Гипотеза Брюмера – Старка. - Brumer–Stark conjecture

В Гипотеза Брюмера – Старка. это догадка в алгебраическая теория чисел дает грубое обобщение как формула аналитического числа классов за Дзета-функции Дедекинда, а также Теорема Штикельбергера о факторизация из Суммы Гаусса. Он назван в честь Арманд Брумер и Гарольд Старк.

Он возникает как частный случай (абелев и первый порядок) Гипотеза Старка, когда место который полностью раскалывается в расширении конечно. Случаев, когда гипотеза верна, очень мало. Его важность возникает, например, из его связи с Двенадцатая проблема Гильберта.

Формулировка гипотезы

Позволять K/k быть абелево расширение из глобальные поля, и разреши S быть набором мест k содержащий Архимедовы места и главные идеалы который разветвляться в K/k. В S-примитивный эквивариантная L-функция Артина θ(s) получается из обычной эквивариантной L-функции Артина удалением Факторы Эйлера соответствующие простым числам в S от Артина L-функции из которого строится эквивариантная функция. Это функция на сложные числа принимая ценности в комплексе групповое кольцо C[грамм] куда грамм это Группа Галуа из K/k. Он аналитичен на всей плоскости, за исключением одиночного простого полюса на s = 1.

Позволять μ_K быть группой корни единства в K. Группа грамм действует на μ_K; позволять А быть аннигилятор из μ_K как Z[грамм]-модуль. Важная теорема, впервые доказанная К. Л. Сигель а позже независимо Такуро Шинтани, утверждает, что θ(0) на самом деле в Q[грамм]. Более глубокая теорема, независимо доказанная Пьер Делинь и Кен Рибет, Даниэль Барский, и Пьерет Кассу-Ногуэ, утверждает, что Aθ(0) в Z[грамм]. Особенно, Wθ(0) в Z[грамм], куда W это мощность μ_K.

В группа идеального класса из K это грамм-модуль. Из приведенного выше обсуждения мы можем позволить Wθ(0) действовать в соответствии с этим. Гипотеза Брюмера – Старка гласит следующее:^[1]

Гипотеза Брюмера – Старка. Для каждого ненулевого дробный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ из K, есть «антиузел» ε такой, что

1. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{W\theta (0)}=(\varepsilon ).}$
2. Расширение ${\displaystyle K\left(\varepsilon ^{\frac {1}{W}}\right)/k}$ абелева.

Первая часть этой гипотезы принадлежит Арманду Брумеру, и Гарольд Старк первоначально предположил, что второе условие может выполняться. Гипотеза была впервые изложена в опубликованной форме Джон Тейт.^[2]

Термин «противоядие» относится к состоянию, при котором |ε|_ν требуется 1 на каждое место Архимеда ν.^[1]

Прогресс

Как известно, гипотеза Брюмера-Штарка верна для расширений K/k куда

• K/Q циклотомический: это следует из Теорема Штикельбергера^[1]
• K абелева над Q^[3]
• K/k это квадратичное расширение^[2]
• K/k это биквадратное расширение^[4]

Аналог функционального поля

Аналогичное утверждение в случай функционального поля известно, что это правда, что было доказано Джон Тейт и Пьер Делинь, с другим доказательством Дэвида Хейса.^[5]

Рекомендации

1. Леммермейер, Франц (2000). Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна. Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag. п. 384. ISBN  3-540-66957-4. МИСТЕР  1761696. Zbl  0949.11002.
2. Тейт, Джон, Брюмер – Старк – Штикельбергер, Séminaire de Théorie des Nombres, Univ. Bordeaux I Talence, (1980-81), разоблачение № 24.
3. Тейт, Джон, "Гипотезы Старка о функциях L d'Artin en s = 0", Успехи в математике, Бирхаузер, 47, МИСТЕР  0782485
4. Сэндс, Дж. У. (1984), "Группы Галуа показателя 2 и гипотеза Брюмера – Штарка", J. Reine Angew. Математика., 349 (1): 129–135, Дои:10.1515 / crll.1984.349.129
5. Розен, Майкл (2002), «15. Гипотеза Брумера-Старка», Теория чисел в функциональных полях, Тексты для выпускников по математике, 210, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-95335-3, Zbl  1043.11079