Трансферно-матричный метод - Transfer-matrix method

О методе в оптике см. Трансфер-матричный метод (оптика).

В статистическая механика, то трансфер-матричный метод это математическая техника который используется для записи функция распределения в более простую форму. Он был представлен в 1941 г. Ганс Крамерс и Грегори Ванье.^[1][2] Во многих одномерных решетчатые модели, статистическая сумма сначала записывается как п-кратное суммирование по каждому возможному микросостояние, а также содержит дополнительную сумму вклада каждого компонента в энергию системы в каждом микросостоянии.

Обзор

Модели с более высокой размерностью содержат еще больше суммирований. Для систем с более чем несколькими частицами такие выражения могут быстро стать слишком сложными для непосредственной обработки даже с помощью компьютера.

Вместо этого функцию распределения можно переписать аналогичным образом. Основная идея - написать функция распределения в виде

${displaystyle {mathcal {Z}}=mathbf {v} _{0}cdot left{prod _{k=1}^{N}mathbf {W} _{k}ight}cdot mathbf {v} _{N+1}}$

куда v₀ и v_N+1 векторы размерности п и п × п матрицы W_k так называемые матрицы передачи. В некоторых случаях, особенно для систем с периодическими граничными условиями, статистическая сумма может быть записана проще как

${displaystyle {mathcal {Z}}=operatorname {tr} left{prod _{k=1}^{N}mathbf {W} _{k}ight}}$

где "tr" обозначает матричный след. В любом случае статистическая сумма может быть решена точно с помощью собственный анализ. Если все матрицы одинаковые, матрица W, статистическая сумма может быть аппроксимирована как N^th степень наибольшего собственного значения W, поскольку след представляет собой сумму собственных значений, а собственные значения произведения двух диагональных матриц равны произведению их индивидуальных собственных значений.

Метод трансфер-матрицы используется, когда вся система может быть разбита на последовательность подсистем, которые взаимодействуют только со смежными подсистемами. Например, трехмерная кубическая решетка спины в Модель Изинга можно разложить на последовательность двумерных плоских решеток спинов, взаимодействующих только смежно. Измерение п из п × п матрица передачи равна количеству состояний, которые может иметь подсистема; сама матрица переноса W_k кодирует статистический вес связанный с определенным состоянием подсистемы k - 1 находится рядом с другим состоянием подсистемыk.

В качестве примера наблюдаемых, которые могут быть вычислены с помощью этого метода, вероятность определенного состояния ${displaystyle m}$ происходящее на позиции Икс дан кем-то:

${displaystyle mathrm {Pr} _{m}(x)={frac {operatorname {tr} left[prod _{k=1}^{x}mathbf {W} _{k}mathbf {Pj} prod _{k'=x+1}^{N}mathbf {W} _{k'}ight]}{operatorname {tr} left[prod _{k=1}^{N}mathbf {W} _{k}ight]}}}$

Где ${displaystyle Pj}$ матрица проекции состояния ${displaystyle m}$, имеющий элементы ${displaystyle Pj_{mu u }=delta _{mu u }delta _{mu m}}$

Матричные методы переноса критически важны для многих точных решений проблем в статистическая механика, в том числе Зимм – Брэгг и Модели Lifson – Roig из переход спираль-катушка, модели матрицы переноса для связывание белка с ДНК, а также знаменитое точное решение двумерной Модель Изинга к Ларс Онсагер.

Смотрите также

• Оператор трансфера

Рекомендации

1. Kramers, H.A .; Ванье, Г. Х. (1941). «Статистика двумерного ферромагнетика. Часть I». Физический обзор. 60 (3): 252–262. Bibcode:1941ПхРв ... 60..252К. Дои:10.1103 / PhysRev.60.252. ISSN  0031-899X.
2. Kramers, H.A .; Ванье, Г. Х. (1941). «Статистика двумерного ферромагнетика. Часть II». Физический обзор. 60 (3): 263–276. Дои:10.1103 / PhysRev.60.263. ISSN  0031-899X.

Примечания

• Родни Дж. Бакстер (1982). Точно решаемые модели в статистической механике. Академическая пресса. ISBN  978-0-12-083182-1.
• Тейф В.Б. (2007). «Общий формализм матрицы переноса для расчета связывания ДНК-белок-лекарственное средство в регуляции генов». Нуклеиновые кислоты Res. 35 (11): e80. Дои:10.1093 / нар / гкм268. ЧВК  1920246. PMID  17526526.
• Ефремов А.К., Винарди Р.С., Ян Дж. (2016). «Трансфер-матричные расчеты микромеханики полимеров ДНК в условиях растяжения и крутящего момента». Phys. Ред. E. 94 (3): 032404. Bibcode:2016PhRvE..94c2404E. Дои:10.1103 / PhysRevE.94.032404. PMID  27739846.
• Ефремов А.К., Ян Дж. (2018). «Трансфер-матричные расчеты влияния ограничений натяжения и крутящего момента на ДНК-белковые взаимодействия». Нуклеиновые кислоты Res. 46 (13): 6504–6527. Дои:10.1093 / nar / gky478. ЧВК  6061897. PMID  29878241.