Клеточная алгебра - Cellular algebra

Эта статья посвящена клеточным алгебрам Грэма и Лерера. По поводу клеточных алгебр Вейсфейлера и Лемана см. схема ассоциации.

В абстрактная алгебра, а клеточная алгебра это конечномерный ассоциативная алгебра А с выдающимся клеточная основа который особенно хорошо подходит для изучения теория представлений из А.

История

Клеточные алгебры, обсуждаемые в этой статье, были представлены в статье Грэма и Лерера 1996 года.^[1] Однако терминология ранее использовалась Weisfeiler и Lehman в Советском Союзе в 1960-х годах, чтобы описать то, что также известно как схемы ассоциации.^[2][3]

Определения

Позволять ${\displaystyle R}$ быть фиксированным коммутативное кольцо с единицей. В большинстве приложений это поле, но для определений оно не требуется. Пусть также ${\displaystyle A}$ быть ${\displaystyle R}$-алгебра.

Конкретное определение

А ячейка за ${\displaystyle A}$ кортеж ${\displaystyle (\Lambda ,i,M,C)}$ состоящий из

• Конечное частично упорядоченное множество ${\displaystyle \Lambda }$.
• А ${\displaystyle R}$-линейный антиавтоморфизм ${\displaystyle i:A\to A}$ с ${\displaystyle i^{2}=id_{A}}$.
• Для каждого ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ непустое конечное множество ${\displaystyle M(\lambda )}$ индексов.
• Инъективная карта

${\displaystyle C:{\dot {\bigcup }}_{\lambda \in \Lambda }M(\lambda )\times M(\lambda )\to A}$

Изображения под этой картой отмечены верхним индексом. ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ и два нижних индекса ${\displaystyle {\mathfrak {s}},{\mathfrak {t}}\in M(\lambda )}$ так что типичный элемент изображения записывается как ${\displaystyle C_{\mathfrak {st}}^{\lambda }}$.

и удовлетворяющие следующим условиям:

1. Образ ${\displaystyle C}$ это ${\displaystyle R}$-базис ${\displaystyle A}$.
2. ${\displaystyle i(C_{\mathfrak {st}}^{\lambda })=C_{\mathfrak {ts}}^{\lambda }}$ для всех элементов основания.
3. Для каждого ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$, ${\displaystyle {\mathfrak {s}},{\mathfrak {t}}\in M(\lambda )}$ и каждый ${\displaystyle a\in A}$ уравнение

${\displaystyle aC_{\mathfrak {st}}^{\lambda }\equiv \sum _{{\mathfrak {u}}\in M(\lambda )}r_{a}({\mathfrak {u}},{\mathfrak {s}})C_{\mathfrak {ut}}^{\lambda }\mod A(<\lambda )}$

с коэффициентами ${\displaystyle r_{a}({\mathfrak {u}},{\mathfrak {s}})\in R}$ в зависимости только от ${\displaystyle a}$,${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ но не на ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$. Здесь ${\displaystyle A(<\lambda )}$ обозначает ${\displaystyle R}$-пространство всех базисных элементов с верхним индексом строго меньше ${\displaystyle \lambda }$.

Это определение было первоначально дано Грэмом и Лерером, которые изобрели клеточные алгебры.^[1]

Более абстрактное определение

Позволять ${\displaystyle i:A\to A}$ быть антиавтоморфизмом ${\displaystyle R}$-алгебры с ${\displaystyle i^{2}=id}$ (с этого момента называется просто «инволюция»).

А идеальная ячейка из ${\displaystyle A}$ w.r.t. ${\displaystyle i}$ двусторонний идеал ${\displaystyle J\subseteq A}$ такое, что выполняются следующие условия:

1. ${\displaystyle i(J)=J}$.
2. Есть левый идеал ${\displaystyle \Delta \subseteq J}$ это бесплатно как ${\displaystyle R}$-модуль и изоморфизм

${\displaystyle \alpha :\Delta \otimes _{R}i(\Delta )\to J}$

из ${\displaystyle A}$-${\displaystyle A}$-бимодули такие, что ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle i}$ совместимы в том смысле, что

${\displaystyle \forall x,y\in \Delta :i(\alpha (x\otimes i(y)))=\alpha (y\otimes i(x))}$

А клеточная цепь за ${\displaystyle A}$ w.r.t. ${\displaystyle i}$ определяется как прямое разложение

${\displaystyle A=\bigoplus _{k=1}^{m}U_{k}}$

в свободный ${\displaystyle R}$-подмодули такие, что

1. ${\displaystyle i(U_{k})=U_{k}}$
2. ${\displaystyle J_{k}:=\bigoplus _{j=1}^{k}U_{j}}$ это двусторонний идеал ${\displaystyle A}$
3. ${\displaystyle J_{k}/J_{k-1}}$ клеточный идеал ${\displaystyle A/J_{k-1}}$ w.r.t. к индуцированной инволюции.

Сейчас же ${\displaystyle (A,i)}$ называется клеточной алгеброй, если она имеет клеточную цепочку. Можно показать, что эти два определения эквивалентны.^[4] Каждый базис дает начало клеточным цепочкам (по одной на каждый топологический порядок из ${\displaystyle \Lambda }$) и выбирая основу каждого левого идеала ${\displaystyle \Delta /J_{k-1}\subseteq J_{k}/J_{k-1}}$ можно построить соответствующий клеточный базис для ${\displaystyle A}$.

Примеры

Примеры полиномов

${\displaystyle R[x]/(x^{n})}$ сотовый. Данные ячейки задаются ${\displaystyle i=id}$ и

• ${\displaystyle \Lambda :=\lbrace 0,\ldots ,n-1\rbrace }$ с обратным естественному порядку.
• ${\displaystyle M(\lambda ):=\lbrace 1\rbrace }$
• ${\displaystyle C_{11}^{\lambda }:=x^{\lambda }}$

Ячейка-цепочка в смысле второго, абстрактного определения дается формулой

${\displaystyle 0\subseteq (x^{n-1})\subseteq (x^{n-2})\subseteq \ldots \subseteq (x^{1})\subseteq (x^{0})=R[x]/(x^{n})}$

Примеры матриц

${\displaystyle R^{d\times d}}$ сотовый. Данные ячейки задаются ${\displaystyle i(A)=A^{T}}$ и

• ${\displaystyle \Lambda :=\lbrace 1\rbrace }$
• ${\displaystyle M(1):=\lbrace 1,\dots ,d\rbrace }$
• За основу выбирают ${\displaystyle C_{st}^{1}:=E_{st}}$ стандартные матричные блоки, т.е. ${\displaystyle C_{st}^{1}}$ - матрица, все элементы которой равны нулю, кроме (s,т) -я запись, равная 1.

Клеточная цепочка (и фактически единственная клеточная цепь) задается формулой

${\displaystyle 0\subseteq R^{d\times d}}$

В некотором смысле все клеточные алгебры «интерполируют» между этими двумя крайностями, располагая элементы, подобные матричной алгебре, в соответствии с определенным положением. ${\displaystyle \Lambda }$.

Дальнейшие примеры

По модулю мелкие технические детали все Алгебры Ивахори – Гекке конечного типа являются клеточными по отношению к инволюции, отображающей стандартный базис как ${\displaystyle T_{w}\mapsto T_{w^{-1}}}$.^[5] Это включает, например, целочисленную групповую алгебру симметричные группы а также все другие конечные Группы Вейля.

Базовая алгебра дерева Брауэра над полем является клеточной тогда и только тогда, когда дерево Брауэра является прямой линией (с произвольным числом исключительных вершин).^[4]

Дополнительные примеры включают q-Алгебры Шура, то Алгебра Брауэра, то Алгебра Темперли – Либа, то Алгебра Бирмана – Мураками – Венцля, блоки категории Бернштейна – Гельфанда – Гельфанда ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ из полупростая алгебра Ли.^[4]

Представления

Клеточные модули и инвариантная билинейная форма

Предполагать ${\displaystyle A}$ сотовый и ${\displaystyle (\Lambda ,i,M,C)}$ это ячейка данных для ${\displaystyle A}$. Затем определяется сотовый модуль ${\displaystyle W(\lambda )}$ как бесплатный ${\displaystyle R}$-модуль с базой ${\displaystyle \lbrace C_{\mathfrak {s}}|{\mathfrak {s}}\in M(\lambda )\rbrace }$ и умножение

${\displaystyle aC_{\mathfrak {s}}:=\sum _{\mathfrak {u}}r_{a}({\mathfrak {u}},{\mathfrak {s}})C_{\mathfrak {u}}}$

где коэффициенты ${\displaystyle r_{a}({\mathfrak {u}},{\mathfrak {s}})}$ такие же, как указано выше. потом ${\displaystyle W(\lambda )}$ становится ${\displaystyle A}$-левый модуль.

Эти модули обобщают Модули Specht для симметрической группы и алгебр Гекке типа A.

Есть каноническая билинейная форма ${\displaystyle \phi _{\lambda }:W(\lambda )\times W(\lambda )\to R}$ что удовлетворяет

${\displaystyle C_{\mathfrak {st}}^{\lambda }C_{\mathfrak {uv}}^{\lambda }\equiv \phi _{\lambda }(C_{\mathfrak {t}},C_{\mathfrak {u}})C_{\mathfrak {sv}}^{\lambda }\mod A(<\lambda )}$

по всем показателям ${\displaystyle s,t,u,v\in M(\lambda )}$.

Это можно проверить ${\displaystyle \phi _{\lambda }}$ симметричен в том смысле, что

${\displaystyle \phi _{\lambda }(x,y)=\phi _{\lambda }(y,x)}$

для всех ${\displaystyle x,y\in W(\lambda )}$ а также ${\displaystyle A}$-инвариантен в том смысле, что

${\displaystyle \phi _{\lambda }(i(a)x,y)=\phi _{\lambda }(x,ay)}$

для всех ${\displaystyle a\in A}$,${\displaystyle x,y\in W(\lambda )}$.

Простые модули

В оставшейся части этого раздела предположим, что кольцо ${\displaystyle R}$ это поле. Имея информацию, содержащуюся в инвариантных билинейных формах, легко перечислить все простые ${\displaystyle A}$-модули:

Позволять ${\displaystyle \Lambda _{0}:=\lbrace \lambda \in \Lambda |\phi _{\lambda }\neq 0\rbrace }$ и определить ${\displaystyle L(\lambda ):=W(\lambda )/\operatorname {rad} (\phi _{\lambda })}$ для всех ${\displaystyle \lambda \in \Lambda _{0}}$. Тогда все ${\displaystyle L(\lambda )}$ находятся абсолютно простой ${\displaystyle A}$-модули и все простые ${\displaystyle A}$-модуль - один из них.

Эти теоремы появляются уже в оригинальной статье Грэхема и Лерера.^[1]

Свойства клеточных алгебр

Свойства стойкости

• Тензорные произведения конечного числа клеточных ${\displaystyle R}$-алгебры клеточные.
• А ${\displaystyle R}$-алгебра ${\displaystyle A}$ является клеточным тогда и только тогда, когда его противоположная алгебра ${\displaystyle A^{op}}$ является.
• Если ${\displaystyle A}$ сотовый с ячейкой-данным ${\displaystyle (\Lambda ,i,M,C)}$ и ${\displaystyle \Phi \subseteq \Lambda }$ является идеальный (закрытое вниз подмножество) посета ${\displaystyle \Lambda }$ тогда ${\displaystyle A(\Phi ):=\sum RC_{\mathfrak {st}}^{\lambda }}$ (где сумма превышает ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ и ${\displaystyle s,t\in M(\lambda )}$) является двусторонним, ${\displaystyle i}$-инвариантный идеал ${\displaystyle A}$ и частное ${\displaystyle A/A(\Phi )}$ сотовый с базой данных ${\displaystyle (\Lambda \setminus \Phi ,i,M,C)}$ (где i обозначает индуцирующую инволюцию, а M, C обозначают ограниченные отображения).
• Если ${\displaystyle A}$ это сотовый ${\displaystyle R}$-алгебра и ${\displaystyle R\to S}$ является унитарным гомоморфизмом коммутативных колец, то расширение скаляров ${\displaystyle S\otimes _{R}A}$ это сотовый ${\displaystyle S}$-алгебра.
• Прямые продукты конечного числа сотовых ${\displaystyle R}$-алгебры клеточные.

Если ${\displaystyle R}$ является область целостности то есть обратное этому последнему пункту:

• Если ${\displaystyle (A,i)}$ является конечномерным ${\displaystyle R}$-алгебра с инволюцией и ${\displaystyle A=A_{1}\oplus A_{2}}$ двухстороннее разложение, ${\displaystyle i}$-инвариантные идеалы, то следующие эквивалентны:

1. ${\displaystyle (A,i)}$ сотовый.
2. ${\displaystyle (A_{1},i)}$ и ${\displaystyle (A_{2},i)}$ сотовые.

• Поскольку в частности все блоки из ${\displaystyle A}$ находятся ${\displaystyle i}$-инвариантно, если ${\displaystyle (A,i)}$ является клеточным, непосредственным следствием является то, что конечномерная ${\displaystyle R}$-алгебра клеточная относительно ${\displaystyle i}$ тогда и только тогда, когда все блоки ${\displaystyle i}$-инвариантный и клеточный w.r.t. ${\displaystyle i}$.
• Теорема Титса о деформации для клеточных алгебр: Пусть ${\displaystyle A}$ быть сотовым ${\displaystyle R}$-алгебра. Также позвольте ${\displaystyle R\to k}$ - унитарный гомоморфизм в поле ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle K:=Quot(R)}$ то поле частного из ${\displaystyle R}$. Тогда имеет место следующее: если ${\displaystyle kA}$ полупросто, то ${\displaystyle KA}$ тоже полупростой.

Если еще предположить ${\displaystyle R}$ быть локальный домен, то дополнительно имеет место следующее:

• Если ${\displaystyle A}$ сотовая связь w.r.t. ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle e\in A}$ является идемпотент такой, что ${\displaystyle i(e)=e}$, то алгебра ${\displaystyle eAe}$ сотовый.

Другие свойства

При условии, что ${\displaystyle R}$ является полем (хотя многое из этого можно обобщить на произвольные кольца, целостные области, местные кольца или по крайней мере дискретные оценочные кольца ) и ${\displaystyle A}$ сотовая связь w.r.t. к инволюции ${\displaystyle i}$. Тогда справедливо следующее

• ${\displaystyle A}$ разбивается, т.е. все простые модули абсолютно несводимый.
• Следующие варианты эквивалентны:^[1]

1. ${\displaystyle A}$ является полупростой.
2. ${\displaystyle A}$ расщепляется полупросто.
3. ${\displaystyle \forall \lambda \in \Lambda :W(\lambda )}$ это просто.
4. ${\displaystyle \forall \lambda \in \Lambda :\phi _{\lambda }}$ является невырожденный.

• В Матрица Картана ${\displaystyle C_{A}}$ из ${\displaystyle A}$ является симметричный и положительно определенный.
• Следующие варианты эквивалентны:^[6]

1. ${\displaystyle A}$ является квази-наследственный (т.е. его категория модуля является высшая весовая категория ).
2. ${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{0}}$.
3. Все клеточные цепи ${\displaystyle (A,i)}$ иметь одинаковую длину.
4. Все клеточные цепи ${\displaystyle (A,j)}$ иметь одинаковую длину, где ${\displaystyle j:A\to A}$ - произвольная инволюция относительно который ${\displaystyle A}$ сотовый.
5. ${\displaystyle \det(C_{A})=1}$.

• Если ${\displaystyle A}$ является Эквивалент Мориты к ${\displaystyle B}$ и характеристика из ${\displaystyle R}$ не два, тогда ${\displaystyle B}$ также сотовый w.r.t. подходящая инволюция. В частности ${\displaystyle A}$ клеточна (до некоторой инволюции) тогда и только тогда, когда ее основная алгебра.^[7]
• Каждый идемпотент ${\displaystyle e\in A}$ эквивалентно ${\displaystyle i(e)}$, т.е. ${\displaystyle Ae\cong Ai(e)}$. Если ${\displaystyle char(R)\neq 2}$ то фактически каждый класс эквивалентности содержит ${\displaystyle i}$-инвариантный идемпотент.^[4]

Рекомендации

1. Грэм, Дж. Дж .; Лерер, Г. (1996), "Клеточные алгебры", Inventiones Mathematicae, 123: 1–34, Bibcode:1996InMat.123 .... 1G, Дои:10.1007 / bf01232365
2. Вайсфейлер, Б.Ю.; А.А., Леман (1968). «Приведение графа к каноническому виду и алгебра, которая появляется в этом процессе». Научно-технологические исследования. 2 с. 9: 12–16.
3. Кэмерон, Питер Дж. (1999). Группы перестановок. Тексты студентов Лондонского математического общества (45). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-65378-7.
4. König, S .; Си, К. (1996), «О строении клеточных алгебр», Алгебры и модули II. Материалы конференции CMS: 365–386
5. Гек, Мейнольф (2007), "Алгебры Гекке конечного типа являются клеточными", Inventiones Mathematicae, 169 (3): 501–517, arXiv:математика / 0611941, Bibcode:2007InMat.169..501G, Дои:10.1007 / s00222-007-0053-2
6. König, S .; Си, К. (1999-06-24), "Клеточные алгебры и квазнаследственные алгебры: сравнение", Объявления об электронных исследованиях Американского математического общества, 5 (10): 71–75, Дои:10.1090 / S1079-6762-99-00063-3
7. König, S .; Си, К. (1999), "Клеточные алгебры: инфляции и эквивалентности Мориты", Журнал Лондонского математического общества, 60 (3): 700–722, CiteSeerX  10.1.1.598.3299, Дои:10.1112 / s0024610799008212