Моделирование турбулентности - Turbulence modeling

Суперкомпьютеры Boeing

Моделирование турбулентности построение и использование математическая модель предсказывать эффекты турбулентность. Турбулентные потоки являются обычным явлением в большинстве сценариев реальной жизни, включая поток крови через сердечно-сосудистую систему,^[1] воздушный поток над крылом самолета,^[2] возвращение космических аппаратов,^[3] помимо других. Несмотря на десятилетия исследований, не существует аналитической теории для предсказания эволюции этих турбулентных потоков. Уравнения, описывающие турбулентные потоки, могут быть решены непосредственно только для простых случаев потока. Для большинства реальных турбулентных потоков CFD моделирования использовать турбулентные модели для прогнозирования развития турбулентности. Эти модели турбулентности представляют собой упрощенные основные уравнения, которые предсказывают статистическую эволюцию турбулентных потоков.^[4]

Проблема закрытия

В Уравнения Навье – Стокса регулируют скорость и давление потока жидкости. В турбулентном потоке каждая из этих величин может быть разложена на среднюю часть и колеблющуюся часть. Усреднение уравнений дает Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса (RANS), которые определяют средний расход. Однако нелинейность уравнений Навье – Стокса означает, что флуктуации скорости по-прежнему появляются в уравнениях RANS в нелинейном члене ${\displaystyle -\rho {\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}}$ от конвективного ускорения. Этот термин известен как Напряжение Рейнольдса, ${\displaystyle R_{ij}}$.^[5] Его влияние на средний расход подобно влиянию напряжения, например давления или вязкости.

Чтобы получить уравнения, содержащие только среднюю скорость и давление, нам нужно замкнуть уравнения RANS, моделируя член напряжения Рейнольдса ${\displaystyle R_{ij}}$ как функция среднего расхода, исключая любую ссылку на колеблющуюся часть скорости. Это проблема закрытия.

Вихревая вязкость

Жозеф Валентин Буссинеск был первым, кто решил проблему закрытия,^[6] путем введения концепции вихревая вязкость. В 1877 году Буссинеск предложил связать турбулентные напряжения со средним потоком, чтобы замкнуть систему уравнений. Здесь гипотеза Буссинеска применяется для моделирования члена напряжения Рейнольдса. Обратите внимание, что новая константа пропорциональности ${\displaystyle \nu _{t}>0}$- турбулентная вихревая вязкость. Модели этого типа известны как модели вихревой вязкости или EVM.

${\displaystyle -{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {v_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {v_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}}$

Сокращенно это можно записать как

${\displaystyle -{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=2\nu _{t}S_{ij}-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}}$

куда ${\displaystyle S_{ij}}$ это тензор средней скорости деформации

${\displaystyle \nu _{t}}$ турбулентная турбулентная вязкость

${\displaystyle k={\frac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}}$ это кинетическая энергия турбулентности

и ${\displaystyle \delta _{ij}}$ это Дельта Кронекера.

В этой модели дополнительные турбулентные напряжения задаются путем увеличения молекулярный вязкость с вихревой вязкостью.^[7] Это может быть простая постоянная вихревая вязкость (которая хорошо работает для некоторых бесплатных срезать такие потоки, как осесимметричные струи, двумерные струи и слои смешения).

Концепция длины смешивания Прандтля

Потом, Людвиг Прандтль введено дополнительное понятие длины смешивания,^[8] вместе с идеей пограничный слой. Для турбулентных потоков, ограниченных стенкой, вихревая вязкость должна изменяться с расстоянием от стенки, отсюда и добавление концепции «длины перемешивания». В простейшей модели потока, ограниченной стенкой, вихревая вязкость определяется уравнением:

${\displaystyle \nu _{t}=\left|{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|l_{m}^{2}}$

куда:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}}$ - частная производная продольной скорости (u) по направлению нормали к стенке (y);

${\displaystyle l_{m}}$ - длина смешивания.

Эта простая модель является основой "закон стены ", которая является удивительно точной моделью для ограниченных стенкой, прикрепленных (неотрывных) полей течения с небольшими градиенты давления.

Более общий модели турбулентности со временем эволюционировали, и большинство современных моделей турбулентности уравнения поля аналогично Уравнения Навье – Стокса.

Модель Смагоринского для вихревой вязкости подсеточного масштаба

Иосиф Смагоринский был первым, кто предложил формулу для вихревой вязкости в моделях Large Eddy Simulation.^[9], исходя из локальных производных поля скорости и локального размера сетки:

${\displaystyle \nu _{t}=\Delta x\Delta y{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}}}}$

В контексте Моделирование больших вихрей, моделирование турбулентности относится к необходимости параметризации подсеточного масштабного напряжения с точки зрения характеристик отфильтрованного поля скорости. Это поле называется подсеточное моделирование.

Спалар-Аллмарас, k–Ε и k–Ω модели

Гипотеза Буссинеска используется в Спалар-Аллмарас (S – A), k–Ε (k–Псилон), и k–Ω (k–Omega) моделирует и предлагает относительно недорогие вычисления турбулентной вязкости ${\displaystyle \nu _{t}}$. Модель S – A использует только одно дополнительное уравнение для моделирования переноса вязкости турбулентности, в то время как модель k–Ε и k–Ω модели используют два.

Общие модели

Ниже приводится краткий обзор моделей, обычно используемых в современных инженерных приложениях.

• Спалар-Аллмарас (S – A)

Модель Спаларта – Аллмараса^[10] представляет собой модель с одним уравнением, которая решает моделируемое уравнение переноса для кинематической вихревой турбулентной вязкости. Модель Спаларта – Аллмараса была разработана специально для аэрокосмических приложений, включающих потоки, ограниченные стенкой, и, как было показано, дает хорошие результаты для пограничных слоев, подверженных неблагоприятным градиентам давления. Он также набирает популярность в турбомашинах.^{[нужна цитата ]}

• k–Ε (k–Псилон)

K-эпсилон (k-ε) модель турбулентности^[11] является наиболее распространенной моделью, используемой в вычислительной гидродинамике (CFD) для моделирования характеристик среднего потока для условий турбулентного потока. Это модель с двумя уравнениями, которая дает общее описание турбулентности с помощью двух уравнений переноса (PDE). Первоначальным стимулом для K-эпсилон-модели было улучшение модели длины смешения, а также поиск альтернативы алгебраическому предписанию масштабов турбулентной длины в потоках средней и высокой сложности.

• k–Ω (k-омега)

В вычислительной гидродинамике модель турбулентности k – omega (k – ω)^[12] представляет собой общую модель турбулентности с двумя уравнениями, которая используется в качестве замыкания для усредненных по Рейнольдсу уравнений Навье – Стокса (уравнений RANS). Модель пытается предсказать турбулентность с помощью двух дифференциальных уравнений в частных производных для двух переменных, k и ω, причем первая переменная представляет собой кинетическую энергию турбулентности (k), а вторая (ω) - удельную скорость диссипации (кинетической энергии турбулентности k во внутреннюю тепловую энергию).

• SST (перенос напряжения сдвига по Ментеру)

Модель турбулентности SST (перенос касательного напряжения Ментера)^[13] - это широко используемая и надежная модель турбулентности с двумя уравнениями вихревой вязкости, используемая в вычислительной гидродинамике. Модель комбинирует модель турбулентности k-omega и модель турбулентности K-epsilon, так что k-omega используется во внутренней области пограничного слоя и переключается на k-epsilon в потоке свободного сдвига.

• Модель уравнения напряжения Рейнольдса

Модель уравнения напряжения Рейнольдса (RSM), также известная как модель замыкания второго момента,^[14] является наиболее полным классическим подходом к моделированию турбулентности. Популярные модели на основе вихревой вязкости, такие как k–Ε (k–Псилон) модель и k–Ω (k-омега) модели имеют существенные недостатки в сложных инженерных потоках. Это происходит из-за использования в их формулировке гипотезы вихревой вязкости. Например, в потоках с высокой степенью анизотропии, значительной кривизной линии тока, отрывом потока, в зонах рециркуляции потока или в потоках, на которые влияют вращательные эффекты, работа таких моделей неудовлетворительна.^[15] В таких потоках модели уравнения напряжения Рейнольдса обеспечивают гораздо лучшую точность.^[16]

Укупорочные средства на основе вихревой вязкости не могут объяснить возврат к изотропии турбулентности,^[17] наблюдается в затухающих турбулентных потоках. Модели на основе вихревой вязкости не могут воспроизвести поведение турбулентных потоков в пределе быстрых искажений,^[18] где турбулентный поток по существу ведет себя как упругая среда.^[19]

Рекомендации

Примечания

1. Саллам, Ахмед; Хван, Нед (1984). «Гемолиз эритроцитов человека в турбулентном сдвиговом потоке: вклад сдвиговых напряжений Рейнольдса». Биореология. 21 (6): 783–97. Дои:10.3233 / BIR-1984-21605. PMID  6240286.
2. Ри, C; Чоу, Ли (1983). «Численное исследование турбулентного обтекания профиля с отрывом задней кромки» (PDF). Журнал AIAA. 21 (11): 1525–1532. Дои:10.2514/3.8284.
3. Редди, К; Сильва, Д; Кришненду, Синха (1983). «Гиперзвуковое моделирование турбулентного потока в кормовой части космического корабля Fire II» (PDF). Журнал AIAA.
4. Папа, Стивен (2000). Турбулентные потоки.
5. Андерссон, Бенгт; и другие. (2012). Вычислительная гидродинамика для инженеров. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п.83. ISBN  978-1-107-01895-2.
6. Буссинеск, Джозеф (1903). Буссинеск, Дж. (1903). Thōrie analytique de la chaleur Mise en Harmony avec la thermodynamique et avec la thōrie mc̄anique de la lumi_re: Refroidissement et c̄hauffement par rayonnement, conductibilit ̄des tiges, lames и masses cristallines, courants de convction, thōrie mc̄anique. Готье-Виллар.
7. Джон Дж. Бертин; Жак Перьо; Йозеф Баллманн (1992), Достижения в гиперзвуке: моделирование гиперзвуковых потоков, ISBN  9780817636630
8. Прандтль, Людвиг (1925). "Bericht uber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz". Zs. Энгью. Математика. Мех. 2.
9. Смагоринский, Иосиф (1963). "Смагоринский, Иосиф." Общие циркуляционные эксперименты с примитивными уравнениями: I. Основной эксперимент ". Ежемесячный обзор погоды. 91 (3): 99–164. Дои:10.1175 / 1520-0493 (1963) 091 <0099: GCEWTP> 2.3.CO; 2.
10. Spalart, P .; Аллмарас, С. (1992). «Модель турбулентности с одним уравнением для аэродинамических потоков». 30-я встреча и выставка по аэрокосмическим наукам, AIAA. Дои:10.2514/6.1992-439.
11. Hanjalic, K .; Лаундер, Б. (1972). «Модель турбулентности Рейнольдса и ее применение к тонким поперечным потокам». Журнал гидромеханики. 52 (4): 609–638. Дои:10.1017 / S002211207200268X.
12. Уилкокс, Д. К. (2008). "Повторение формулировки модели турбулентности k-omega". Журнал AIAA. 46: 2823–2838. Дои:10.2514/1.36541.
13. Ментер, Ф. Р. (1994). «Модели турбулентности с двумя уравнениями вихревой вязкости для инженерных приложений» (PDF). Журнал AIAA. 32 (8): 1598–1605. Дои:10.2514/3.12149.
14. Ханьялич, Ханьялич; Лаундер, Брайан (2011). Моделирование турбулентности в технике и окружающей среде: второй момент пути к завершению.
15. Мишра, Аашвин; Гиримаджи, Шарат (2013). «Межкомпонентный перенос энергии в несжимаемой однородной турбулентности: многоточечная физика и возможность одноточечного замыкания». Журнал гидромеханики. 731: 639–681. Bibcode:2013JFM ... 731..639M. Дои:10.1017 / jfm.2013.343.
16. Папа, Стефан. «Бурные течения». Издательство Кембриджского университета, 2000.
17. Ламли, Джон; Ньюман, Гэри (1977). «Возврат к изотропии однородной турбулентности». Журнал гидромеханики. 82: 161–178. Bibcode:1977JFM .... 82..161L. Дои:10,1017 / с0022112077000585.
18. Мишра, Аашвин; Гиримаджи, Шарат (2013). «Межкомпонентный перенос энергии в несжимаемой однородной турбулентности: многоточечная физика и возможность одноточечного замыкания». Журнал гидромеханики. 731: 639–681. Bibcode:2013JFM ... 731..639M. Дои:10.1017 / jfm.2013.343.
19. Саго, Пьер; Камбон, Клод (2008). Однородная динамика турбулентности..

Другой

• Абси, Р. (2019) «Профили вихревой вязкости и скорости в полностью развитых турбулентных потоках в канале» Fluid Dyn (2019) 54: 137. https://doi.org/10.1134/S0015462819010014
• Таунсенд, А.А. (1980) "Структура турбулентного сдвигового потока" 2-е издание (Кембриджские монографии по механике), ISBN  0521298199
• Брэдшоу, П. (1971) "Введение в турбулентность и ее измерение" (Pergamon Press), ISBN  0080166210
• Уилкокс К. Д., (1998), "Моделирование турбулентности для CFD", 2-е изд. (DCW Industries, La Cañada), ISBN  0963605100