Классическая модель XY - Classical XY model

В классическая модель XY (иногда также называют классический ротор (ротатор) модель или же O (2) модель) это решетчатая модель из статистическая механика. В целом модель XY можно рассматривать как специализацию Стэнли. п-векторная модель ^[1] за п = 2.

Определение

Учитывая D-размерный решетка Λ, на каждый узел решетки j ∈ Λ есть двухмерный, вектор единичной длины s_j = (cos θ_jгрех θ_j)

В конфигурация вращения, s = (s_j)_{j ∈ Λ} это задание угла −π < θ_j ≤ π для каждого j ∈ Λ.

Учитывая переводно-инвариантный взаимодействие J_ij = J(я − j) и точечно-зависимое внешнее поле ${\displaystyle \mathbf {h} _{j}=(h_{j},0)}$, то конфигурационная энергия является

${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-\sum _{j}\mathbf {h} _{j}\cdot \mathbf {s} _{j}=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\cos(\theta _{i}-\theta _{j})-\sum _{j}h_{j}\cos \theta _{j}}$

Случай, когда J_ij = 0 кроме ij ближайший сосед называется ближайший сосед дело.

В вероятность конфигурации дается Распределение Больцмана с обратной температурой β ≥ 0:

${\displaystyle P(\mathbf {s} )={\frac {e^{-\beta H(\mathbf {s} )}}{Z}}\qquad Z=\int _{[-\pi ,\pi ]^{\Lambda }}\prod _{j\in \Lambda }d\theta _{j}\;e^{-\beta H(\mathbf {s} )}.}$

куда Z это нормализация, или же функция распределения.^[2] Обозначение ${\displaystyle \langle A(\mathbf {s} )\rangle }$ указывает на ожидание случайной величины А(s) в пределе бесконечного объема, после периодические граничные условия были наложены.

Строгие результаты

• Существование термодинамический предел для свободная энергия и спиновые корреляции были доказаны Ginibre, распространяя на этот случай Неравенство гриффитса.^[3]
• С использованием Неравенство гриффитса в постановке Жинибра, Айзенмана и Саймона^[4] доказал, что двухточечная спиновая корреляция ферромагнетики XY модель в размере D, связь J > 0 и обратная температура β является преобладают по (т.е. имеет верхняя граница дается) двухточечной корреляцией ферромагнитный Модель Изинга в измерении D, связь J > 0 и обратная температура β/2

${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$

Следовательно, критический β модели XY не может быть меньше двойной критической температуры модели Изинга

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}}$

Одно измерение

Как и любой "ближайший сосед" п-векторная модель со свободными (непериодическими) граничными условиями, если внешнее поле равно нулю, существует простое точное решение. В случае свободных граничных условий гамильтониан имеет вид

${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-J[\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+\cdots +\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})]}$

поэтому статистическая сумма факторизуется при изменении координат

${\displaystyle \theta _{j}=\theta _{j}'+\theta _{j-1}\qquad j\geq 2}$

Это дает

${\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\int _{-\pi }^{\pi }d\theta _{1}\cdots d\theta _{L}\;e^{\beta J\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}\cdots e^{\beta J\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})}\\&=2\pi \prod _{j=2}^{L}\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}=(2\pi )\left[\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}\right]^{L-1}=(2\pi )^{L}(I_{0}(\beta J))^{L-1}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle I_{0}}$ это модифицированная функция Бесселя первого вида. Статистическая сумма может использоваться для нахождения нескольких важных термодинамических величин. Например, в термодинамическом пределе (${\displaystyle L\to \infty }$), свободная энергия за спин

${\displaystyle f(\beta ,h=0)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z=-{\frac {1}{\beta }}\ln[2\pi I_{0}(\beta J)]}$

Используя свойства модифицированных функций Бесселя, удельную теплоемкость (на спин) можно выразить как^[5]

${\displaystyle {\frac {c}{k_{B}}}=\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{L(k_{B}T)^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}(\ln Z)=K^{2}\left(1-{\frac {\mu }{K}}-\mu ^{2}\right)}$

куда ${\displaystyle K=J/k_{B}T}$, и ${\displaystyle \mu }$ - короткодействующая корреляционная функция,

Точная удельная теплоемкость на спин в одномерной XY-модели

${\displaystyle \mu (K)=\langle \cos(\theta -\theta ')\rangle ={\frac {I_{1}(K)}{I_{0}(K)}}}$

Даже в термодинамическом пределе нет расхождения в теплоемкости. Действительно, как и одномерная модель Изинга, одномерная XY-модель не имеет фазовых переходов при конечной температуре.

То же самое вычисление для периодического граничного условия (и все еще час = 0) требует формализм матрицы переноса, хотя результат тот же.^[6].

(Щелкните "показать" справа, чтобы просмотреть детали формализма матрицы передачи.)

Статистическая сумма может быть оценена как

${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\prod _{i=1}^{N}\oint d\theta _{i}e^{\beta J\cos(\theta _{i}-\theta _{i+1})}\right\}}$

который можно рассматривать как след матрицы, а именно произведение матриц (в данном случае скаляров). След матрицы - это просто сумма ее собственных значений, и в термодинамическом пределе ${\displaystyle L\to \infty }$ выживет только наибольшее собственное значение, поэтому статистическая сумма может быть записана как повторяющееся произведение этого максимального собственного значения. Это требует решения проблемы собственных значений

${\displaystyle \oint d\theta '\exp\{\beta J\cos(\theta '-\theta )\}\psi (\theta ')=z_{i}\psi (\theta )}$

Обратите внимание на расширение

${\displaystyle \exp\{\beta J\cos(\theta -\theta ')\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(\beta J)e^{in(\theta -\theta ')}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\omega _{n}\psi _{n}^{*}(\theta ')\psi _{n}(\theta )}$

которое представляет собой диагональное матричное представление в базисе собственных функций плоских волн ${\displaystyle \psi =\exp(in\theta )}$. Собственные значения матрицы просто являются модифицированными функциями Бесселя, вычисленными на ${\displaystyle \beta J}$, а именно ${\displaystyle \omega _{n}=2\pi I_{n}(\beta J)}$. Для любого конкретного значения ${\displaystyle \beta J}$эти модифицированные функции Бесселя удовлетворяют ${\displaystyle I_{0}>I_{1}>I_{2}>\cdots }$ и ${\displaystyle I_{-n}(\beta J)=I_{n}(\beta J)}$. Поэтому в термодинамическом пределе собственное значение ${\displaystyle I_{0}}$ будет доминировать над следом, и поэтому ${\displaystyle Z=[2\pi I_{0}(\beta J)]^{L}}$.

Такой подход матрицы переноса также требуется при использовании свободных граничных условий, но с приложенным полем ${\displaystyle h\neq 0}$. Если прикладное поле ${\displaystyle h}$ достаточно мал, чтобы его можно было рассматривать как возмущение системы в нулевом поле, то магнитная восприимчивость ${\displaystyle \chi \equiv \partial M/\partial h}$ можно оценить. Это делается с помощью собственных состояний, вычисленных с помощью подхода матрицы переноса, и вычисления сдвига энергии со вторым порядком теория возмущений, то сравнивая с разложением по свободной энергии ${\displaystyle F=F_{0}-{\frac {1}{2}}\chi h^{2}}$. Один находит ^[7]

${\displaystyle \chi (h\to 0)={\frac {C}{T}}{\frac {1+\mu }{1-\mu }}}$

куда ${\displaystyle C}$ это Постоянная Кюри (значение, обычно связанное с восприимчивостью магнитных материалов). Это выражение справедливо и для одномерной модели Изинга с заменой ${\displaystyle \mu =\tanh K}$.

Два измерения

Среднеквадратичная магнетизация для решетки 25x25 (Ota:^[8] 30x30), предполагая увеличение магнитного момента, которого нет в термодинамическом пределе.

Двумерная XY-модель с взаимодействиями ближайших соседей является примером двумерной системы с непрерывной симметрией, которая не имеет дальнего порядка, как того требует Теорема Мермина – Вагнера. Точно так же нет обычного фазового перехода, который был бы связан с нарушение симметрии. Однако, как будет обсуждаться позже, система действительно показывает признаки перехода из неупорядоченного высокотемпературного состояния в квазиупорядоченное состояние ниже некоторой критической температуры, называемое Переход Костерлица-Таулеса. В случае дискретной решетки спинов двумерная XY-модель может быть оценена с использованием подхода матрицы передачи, сводя модель к задаче на собственные значения и используя наибольшее собственное значение из матрицы передачи. Хотя точное решение трудно найти, можно использовать определенные приближения для получения оценок критической температуры. ${\displaystyle T_{c}}$ что происходит при низких температурах. Например, Маттис (1984) использовал приближение к этой модели, чтобы оценить критическую температуру системы как

${\displaystyle (2k_{B}T_{c}/J)\ln(2k_{B}T_{c}/J)=1}$

${\displaystyle k_{B}T_{c}/J\approx 0.8816}$

Двухмерная XY-модель также была детально изучена с использованием Монте-Карло моделирования, например, с Алгоритм мегаполиса. Их можно использовать для вычисления термодинамических величин, таких как энергия системы, удельная теплоемкость, намагниченность и т. Д., В диапазоне температур и временных масштабов. В моделировании Монте-Карло каждый спин связан с непрерывно меняющимся углом ${\displaystyle \theta _{i}}$ (часто его можно разделить на конечное число углов, как в соответствующем Модель Поттса, для простоты вычислений. Однако это не является обязательным требованием.) На каждом временном шаге алгоритм Метрополиса выбирает одно вращение случайным образом и поворачивает его угол на некоторое случайное приращение. ${\displaystyle \Delta \theta _{i}\in (-\Delta ,\Delta )}$. Это изменение угла вызывает изменение энергии ${\displaystyle \Delta E_{i}}$ системы, которая может быть положительной или отрицательной. Если отрицательный, алгоритм принимает изменение угла; если положительный, конфигурация принимается с вероятностью ${\displaystyle e^{-\beta \Delta E_{i}}}$, то Фактор Больцмана для изменения энергии. Метод Монте-Карло использовался для проверки различными методами критической температуры системы и оценивается как^[9] ${\displaystyle k_{B}T_{c}/J=0.8935(1)}$. Метод Монте-Карло также может вычислять средние значения, которые используются для вычисления термодинамических величин, таких как намагниченность, спин-спиновая корреляция, корреляционные длины и удельная теплоемкость. Это важные способы характеристики поведения системы вблизи критической температуры. Намагниченность и квадрат намагниченности, например, можно вычислить как

Удельная теплоемкость двумерного XY с использованием моделирования Монте-Карло, показывающая особенность на ${\displaystyle k_{B}T/J\approx 1.1}$, выше К-Т переход

${\displaystyle {\frac {\langle M\rangle }{N}}={\frac {1}{N}}|\langle \mathbf {s} \rangle |={\frac {1}{N}}{\Bigg |}\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i},\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)\right\rangle {\Bigg |}}$

${\displaystyle {\frac {\langle M^{2}\rangle }{N^{2}}}={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle s_{x}^{2}+s_{y}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)^{2}\right\rangle }$

куда ${\displaystyle N=L\times L}$ количество вращений. Средняя намагниченность характеризует величину чистого магнитного момента системы; во многих магнитных системах он равен нулю выше критической температуры и самопроизвольно становится ненулевым при низких температурах. Точно так же среднеквадратичная намагниченность характеризует среднее значение квадрата чистых компонентов спинов по решетке. Любой из них обычно используется для характеристики параметра порядка системы. Строгий анализ модели XY показывает, что намагниченность в термодинамическом пределе равна нулю, а квадрат намагниченности приблизительно соответствует^[10] ${\displaystyle \langle M^{2}\rangle \approx N^{-T/4\pi }}$, которая обращается в нуль в термодинамическом пределе. Действительно, при высоких температурах эта величина приближается к нулю, поскольку компоненты спинов будут иметь тенденцию быть случайными и, следовательно, их сумма будет равна нулю. Однако при низких температурах для конечной системы среднеквадратичная намагниченность увеличивается, что позволяет предположить, что существуют области спинового пространства, которые выровнены, чтобы вносить ненулевой вклад. Показанная намагниченность (для решетки 25x25) является одним из примеров этого, который, по-видимому, предполагает фазовый переход, в то время как такой переход не существует в термодинамическом пределе.

Кроме того, используя статистическую механику, можно связать средние термодинамические величины с такими величинами, как удельная теплоемкость, вычисляя

${\displaystyle c/k_{B}={\frac {\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}}{N(k_{B}T)^{2}}}}$

Удельная теплоемкость указана при низких температурах вблизи критической температуры. ${\displaystyle k_{B}T_{c}/J\approx 0.88}$. В удельной теплоемкости нет характеристики, согласующейся с критической характеристикой (например, дивергенцией) при этой прогнозируемой температуре. Действительно, оценка критической температуры исходит из других методов, например, из модуль спиральности, или температурная зависимость дивергенции восприимчивости.^[11] Однако в теплоемкости есть особенность в виде пика вблизи ${\displaystyle 1.1k_{B}T/J}$. Было показано, что это положение пика и высота пика зависят от размера системы;^[12] однако этот элемент остается конечным для всех размеров решетки и, похоже, сходится к конечному значению (хотя не исключено, что элемент является куспидом, это маловероятно).

Природу критических переходов и образования вихрей можно выяснить, рассмотрев непрерывную версию XY-модели. Здесь дискретные спины ${\displaystyle \theta _{n}}$ заменяются полем ${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$ представляющий угол вращения в любой точке пространства. В этом случае угол вращения ${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$ должны плавно меняться при смене положения. Разложив исходный косинус в ряд Тейлора, гамильтониан можно выразить в приближении континуума как

${\displaystyle E=\int {\frac {J}{2}}(\nabla \theta )^{2}\,d^{2}{\textbf {x}}}$

Цветовая карта (дискретной) двумерной XY-модели в решетке 250x250 при ${\displaystyle k_{B}T/J=0.4}$. Каждое вращение представлено цветом, соответствующим углу между ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Непрерывная версия XY модели часто используется для моделирования систем, которые обладают параметрами порядка с одинаковыми видами симметрии, например сверхтекучий гелий, гексатические жидкие кристаллы. Это отличает их от других фазовых переходов, которые всегда сопровождаются нарушением симметрии. Топологические дефекты в XY-модели приводят к вихревой переход от низкотемпературной фазы к высокотемпературной неупорядоченная фаза. Действительно, тот факт, что при высоких температурах корреляции затухают экспоненциально быстро, а при низких температурах затухают по степенному закону, хотя в обоих режимах M(β) = 0, называется Переход Костерлица – Таулеса. Костерлиц и Таулесс представили простой аргумент, почему это могло быть так: это рассматривает основное состояние, состоящее из всех спинов с одинаковой ориентацией, с добавлением одного вихря. Их присутствие дает энтропию примерно ${\displaystyle \Delta S=k_{B}\ln(L^{2}/a^{2})}$, куда ${\displaystyle a}$ - эффективный масштаб длины (например, размер решетки для дискретной решетки). Между тем, энергия системы увеличивается из-за вихря на величину ${\displaystyle \Delta E=\pi J\ln(L/a)}$. Если сложить их вместе, свободная энергия системы изменится из-за спонтанного образования вихря на величину

${\displaystyle \Delta F=\Delta E-T\Delta S=(\pi J-2k_{B}T)\ln(L/a)}$

В термодинамическом пределе система не способствует образованию вихрей при низких температурах, но способствует им при высоких температурах, превышающих критическую температуру. ${\displaystyle T_{c}=\pi J/2k_{B}}$. Это указывает на то, что при низких температурах любые возникающие вихри будут стремиться аннигилировать с антивихрями, чтобы снизить энергию системы. Действительно, качественно это будет так, если наблюдать «снимки» спиновой системы при низких температурах, где вихри и антивихри постепенно объединяются и аннигилируют. Таким образом, низкотемпературное состояние будет состоять из связанных пар вихрь-антивихрь. Между тем, при высоких температурах будет набор несвязанных вихрей и антивихрей, которые могут свободно перемещаться по плоскости.

Чтобы визуализировать модель Изинга, можно использовать стрелку, указывающую вверх или вниз, или представить ее в виде точки, окрашенной в черный / белый цвет, чтобы указать ее состояние. Чтобы визуализировать систему вращения XY, вращения можно представить в виде стрелки, указывающей в каком-либо направлении, или в виде точки с некоторым цветом. Здесь необходимо представить спин со спектром цветов, обусловленным каждой из возможных непрерывных переменных. Это можно сделать, используя, например, непрерывный и периодический красный-зеленый-синий спектр. Как показано на рисунке, голубой соответствует нулевому углу (указывает вправо), а красный соответствует углу 180 градусов (указывает влево). Затем можно изучить снимки спиновых конфигураций при разных температурах, чтобы выяснить, что происходит выше и ниже критической температуры XY-модели. При высоких температурах спины не будут иметь предпочтительной ориентации, и будет происходить непредсказуемое изменение углов между соседними спинами, так как не будет предпочтительной энергетически выгодной конфигурации. В этом случае цветовая карта будет выглядеть сильно пиксельной. Между тем при низких температурах одна возможная конфигурация основного состояния имеет все спины, направленные в одну и ту же ориентацию (один и тот же угол); они будут соответствовать областям (доменам) цветовой карты, где все спины имеют примерно одинаковый цвет.

Различные формы вихрей и антивихрей, показанные в моделировании Монте-Карло на ${\displaystyle k_{B}T/J=0.4}$

Чтобы идентифицировать вихри (или антивихри), присутствующие в результате перехода Костерлица – Таулеса, можно определить изменение угла со знаком, пройдя круг точек решетки против часовой стрелки. Если полное изменение угла равно нулю, это соответствует отсутствию вихря; тогда как полное изменение угла ${\displaystyle \pm 2\pi }$ соответствует вихрю (или антивихрю). Эти вихри являются топологически нетривиальными объектами, которые входят в пары вихрь-антивихрь, которые могут разделяться или парно-аннигилировать. На палитре эти дефекты можно идентифицировать в областях с большим цветовым градиентом, где все цвета спектра встречаются вокруг точки. Качественно эти дефекты могут выглядеть как источники потока, направленные внутрь или наружу, или как водовороты вращений, которые вместе вращаются по часовой стрелке или против часовой стрелки, или как объекты гиперболического вида с некоторыми вращениями, направленными в сторону дефекта, и некоторыми вращениями, направленными от дефекта. Поскольку конфигурация изучается на больших временных масштабах и при низких температурах, наблюдается, что многие из этих пар вихрь-антивихрь сближаются и в конечном итоге пары аннигилируют. Только при высоких температурах эти вихри и антивихри высвобождаются и развязываются друг с другом.

В непрерывной XY-модели высокотемпературная спонтанная намагниченность исчезает:

${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$

Помимо, расширение кластера показывает, что спиновые корреляции группируются экспоненциально быстро: например,

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$

При низких температурах, т.е. β ≫ 1, спонтанная намагниченность остается нулевой (см. Теорема Мермина – Вагнера ),

${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$

но затухание корреляций происходит только по степенному закону: Фрёлих и Спенсер^[13] нашел нижнюю границу

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\geq {\frac {C(\beta )}{1+|i-j|^{\eta (\beta )}}}}$

а Макбрайан и Спенсер нашли верхнюю границу для любых ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq {\frac {C(\beta ,\epsilon )}{1+|i-j|^{\eta (\beta ,\epsilon )}}}}$

Три и выше измерения

Независимо от диапазона взаимодействия при достаточно низкой температуре намагниченность положительна.

• При высокой температуре спонтанная намагниченность исчезает: ${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$. Помимо, расширение кластера показывает, что спиновые корреляции группируются экспоненциально быстро: например, ${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$.

• При низкой температуре инфракрасный порт показывает, что спонтанная намагниченность строго положительна: ${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |>0}$. Кроме того, существует однопараметрическое семейство экстремальных состояний: ${\displaystyle \langle \;\cdot \;\rangle ^{\theta }}$, так что ${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\rangle ^{\theta }=M(\beta )(\cos \theta ,\sin \theta )}$ но предположительно в каждом из этих экстремальных состояний усеченные корреляции затухают алгебраически.

Фаза перехода

Как упоминалось выше, в одном измерении модель XY не имеет фазового перехода, в то время как в двух измерениях она имеет Переход Березинского-Костерлица-Таулеса между фазами с экспоненциально и степенно убывающими корреляционными функциями.

В трех и более измерениях XY-модель имеет фазовый переход ферромагнетик-парамагнетик. При низких температурах спонтанная намагниченность отлична от нуля: это ферромагнитная фаза. С повышением температуры спонтанная намагниченность постепенно уменьшается и исчезает при критической температуре. Он остается нулевым при всех более высоких температурах: это ферромагнитная фаза.

В четырех измерениях и выше фазовый переход имеет средние критические показатели теории поля (с логарифмическими поправками в четырех измерениях).

Трехмерный случай: критические показатели

Трехмерный случай интересен тем, что критические показатели при фазовом переходе нетривиальны. Многие трехмерные физические системы принадлежат одному и тому же класс универсальности как трехмерная модель XY и имеют одни и те же критические показатели, в первую очередь магниты с легкой плоскостью и жидкие Гелий-4. Ценности этих критические показатели измеряются с помощью экспериментов, моделирования Монте-Карло, а также могут быть рассчитаны теоретическими методами квантовой теории поля, такими как ренормгруппа и конформный бутстрап. Методы ренормгруппы применимы, потому что считается, что критическая точка модели XY описывается фиксированной точкой ренормгруппы. Конформные методы начальной загрузки применимы, потому что они также считаются унитарным трехмерным конформная теория поля.

Самое важное критические показатели трехмерной XY-модели ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\beta ,\delta ,\nu ,\eta }$. Все они могут быть выражены всего двумя числами: масштабные размеры ${\displaystyle \Delta _{\phi }}$ и ${\displaystyle \Delta _{s}}$ поля комплексного параметра порядка ${\displaystyle \phi }$ и ведущего синглетного оператора ${\displaystyle s}$ (такой же как${\displaystyle |\phi |^{2}}$ в Гинзбург – Ландау описание). Еще одно важное поле - это ${\displaystyle s'}$(такой же как ${\displaystyle |\phi |^{4}}$), размерность которой ${\displaystyle \Delta _{s'}}$ определяет степень поправки к масштабированию ${\displaystyle \omega }$. Согласно вычислению конформного бутстрапа,^[14] эти три измерения задаются:

${\displaystyle \Delta _{\phi }}$	0.519088(22)
${\displaystyle \Delta _{s}}$	1.51136(22)
${\displaystyle \Delta _{s'}}$	3.794(8)

Это дает следующие значения критических показателей:

	общее выражение (${\displaystyle d=3}$)	численная величина
α	${\displaystyle 2-d/(d-\Delta _{s})}$	-0.01526(30)
β	${\displaystyle \Delta _{\phi }/(d-\Delta _{s})}$	0.34869(7)
γ	${\displaystyle (d-2\Delta _{\phi })/(d-\Delta _{s})}$	1.3179(2)
δ	${\displaystyle (d-\Delta _{\phi })/\Delta _{\phi }}$	4.77937(25)
η	${\displaystyle 2\Delta _{\phi }-d+2}$	0.038176(44)
ν	${\displaystyle 1/(d-\Delta _{s})}$	0.67175(10)
ω	${\displaystyle \Delta _{s'}-d}$	0.794(8)

Методы Монте-Карло дают совместимые определения:^[15] ${\displaystyle \eta =0.03810(8),\nu =0.67169(7),\omega =0.789(4)}$.

Смотрите также

• Классическая модель Гейзенберга
• Бозон Голдстоуна
• Модель Изинга
• Модель Поттса
• п-векторная модель
• Переход Костерлица – Таулеса
• Топологический дефект
• Сверхтекучая пленка
• Сигма модель

Примечания

1. Стэнли, Е. (1968). «Зависимость критических свойств от размерности спинов». Phys. Rev. Lett. 20 (12): 589–592. Bibcode:1968ПхРвЛ..20..589С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.20.589.
2. Чайкин П.М.; Лубенский, Т. (2000). Принципы физики конденсированного состояния. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521794503.
3. Жинибр Дж. (1970). «Общая формулировка неравенств Гриффитса». Comm. Математика. Phys. 16 (4): 310–328. Bibcode:1970CMaPh..16..310G. Дои:10.1007 / BF01646537.
4. Aizenman, M .; Саймон, Б. (1980). «Сравнение ротора самолета и модели Изинга». Phys. Lett. А. 76 (3–4): 281–282. Bibcode:1980ФЛА ... 76..281А. Дои:10.1016/0375-9601(80)90493-4.
5. Бадалян, Д. (1996). «К термодинамике классических спинов с изотропным гейзенберговским взаимодействием в одномерных квазипериодических структурах». Physica B. 226: 385–390. Дои:10.1016/0921-4526(96)00283-9.
6. Мэттис, округ Колумбия (1984). «Передаточная матрица в модели плосковращателя». Phys. Латыш. 104 А (6–7): 357–360. Bibcode:1984ФЛА..104..357М. Дои:10.1016/0375-9601(84)90816-8.
7. Мэттис, Д. К. (1985). Теория магнетизма II. Серия Спрингера по физике твердого тела. ISBN  978-3-642-82405-0.
8. Ota, S .; Ota, S.B .; Фанле, М. (1992). «Микроканоническое моделирование методом Монте-Карло для двумерной XY-модели». J. Phys .: Condens. Иметь значение. 4: 5411. Дои:10.1088/0953-8984/4/24/011.
9. Hsieh, Y.-D .; Kao, Y.-J .; Sandvik, A.W. (2013). "Метод конечных размеров для перехода Березинского-Костерлица-Таулеса". J. Stat. Механизм .: Theory Exp. 2013. arXiv:1302.2900. Дои:10.1088 / 1742-5468 / 2013/09 / P09001.
10. Tobochnik, J .; Честер, Г.В. (1979). "Монте-Карло исследование модели плоского спина". Phys. Ред. B. 20 (9): 3761–3769. Дои:10.1103 / PhysRevB.20.3761.
11. Биндер, К. (2013). Применение метода Монте-Карло в статистической физике. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-51703-7.
12. Van Himbergen, J.E .; Чакраварти, Судип (1981). «Модуль спиральности и теплоемкость классической модели XY в двух измерениях». Phys. Ред. B. 23: 359. Дои:10.1103 / PhysRevB.23.359.
13. Fröhlich, J .; Спенсер, Т. (1981). «Переход Костерлица – Таулеса в двумерных абелевых спиновых системах и кулоновский газ». Comm. Математика. Phys. 81 (4): 527–602. Bibcode:1981CMaPh..81..527F. Дои:10.1007 / bf01208273.
14. Честер, Шай М .; Лэндри, Уолтер; Лю, Цзюнюй; Польша, Давид; Симмонс-Даффин, Дэвид; Су, Нин; Вичи, Алессандро. «Выделение пространства OPE и точных критических показателей модели O (2)». Журнал физики высоких энергий. 2020 (6): 142. arXiv:1912.03324. Дои:10.1007 / JHEP06 (2020) 142. ISSN  1029-8479.
15. Хазенбуш, Мартин (26 декабря 2019 г.). «Монте-Карло исследование улучшенной модели часов в трех измерениях». Физический обзор B. 100 (22): 224517. arXiv:1910.05916. Дои:10.1103 / PhysRevB.100.224517. ISSN  2469-9950.

Рекомендации

• Евгений Демидов, Вихри в XY-модели (2004)

дальнейшее чтение

• Х. Э. Стэнли, Введение в фазовые переходы и критические явления(Издательство Оксфордского университета, Оксфорд и Нью-Йорк, 1971);
• Х. Кляйнерт, Калибровочные поля в конденсированных средах, Vol. I, "СУПЕРПОТОК И ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ", стр. 1–742, Vol. II, «НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФЕКТЫ», стр. 743–1456, World Scientific (Сингапур, 1989 г.); Мягкая обложка ISBN  9971-5-0210-0 (также доступно в Интернете: Vol. я и Vol. II )

внешняя ссылка

• XY-модель в реальном времени WebGL-моделирование
• Интерактивное моделирование методом Монте-Карло моделей Изинга, XY и Гейзенберга с трехмерной графикой (требуется браузер, совместимый с WebGL)