Группа Артина – Титса - Artin–Tits group

В математической области теория групп, Группы Артина, также известный как Группы Артина – Титса или же обобщенные группы кос, являются семейством бесконечных дискретных группы определяется простой презентации. Они тесно связаны с Группы Кокстера. Примеры бесплатные группы, свободные абелевы группы, группы кос, а также прямоугольные группы Артина – Титса и другие.

Группы названы в честь Эмиль Артин, благодаря его ранней работе над группами кос в 1920-1940-х годах,^[1] и Жак Титс кто разработал теорию более общего класса групп в 1960-х гг.^[2]

Определение

Презентация Артина – Титса - это группа презентация ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ куда ${\displaystyle S}$ является (обычно конечным) набором образующих и ${\displaystyle R}$ является набором отношений Артина – Титса, а именно отношений вида ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ для различных ${\displaystyle s,t}$ в ${\displaystyle S}$, где обе стороны имеют равную длину, и существует не более одного отношения для каждой пары различных образующих ${\displaystyle s,t}$. Группа Артина – Титса - это группа, допускающая представление Артина – Титса. Точно так же Моноид Артина – Титса это моноид который как моноид допускает представление Артина – Титса.

В качестве альтернативы, группа Артина – Титса может быть задана набором генераторов ${\displaystyle S}$ и для каждого ${\displaystyle s,t}$ в ${\displaystyle S}$, натуральное число ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 2}$ это длина слов ${\displaystyle stst\ldots }$ и ${\displaystyle tsts\ldots }$ такой, что ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ это отношение, связывающее ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle t}$, если есть. По соглашению можно положить ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$ когда нет отношения ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ . Формально, если мы определим ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m}}$ для обозначения чередующегося произведения ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle t}$ длины ${\displaystyle m}$, начиная с ${\displaystyle s}$ - так что ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{2}=st}$, ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{3}=sts}$и т. д. - отношения Артина – Титса принимают вид

${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m_{s,t}}=\langle t,s\rangle ^{m_{t,s}},{\text{ where }}m_{s,t}=m_{t,s}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}.}$

Целые числа ${\displaystyle m_{s,t}}$ можно организовать в симметричная матрица, известный как Матрица Кокстера группы.

Если ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ представляет собой презентацию Артина – Титса группы Артина – Титса ${\displaystyle A}$, частное от ${\displaystyle A}$ получается добавлением соотношения ${\displaystyle s^{2}=1}$ для каждого ${\displaystyle s}$ из ${\displaystyle R}$ это Группа Кокстера. Наоборот, если ${\displaystyle W}$ группа Кокстера, представленная отражениями и соотношениями ${\displaystyle s^{2}=1}$ удалены, полученное расширение является группой Артина – Титса. Например, группа Кокстера, связанная с ${\displaystyle n}$группа кос - это симметрическая группа всех перестановок ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$.

Примеры

• ${\displaystyle G=\langle S\mid \emptyset \rangle }$ это бесплатная группа, основанная на ${\displaystyle S}$; здесь ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$ для всех ${\displaystyle s,t}$.
• ${\displaystyle G=\langle S\mid \{st=ts\mid s,t\in S\}\rangle }$ свободная абелева группа, основанная на ${\displaystyle S}$; здесь ${\displaystyle m_{s,t}=2}$ для всех ${\displaystyle s,t}$.
• ${\displaystyle G=\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}{\text{ for }}\vert i-j\vert =1,\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\text{ for }}\vert i-j\vert \geqslant 2\rangle }$ это группа кос на ${\displaystyle n}$ пряди; здесь ${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=3}$ за ${\displaystyle \vert i-j\vert =1}$, и ${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=2}$ за ${\displaystyle \vert i-j\vert >1}$.

Общие свойства

Моноиды Артина – Титса подходят для Методы Гарсайда основаны на исследовании их отношений делимости и хорошо поняты:

• Моноиды Артина – Титса являются сокращающимися, и они допускают наибольшие общие делители и условные наименьшие общие кратные (наименьшее общее кратное существует, когда общее кратное имеет место).
• Если ${\displaystyle A^{+}}$ является моноидом Артина – Титса, и если ${\displaystyle W}$ ассоциированная группа Кокстера, существует (теоретико-множественное) сечение ${\displaystyle \sigma }$ из ${\displaystyle W}$ в ${\displaystyle A^{+}}$, и каждый элемент ${\displaystyle A^{+}}$ допускает выделенное разложение как последовательность элементов в образе ${\displaystyle \sigma }$ («жадная нормальная форма»).

Для общих групп Артина – Титса известно очень мало результатов. В частности, в общем случае остаются открытыми следующие основные вопросы:

- решение слово и проблемы сопряженности - которые предположительно разрешимы,

- определение кручения - которое предполагается тривиальным,

- определение центра - который предполагается тривиальным или моногенным в случае, когда группа не является прямым продуктом («неприводимый случай»),

- определение когомологий - в частности, решение ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ гипотеза, т. е. нахождение ациклического комплекса, фундаментальная группа - рассматриваемая группа.

Ниже собраны частичные результаты, касающиеся конкретных подсемейств. Среди немногих известных общих результатов можно упомянуть:

• Группы Артина – Титса бесконечны счетны.
• В группе Артина – Титса ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$, единственное соотношение, соединяющее квадраты элементов ${\displaystyle s,t}$ из ${\displaystyle S}$ является ${\displaystyle s^{2}t^{2}=t^{2}s^{2}}$ если ${\displaystyle st=ts}$ в ${\displaystyle R}$ (Джон Крисп и Луис Пэрис ^[3]).
• На каждую презентацию Артина – Титса ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$моноид Артина – Титса, представленный ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ встраивается в группу Артина – Титса, представленную ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ (Париж^[4]).
• Каждый (конечно порожденный) моноид Артина – Титса допускает конечное семейство Гарсайдов (Мэтью Дайер и Кристоф Хольвег^[5]). Как следствие, существование общих правых кратных в моноидах Артина – Титса разрешимо, и редукция мультифракций является эффективной.

Частные классы групп Артина – Титса.

Несколько важных классов групп Артина можно определить в терминах свойств матрицы Кокстера.

Группы Артина – Титса сферического типа.

• Группа Артина – Титса называется сферический тип если связанный Группа Кокстера ${\displaystyle W}$ конечна - альтернативной терминологии «группа Артина – Титса конечного типа» следует избегать из-за ее неоднозначности: «группа конечного типа» - это просто группа, допускающая конечное порождающее множество. Напомним, что известна полная классификация, в которой неприводимые типы обозначаются как бесконечные серии. ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle B_{n}}$, ${\displaystyle D_{n}}$, ${\displaystyle I_{2}(n)}$ и шесть исключительных групп ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$, ${\displaystyle E_{8}}$, ${\displaystyle F_{4}}$, ${\displaystyle H_{3}}$, и ${\displaystyle H_{4}}$.
• В случае сферической группы Артина – Титса группа представляет собой группу дробей для моноида, что значительно упрощает изучение. Каждая упомянутая выше задача решается положительно для сферических групп Артина – Титса: проблемы слова и сопряженности разрешимы, их кручение тривиально, центр моноген в неприводимом случае, когомология определен (Пьер Делинь, геометрическими методами,^[6] Эгберт Брискорн и Кёдзи Сайто, комбинаторными методами ^[7]).
• Чистая группа Артина – Титса сферического типа может быть реализована как фундаментальная группа дополнения к конечной расположение гиперплоскости в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.
• Группы Артина – Титса сферического типа являются биавтоматические группы (Рут Чарни^[8]).
• В современной терминологии группа Артина – Титса ${\displaystyle A}$ это Группа Гарсайд, означающий, что ${\displaystyle A}$ группа дробей ассоциированного моноида ${\displaystyle A^{+}}$ и существует для каждого элемента ${\displaystyle A}$ единственная нормальная форма, состоящая из конечной последовательности (копий) элементов ${\displaystyle W}$ и их обратные («симметричная жадная нормальная форма»)

Прямоугольные группы Артина

• Группа Артина – Титса называется прямоугольный если все коэффициенты матрицы Кокстера либо ${\displaystyle 2}$ или же ${\displaystyle \infty }$, т.е. все отношения являются коммутационными соотношениями ${\displaystyle st=ts}$. Имена (свободная) частично коммутативная группа, группа графиков, группа трассировки, полусвободная группа или даже локально свободная группа также распространены.
• Для этого класса групп Артина – Титса обычно используется другая схема разметки. Любой график ${\displaystyle \Gamma }$ на ${\displaystyle n}$ помеченные вершины ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ определяет матрицу ${\displaystyle M}$, для которого ${\displaystyle m_{s,t}=2}$ если вершины ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle t}$ связаны ребром в ${\displaystyle \Gamma }$, и ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$ иначе.
• Класс прямоугольных групп Артина – Титса включает бесплатные группы конечного ранга, соответствующего графу без ребер, и конечно порожденная свободные абелевы группы, соответствующий полный график. Каждая прямоугольная группа Артина ранга р можно построить как Расширение HNN прямоугольной группы Артина ранга ${\displaystyle r-1}$, с бесплатный продукт и прямой продукт как крайние случаи. Обобщение этой конструкции называется граф произведение групп. Прямоугольная группа Артина является частным случаем этого произведения, где каждая вершина / операнд графа-произведения является свободной группой ранга один ( бесконечная циклическая группа ).
• Проблемы слова и сопряженности прямоугольной группы Артина – Титса разрешимы, первая - за линейное время, группа без кручения и существует явная клеточная конечная ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ (Джон Крисп, Эдди Годелль и Берт Уист^[9]).
• Каждая прямоугольная группа Артина – Титса действует свободно и кокомпактно на конечномерном КОШКА (0) кубический комплекс, его «комплекс Сальветти». В качестве приложения можно использовать прямоугольные группы Артина и их комплексы Сальветти для построения групп с заданными свойства конечности (Младен Бествина и Ноэль Брэди ^[10]) см. также (Ян Лири ^[11]).

Группы Артина – Титса большого типа.

• Группа Артина – Титса (и группа Кокстера) называется крупный шрифт если ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 3}$ для всех генераторов ${\displaystyle s\neq t}$; говорят, что это из очень большой тип если ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 4}$ для всех генераторов ${\displaystyle s\neq t}$.
• Группы Артина – Титса сверхбольшого типа подходят для теории малого сокращения. В качестве приложения группы Артина – Титса очень большого типа являются кручение -свободны и имеют разрешимую проблему сопряженности (Кеннет Аппель и Пол Шупп^[12]).
• Группы Артина – Титса сверхбольшого типа являются биавтоматическими (Дэвид Пайфер^[13]).
• Группы Артина большого типа - это короткие автоматические с регулярными геодезическими (Дерек Холт и Сара Рис^[14]).

Другие типы

Были идентифицированы и исследованы многие другие семейства групп Артина – Титса. Здесь мы упоминаем два из них.

• Группа Артина – Титса ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ как говорят типа FC («комплекс флагов»), если для каждого подмножества ${\displaystyle S'}$ из ${\displaystyle S}$ такой, что ${\displaystyle m_{s,t}\neq \infty }$ для всех ${\displaystyle s,t}$ в ${\displaystyle S'}$, группа ${\displaystyle \langle S'\mid R\cap S'{}^{2}\rangle }$ имеет сферический тип. Такие группы действуют кокомпактно на кубическом комплексе CAT (0), и, как следствие, можно найти рациональную нормальную форму для их элементов и вывести решение проблемы слов (Джо Альтобелли и Чарни ^[15]). Альтернативная нормальная форма обеспечивается редукцией мультифракции, которая дает уникальное выражение с помощью несократимой мультифракции, непосредственно расширяющей выражение на несократимую дробь в сферическом случае (Dehornoy^[16]).
• Группа Артина – Титса называется аффинного типа если ассоциированная группа Кокстера аффинный. Они соответствуют расширенным диаграммам Дынкина четырех бесконечных семейств ${\displaystyle {\widetilde {A}}_{n}}$ за ${\displaystyle n\geqslant 1}$, ${\displaystyle {\widetilde {B}}_{n}}$, ${\displaystyle {\widetilde {C}}_{n}}$ за ${\displaystyle n\geqslant 2}$, и ${\displaystyle {\widetilde {D}}_{n}}$ за ${\displaystyle n\geqslant 3}$, и пяти спорадических типов ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{6}}$, ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{7}}$, ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{8}}$, ${\displaystyle {\widetilde {F}}_{4}}$, et ${\displaystyle {\widetilde {G}}_{2}}$. Аффинные группы Артина – Титса являются евклидова типа: ассоциированная группа Кокстера действует геометрически на евклидовом пространстве. Как следствие, их центр тривиален, а их проблема слов разрешима (Джон МакКэммонд и Роберт Салуэй ^[17]). В 2019 году доказательство ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ гипотеза была анонсирована для всех аффинных групп Артина – Титса (Марио Сальветти и Джованни Паолини^[18]).

Смотрите также

• Свободный частично коммутативный моноид
• Артинианская группа (несвязанное понятие)
• Некоммутативная криптография
• Элементарная абелева группа

Рекомендации

1. Артин, Эмиль (1947). «Теория кос». Анналы математики. 48 (1): 101–126. Дои:10.2307/1969218. JSTOR  1969218. S2CID  30514042.
2. Сиськи, Жак (1966), "Normalisateurs de tores. I. Groupes de Coxeter étendus", Журнал алгебры, 4: 96–116, Дои:10.1016/0021-8693(66)90053-6, МИСТЕР  0206117
3. Крисп, Джон; Пэрис, Луис (2001), "Решение гипотезы Титса о подгруппе, порожденной квадратами образующих группы Артина", Inventiones Mathematicae, 145 (1): 19–36, arXiv:математика / 0003133, Bibcode:2001InMat.145 ... 19C, Дои:10.1007 / s002220100138, МИСТЕР  1839284
4. Пэрис, Луис (2002), «Моноиды Артина вводят в свои группы», Комментарии Mathematici Helvetici, 77 (3): 609–637, Дои:10.1007 / s00014-002-8353-z, МИСТЕР  1933791
5. Дайер, Мэтью; Hohlweg, Christophe (2016), "Маленькие корни, низкие элементы и слабый порядок в группах Кокстера", Успехи в математике, 301: 739–784, arXiv:1505.02058, Дои:10.1016 / j.aim.2016.06.022, МИСТЕР  1839284
6. Делинь, Пьер (1972 г.), "Незримые группы генерализованных локонов", Inventiones Mathematicae, 17: 273–302, Bibcode:1972InMat..17..273D, Дои:10.1007 / BF01406236, МИСТЕР  0422673
7. Брискорн, Эгберт; Сайто, Кёдзи (1972), "Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen", Inventiones Mathematicae, 17 (4): 245–271, Bibcode:1972InMat..17..245B, Дои:10.1007 / BF01406235, МИСТЕР  0323910
8. Чарни, Рут (1992), «Группы Артина конечного типа биавтоматичны», Mathematische Annalen, 292 (4): 671–683, Дои:10.1007 / BF01444642, МИСТЕР  1157320
9. Крисп, Джон; Годель, Эдди; Уист, Берт (2009), "Проблема сопряженности в подгруппах прямоугольных групп Артина", Журнал топологии, 2 (3): 442–460, Дои:10.1112 / jtopol / jtp018, МИСТЕР  2546582
10. Бествина, Младен; Брэди, Ноэль (1997), "Теория Морса и свойства конечности групп", Inventiones Mathematicae, 129 (3): 445–470, Bibcode:1997InMat.129..445B, Дои:10.1007 / s002220050168, МИСТЕР  1465330
11. Лири, Ян (2018), «Бесчисленное множество групп типа FP», Труды Лондонского математического общества, 117 (2): 246–276, Дои:10.1112 / plms.12135, МИСТЕР  3851323
12. Аппель, Кеннет I .; Шупп, Пол Э. (1983), "Группы Артина и бесконечные группы Кокстера", Inventiones Mathematicae, 72 (2): 201–220, Bibcode:1983InMat..72..201A, Дои:10.1007 / BF01389320, МИСТЕР  0700768
13. Пайфер, Дэвид (1996), "Группы Артина очень большого типа являются биавтоматическими", Журнал чистой и прикладной алгебры, 110 (1): 15–56, Дои:10.1016/0022-4049(95)00094-1, МИСТЕР  1390670
14. Холт, Дерек; Рис, Сара (2012). «Артиновые группы большого типа шортлекс автоматические с регулярными геодезическими». Труды Лондонского математического общества. 104 (3): 486–512. arXiv:1003.6007. Дои:10.1112 / plms / pdr035. МИСТЕР  2900234.
15. Альтобелли, Джо; Чарни, Рут (2000), "Геометрическая рациональная форма для групп Артина типа FC", Geometriae Dedicata, 79 (3): 277–289, Дои:10.1023 / А: 1005216814166, МИСТЕР  1755729
16. Дехорной, Патрик (2017), «Мультифракционная редукция I: случай 3-Оре и группы Артина – Титса типа FC», Журнал комбинаторной алгебры, 1 (2): 185–228, arXiv:1606.08991, Дои:10.4171 / JCA / 1-2-3, МИСТЕР  3634782
17. Маккаммонд, Джон; Салуэй, Роберт (2017), "Группы Артина евклидова типа", Inventiones Mathematicae, 210 (1): 231–282, Bibcode:2017InMat.210..231M, Дои:10.1007 / s00222-017-0728-2, МИСТЕР  3698343
18. Паолини, Джованни; Сальветти, Марио (2019), Доказательство ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ гипотеза для аффинных групп Артина, arXiv:1907.11795

дальнейшее чтение

• Чарни, Рут (2007), «Введение в прямоугольные группы Артина», Geometriae Dedicata, 125 (1): 141–158, arXiv:математика / 0610668, Дои:10.1007 / s10711-007-9148-6, МИСТЕР  2322545
• Годель, Эдди; Париж, Луис (2012), Основные вопросы о группах Артина – Титса, Серия CRM, 14, Ред. Norm., Пиза, стр. 299–311, Дои:10.1007/978-88-7642-431-1_13, ISBN  978-88-7642-430-4, МИСТЕР  3203644
• Маккаммонд, Джон (2017), «Загадочная геометрия групп Артина», Конспект лекций о зимних косах, 4 (Зимние косы VII (Кан, 2017)): 1–30, Дои:10,5802 / руб.17, МИСТЕР  3922033
• Флорес, Рамон; Kahrobaei, Delaram; Коберда, Томас (2019). «Алгоритмические задачи в прямоугольных группах Артина: сложность и приложения». Журнал алгебры. 519: 111–129. arXiv:1802.04870. Дои:10.1016 / j.jalgebra.2018.10.023. МИСТЕР  3874519.