Салинон - Salinon

Салинон (красный) и круг (синий) имеют одинаковую площадь.

В салинон (что означает «солонка» по-гречески) - это геометрическая фигура который состоит из четырех полукруги. Впервые он был представлен в Книга лемм, работа, приписываемая Архимед.^[1]

строительство

Позволять О быть источником на Декартова плоскость. Позволять А, D, E, и B быть четырьмя точками на линии в указанном порядке, причем О биссектриса AB. Позволять ОБЪЯВЛЕНИЕ = EB. Полукруги нарисованы над линией AB с участием диаметры AB, ОБЪЯВЛЕНИЕ, и EB, а внизу проведен еще один полукруг диаметром DE. Салинон - это фигура, ограниченная этими четырьмя полукругами.^[2]

Свойства

Площадь

Архимед ввел салинон в Книга лемм применяя Книгу II, предложение 10 Евклида Элементы. Архимед заметил, что «площадь фигуры, ограниченная окружностями всех полукругов, [равна] площади круга на CF как диаметра».^[3]

А именно площадь салинона составляет:

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.}$^[1]

Доказательство

Пусть радиус середина из ОБЪЯВЛЕНИЕ и EB обозначается как г и ЧАСсоответственно. Следовательно, AG = GD = EH = HB = р₁. Потому что ДЕЛАТЬ, Из, и OE все радиусы одного полукруга, ДЕЛАТЬ = Из = OE = р₂. При добавлении сегмента AG + GD + ДЕЛАТЬ = OE + EH + HB = 2р₁ + р₂. поскольку AB диаметр салинона, CF линия симметрии. Поскольку все они являются радиусами одного полукруга, АО = BO = CO = 2р₁ + р₂.

Позволять п быть центром большого круга. Потому что CO = 2р₁ + р₂ и Из = р₂, CF = 2р₁ + 2р₂. Следовательно, радиус круга равен р₁ + р₂. Площадь круга = π (р₁ + р₂)².

Позволять Икс = р₁ и у = р₂. Площадь полукруга диаметром AB, обозначаемый ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{AB}}$, является:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{AB}={\frac {1}{2}}\pi \left(2x+y\right)^{2}.}$

Площадь полукруга диаметром DE является:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{DE}={\frac {1}{2}}\pi y^{2}.}$

Площадь каждого из полукругов с диаметрами ОБЪЯВЛЕНИЕ и EB является

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{AD}={\mathcal {A}}_{EB}={\frac {1}{2}}\pi x^{2}.}$

Следовательно, площадь салинона составляет:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \left(\left(2x+y\right)^{2}-2x^{2}+y^{2}\right)={\frac {1}{2}}\pi \left(2x^{2}+4xy+2y^{2}\right)=\pi \left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)=\pi \left(x+y\right)^{2}=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}}$

Q.E.D.^[4]

Арбелос

Если указывает D и E сходиться с О, это сформировало бы арбелос, еще одно творение Архимеда, с симметрия вдоль ось Y.^[3]

Смотрите также

• Луна Гиппократа

использованная литература

1. Вайсштейн, Эрик В. ""Салинон. "Из MathWorld - веб-ресурс Wolfram". Получено 2008-04-14.
2. Нельсен, Роджер Б. (2002). «Доказательство без слов: площадь солончака». Математический журнал (PDF). п. 130.
3. Богомольный Александр. "Салинон: Из книги лемм Архимеда из сборника интерактивных математических задач и головоломок". из интерактивной математики и головоломок. Получено 2008-04-15.
4. Умбергер, Шеннон. «Эссе № 4 - Арбелос и Салинон». Получено 2008-04-18.

внешние ссылки

• L’arbelos. Партия II Хамза Хелиф в www.images.math.cnrs.fr из CNRS