Книга лемм - Book of Lemmas

Первая страница Книга лемм как видно в Произведения Архимеда (1897).

В Книга лемм это книга, приписываемая Архимед от Табит ибн Курра хотя авторство книги сомнительно. Он состоит из пятнадцати предложений (леммы ) на круги.[1]

История

Переводы

В Книга лемм был впервые представлен в арабский Табита ибн Курры; он приписал эту работу Архимеду. В 1661 г. арабская рукопись была переведена на латинский от Авраам Экчелленсис и отредактировал Джованни А. Борелли. Латинская версия вышла под названием Liber Assumptorum.[2] Т. Л. Хит перевел латинский труд Хейбурга на английский в его Произведения Архимеда.[3][4]

Авторство

Смотрите также: Псевдоархимед

Первоначальное авторство Книга лемм был под вопросом, потому что в четвертом предложении книга ссылается на Архимеда в третье лицо; однако было высказано предположение, что оно могло быть добавлено переводчиком.[5] Другая возможность состоит в том, что Книга лемм может быть собранием предложений Архимеда, позже собранным греческим писателем.[1]

Новые геометрические фигуры

Книга лемм вводит несколько новых геометрические фигуры.

Арбелос

Основная статья: Арбелос
Арбелос - это заштрихованная область (серый цвет).

Архимед впервые представил арбелос в четвертом предложении своей книги:

Если AB - диаметр полукруг и N - любая точка на AB, и если полукруги описываются внутри первого полукруга и имеют AN, BN как диаметры соответственно, фигура, заключенная между окружностями трех полукругов, есть «то, что Архимед называл αρβηλος»; и его площадь равна диаметру окружности на PN, где PN перпендикулярно AB и пересекает исходный полукруг в P.[1]

Эта цифра используется в предложениях с четвертого по восьмое. В пятом предложении Архимед вводит Двойные круги архимеда, а в предложении восемь он использует то, что было бы Цепочка паппуса, официально представленный Папп Александрийский.

Салинон

Основная статья: Салинон
Салинон - это область, закрашенная синим.

Архимед впервые представил салинон в четырнадцатом предложении своей книги:

Пусть ACB - полукруг на AB как диаметр, и пусть AD, BE - равные длины, измеренные вдоль AB от A, B соответственно. На AD, BE как диаметры описывает полукруги на стороне по направлению к C, а на DE как диаметр - полукруг на противоположной стороне. Пусть перпендикуляр к AB, проходящий через точку O, центр первого полукруга, пересекает противоположные полукруги в C и F соответственно. Тогда площадь фигуры, ограниченная окружностями всех полукругов, должна быть равна площади круга на CF как диаметра.[1]

Архимед доказал, что салинон и круг равны по площади.

Предложения

  1. Если два круга соприкасаются в точке A, и если диаметры CD, EF в них параллельны, ADF представляет собой прямую линию.
  2. Пусть AB - диаметр полукруга, и пусть касательные к нему в B и в любой другой точке D на нем пересекаются в T. Если теперь DE провести перпендикулярно AB и если AT, DE пересекаются в F, то DF = FE.
  3. Пусть P - любая точка на отрезке окружности с основанием AB, и пусть PN перпендикулярна AB. Возьмем D на AB так, чтобы AN = ND. Если теперь PQ будет дугой, равной дуге PA, и соединить BQ, то BQ, BD должны быть равны.
  4. Если AB - диаметр полукруга, а N - любая точка на AB, и если полукруги описываются внутри первого полукруга и имеют AN, BN в качестве диаметров соответственно, фигура, заключенная между окружностями трех полукругов, является «тем, что Архимед называл αρβηλος» ; и его площадь равна диаметру окружности на PN, где PN перпендикулярно AB и пересекает исходный полукруг в P.
  5. Пусть AB - диаметр полукруга, C - любая точка на AB и CD, перпендикулярная ей, и пусть полукруги описаны внутри первого полукруга и имеют AC, CB в качестве диаметров. Затем, если нарисовать два круга, соприкасающихся с CD с разных сторон и каждый из которых касается двух полукругов, то нарисованные таким образом круги будут равны.
  6. Пусть AB, диаметр полукруга, разделен в C так, чтобы AC = 3/2 × CB [или в любом соотношении]. Опишите полукруги внутри первого полукруга и на AC, CB как диаметры и предположите, что нарисованный круг касается всех трех полукругов. Если GH - диаметр этой окружности, найти связь между GH и AB.
  7. Если окружности описываются вокруг и вписываются в квадрат, описанный круг вдвое больше вписанного квадрата.
  8. Если AB - любая хорда окружности с центром в O, и если AB соединяется с C так, что BC равен радиусу; если следующий CO пересекает окружность в D и будет образован так, чтобы пересечь окружность во второй раз в E, дуга AE будет равна трехкратной дуге BD.
  9. Если в окружности две хорды AB, CD, не проходящие через центр, пересекаются под прямым углом, то (дуга AD) + (дуга CB) = (дуга AC) + (дуга DB).
  10. Предположим, что TA, TB - две касательные к окружности, а TC разрезает ее. Пусть BD - хорда, проходящая через B параллельно TC, и пусть AD пересекает TC в E. Тогда, если EH провести перпендикулярно BD, он разделит его пополам в H.
  11. Если две хорды AB, CD в окружности пересекаются под прямым углом в точке O, не являющейся центром, то AO2 + BO2 + CO2 + ДЕЛАТЬ2 = (диаметр)2.
  12. Если AB - диаметр полукруга, а TP, TQ - касательные к нему из любой точки T, и если AQ, BP соединены, пересекаясь в R, то TR перпендикулярно AB.
  13. Если диаметр AB окружности пересекает любую хорду CD, а не диаметр в E, и если AM, BN провести перпендикулярно CD, то CN = DM.
  14. Пусть ACB - полукруг на AB как диаметр, и пусть AD, BE - равные длины, измеренные вдоль AB от A, B соответственно. На AD, BE как диаметры описывает полукруги на стороне по направлению к C, а на DE как диаметр - полукруг на противоположной стороне. Пусть перпендикуляр к AB, проходящий через точку O, центр первого полукруга, пересекает противоположные полукруги в C и F соответственно. Тогда площадь фигуры, ограниченная окружностями всех полукругов, должна быть равна площади круга на CF как диаметра.
  15. Пусть AB - диаметр окружности., AC - сторона вписанного правильного пятиугольника, D - середина дуги AC. Присоединяйтесь к CD и производите его в соответствии с BA, произведенным в E; присоединитесь к AC, встрече DB в F и нарисуйте FM перпендикулярно AB. Тогда EM = (радиус окружности).[1]

использованная литература

  1. ^ а б c d е Хит, Томас Литтл (1897), Произведения Архимеда, Кембриджский университет: University Press, стр.xxxii, 301–318, получено 2008-06-15
  2. ^ «От Евклида до Ньютона». Брауновский университет. Архивировано из оригинал на 2008-02-24. Получено 2008-06-24.
  3. ^ Aaboe, Asger (1997), Эпизоды из ранней истории математики, Вашингтон, округ Колумбия: Math. Доц. Америки, стр.77, 85, ISBN  0-88385-613-1, получено 2008-06-19
  4. ^ Глик, Томас Ф .; Ливси, Стивен Джон; Уоллис, Вера (2005), Средневековая наука, технология и медицина: энциклопедия, Нью-Йорк: Рутледж, п. 41, ISBN  0-415-96930-1, получено 2008-06-19
  5. ^ Богомольный, А. "Книга лемм Архимеда". Разрезать узел. Получено 2008-06-19.