть повторно выражено в терминах определенных соотношений степеней приведенных величин. Это функции масштабирования.

Происхождение масштабных функций можно увидеть из ренормализационной группы. Критическая точка - это инфракрасная фиксированная точка. В достаточно малой окрестности критической точки мы можем линеаризовать действие ренормгруппы. В основном это означает, что масштабирование системы в раз а будет эквивалентно операторам масштабирования и исходным полям с коэффициентом а^Δ для некоторых Δ. Таким образом, мы можем повторно параметризовать все величины с точки зрения масштабированных независимых от масштаба величин.

Масштабирование отношений

Долгое время считалось, что критические показатели одинаковы выше и ниже критической температуры, например α ≡ α′ или γ ≡ γ′. Теперь было показано, что это не обязательно так: когда непрерывная симметрия явно нарушается до дискретной симметрии несущественными (в смысле ренормгруппы) анизотропией, тогда показатели степени γ и γ′ не идентичны.^[9]

Критические показатели обозначаются греческими буквами. Они попадают в классы универсальности и подчиняться масштабирование отношений

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta +1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1}}\\2-\eta &={\frac {\gamma }{\nu }}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{aligned}}}$

Из этих уравнений следует, что существует только два независимых показателя, например, ν и η. Все это следует из теории ренормализационная группа.

Анизотропия

Есть некоторые анизотропный системы, в которых длина корреляции зависит от направления. О перколяции см. Dayan et al.^[10]

Направленную перколяцию можно также рассматривать как анизотропную перколяцию. В этом случае критические показатели другие, а верхний критический размер равен 5.^[11]

Многокритические точки

Более сложное поведение может возникнуть в многокритические точки, на границе или на пересечении критических многообразий. Их можно достичь, настроив значение двух или более параметров, таких как температура и давление.

Статические и динамические свойства

Приведенные выше примеры относятся исключительно к статическим свойствам критической системы. Однако динамические свойства системы тоже могут стать критическими. Особенно характерное время, τ_char, системы расходится как τ_char ∝ ξ ^z, с динамический показатель z. Более того, большой статические классы универсальности эквивалентных моделей с одинаковыми статическими критическими показателями распадаются на более мелкие классы динамической универсальности, если потребовать совпадения динамических показателей.

Критические показатели могут быть вычислены из конформная теория поля.

Смотрите также аномальный масштабный размер.

Транспортные свойства

Критические показатели существуют также для транспортных величин, таких как вязкость и теплопроводность. Недавнее исследование предполагает, что критические показатели просачивания играют важную роль в городском движении.^[12]

Самоорганизованная критичность

Критические показатели также существуют для самоорганизованной критичности для диссипативные системы.

Теория перколяции

Фазовые переходы и критические показатели появляются также в процессах перколяции, когда концентрация занятых узлов или звеньев играет роль температуры. Самый простой пример - это, возможно, перколяция в двумерной квадратной решетке. Сайты заняты случайным образом с вероятностью p. При малых значениях p занятые узлы образуют только небольшие кластеры. При определенном пороге pc образуется гигантский кластер, и мы имеем фазовый переход второго рода.^[1][13] Увидеть критические показатели перколяции. Для перколяции критические показатели отличаются от показателей Изинга. Например, в среднем поле ${\displaystyle \delta =2}$ для перколяции^[1] в сравнении с ${\displaystyle \delta =3}$ В теории сетей было обнаружено, что сила взаимодействий между сообществами ведет себя аналогично внешнему полю в магнитах вблизи фазового перехода или как фантомное поле при перколяции.^[14]

Смотрите также

• Класс универсальности для численных значений критических показателей
• Сложные сети
• Случайные графики
• Неравенство Рашбрука
• Масштабирование Widom
• Конформный бутстрап
• Критические показатели Изинга
• Критические показатели перколяции
• Сетевая наука
• Теория перколяции
• Теория графов

Внешние ссылки и литература

• Хаген Кляйнерт и Верена Шульте-Фролинде, Критические свойства φ⁴-Теории, World Scientific (Сингапур, 2001 г.); Мягкая обложка ISBN  981-02-4658-7
• Тода, М., Кубо, Р., Н. Сайто, Статистическая физика I, Springer-Verlag (Берлин, 1983); Твердый переплет ISBN  3-540-11460-2
• Дж. М. Йеоманс, Статистическая механика фазовых переходов., Oxford Clarendon Press
• Х. Э. Стэнли Введение в фазовые переходы и критические явления, Oxford University Press, 1971 г.
• А. Бунде и С. Хавлин (редакторы), Фракталы в науке, Springer, 1995 г.
• А. Бунде и С. Хавлин (редакторы), Фракталы и неупорядоченные системы, Springer, 1996 г.
• Классы универсальности из Sklogwiki
• Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN  0-19-850923-5
• Зинн-Джастин, Дж. (2010). «Критические явления: теоретико-полевой подход» Статья в Scholarpedia Scholarpedia, 5 (5): 8346.
• Д. Польша, С. Рычков, А. Вичи, "Конформный бутстрап: теория, численные методы и приложения", Rev.Mod.Phys. 91 (2019) 015002, г. http://arxiv.org/abs/1805.04405
• Ф. Леонард и Б. Деламот Критические показатели могут быть разными на двух сторонах перехода: Общий механизм https://arxiv.org/abs/1508.07852

использованная литература

1. Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (1996). «Перколяция I». Фракталы и неупорядоченные системы. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. С. 59–114. Дои:10.1007/978-3-642-84868-1_2. ISBN  9783642848704.
2. Коэн, Реувен; Хавлин, Шломо (2010). "Введение". Сложные сети: структура, надежность и функции. Издательство Кембриджского университета. С. 1–6. Дои:10.1017 / cbo9780511780356.001. ISBN  9780521841566.
3. 'т Хоофт, G .; Вельтман, М. (1972). «Регуляризация и перенормировка калибровочных полей» (PDF). Nucl. Phys. B. 44 (1): 189–213. Bibcode:1972НуФБ..44..189Т. Дои:10.1016/0550-3213(72)90279-9. HDL:1874/4845.
4. Lipa, J. A .; Nissen, J .; Stricker, D .; Swanson, D .; Чуй, Т. (2003). «Удельная теплоемкость жидкого гелия в невесомости очень близко к лямбда-точке». Физический обзор B. 68 (17): 174518. arXiv:cond-mat / 0310163. Bibcode:2003PhRvB..68q4518L. Дои:10.1103 / PhysRevB.68.174518. S2CID  55646571.
5. Кампострини, Массимо; Хазенбуш, Мартин; Пелиссетто, Андреа; Викари, Этторе (2006-10-06). «Теоретические оценки критических показателей сверхтекучего перехода в $ ^ {4} mathrm {He} $ решеточными методами». Физический обзор B. 74 (14): 144506. arXiv:cond-mat / 0605083. Дои:10.1103 / PhysRevB.74.144506. S2CID  118924734.
6. Хазенбуш, Мартин (26 декабря 2019 г.). «Монте-Карло исследование улучшенной модели часов в трех измерениях». Физический обзор B. 100 (22): 224517. arXiv:1910.05916. Bibcode:2019PhRvB.100v4517H. Дои:10.1103 / PhysRevB.100.224517. ISSN  2469-9950. S2CID  204509042.
7. Честер, Шай М .; Лэндри, Уолтер; Лю, Цзюнюй; Польша, Давид; Симмонс-Даффин, Дэвид; Су, Нин; Вичи, Алессандро (2020). «Вырезание пространства OPE и точных критических показателей модели $ O (2) $». Журнал физики высоких энергий. 2020 (6): 142. arXiv:1912.03324. Bibcode:2020JHEP ... 06..142C. Дои:10.1007 / JHEP06 (2020) 142. S2CID  208910721.
8. Слава Рычков (31.01.2020). «Конформный бутстрап и экспериментальная аномалия теплоемкости λ-точки». Журнал Клуб физики конденсированных сред. Дои:10.36471 / JCCM_January_2020_02.
9. Леонард, Ф .; Деламот, Б. (2015). «Критические показатели могут быть разными на двух сторонах перехода». Phys. Rev. Lett. 115 (20): 200601. arXiv:1508.07852. Bibcode:2015ПхРвЛ.115т0601Л. Дои:10.1103 / PhysRevLett.115.200601. PMID  26613426. S2CID  22181730.
10. Даян, I .; Gouyet, J.F .; Хавлин, С. (1991). «Перколяция в многослойных структурах». J. Phys. А. 24 (6): L287. Bibcode:1991JPhA ... 24L.287D. Дои:10.1088/0305-4470/24/6/007.
11. Кинзель, В. (1982). Дойчер, Г. (ред.). «Направленная перколяция». Перколяция и процессы.
12. Цзэн, Гуаньвэнь; Ли, Дацин; Гао, Лян; Гао, Цзыю; Хавлин, Шломо (10.09.2017). «Переключение критических режимов перколяции в динамичном городском потоке». arXiv:1709.03134. Bibcode:2017arXiv170903134Z.
13. Штауфер, Дитрих; Ахарони, Амнон (1994). «Введение в теорию перколяции». Publ. Математика. 6: 290–297. ISBN  978-0-7484-0253-3.
14. Устойчивость сетей со структурой сообществ ведет себя так, как если бы они находились под воздействием внешнего поля Г. Донг, Дж. Фан, Л. М. Шехтман, С. Шай, Р. Ду, Л. Тиан, Х Чен, Е. П. Стэнли и С. Хэвлин, Труды Национальной академии наук, 115 ( 27), 6911-6915 (2018).