Закон стены - Law of the wall

закон стены, горизонтальная скорость у стены с моделью длины смешения

В динамика жидкостей, то закон стены (также известный как логарифмический закон стены) утверждает, что средний скорость турбулентного потока в определенной точке пропорционален логарифму расстояния от этой точки до «стены» или границы жидкость область, край. Этот закон стены был впервые опубликован американцем венгерского происхождения. математик, аэрокосмический инженер, и физик Теодор фон Карман, в 1930 г.^[1] Технически это применимо только к частям потока, которые расположены близко к стенке (<20% высоты потока), хотя это хорошее приближение для всего профиля скорости естественных потоков.^[2]

Общая логарифмическая формулировка

Логарифмический закон стены - это самоподобный решение для средней скорости, параллельной стенке, и действительно для потоков при высоких Числа Рейнольдса - в зоне перекрытия примерно с постоянным напряжение сдвига и достаточно далеко от стены для (прямого) вязкий эффекты должны быть незначительными:^[3]

${displaystyle u^{+}={frac {1}{kappa }}ln ,y^{+}+C^{+},}$   с   ${displaystyle y^{+}={frac {y,u_{ au }}{u }},}$   ${displaystyle u_{ au }={sqrt {frac { au _{w}}{ho }}}}$   и   ${displaystyle u^{+}={frac {u}{u_{ au }}}}$

куда

${displaystyle y^{+}}$	координата стены: расстояние у к стене, сделал безразмерный с скорость трения тыτ и кинематическая вязкость ν,
${displaystyle u^{+}}$	- безразмерная скорость: скорость ты параллельно стене в зависимости от у (расстояние от стены), деленное на скорость трения тыτ,
${displaystyle au _{w}}$	напряжение сдвига стенки,
${displaystyle ho }$	это жидкость плотность,
${displaystyle u_{ au }}$	называется скоростью трения или скорость сдвига,
${displaystyle kappa }$	это Константа фон Кармана,
${displaystyle C^{+}}$	константа, а
${displaystyle ln }$	это натуральный логарифм.

Экспериментально установлено, что постоянная Кармана равна ${displaystyle kappa approx 0.41}$ и ${displaystyle C^{+}approx 5.0}$ для гладкой стены.^[3]

С размерами логарифмический закон стены можно записать как:^[4]

${displaystyle {u}={frac {u_{ au }}{kappa }}ln ,{frac {y}{y_{0}}} }$

куда у₀ - расстояние от границы, на котором идеализированная скорость, определяемая законом стенки, стремится к нулю. Это обязательно ненулевое значение, поскольку профиль турбулентной скорости, определяемый законом стенки, не применяется к ламинарный подслой. Расстояние от стенки, на котором он достигает нуля, определяется путем сравнения толщины ламинарного подслоя с шероховатостью поверхности, по которой он течет. Для пристенного ламинарного подслоя толщиной ${displaystyle delta _{u }}$ и характерный масштаб шероховатости ${displaystyle k_{s}}$,^[2]

${displaystyle k_{s}<delta _{u },}$	: гидравлически плавный поток,
${displaystyle k_{s}approx delta _{u },}$	: переходное течение,
${displaystyle k_{s}>delta _{u },}$	: гидравлически грубый поток.

Интуитивно это означает, что, если элементы шероховатости скрыты внутри ламинарного подслоя, они оказывают совершенно иное влияние на закон турбулентности профиля скорости стенки, чем если бы они выступали в основную часть потока.

Это также часто более формально формулируется в терминах граничного числа Рейнольдса, ${displaystyle Re_{w}}$, куда

${displaystyle Re_{w}={frac {u_{ au }k_{s}}{u }}. }$

Поток гидравлически плавный для ${displaystyle Re_{w}<3}$, гидравлически грубая для ${displaystyle Re_{w}>100}$, и переходный для промежуточных значений.^[2]

Ценности для ${displaystyle y_{0}}$ даны:^[2][5]

${displaystyle y_{0}={frac {u }{9u_{ au }}}}$	для гидравлически плавного потока
${displaystyle y_{0}={frac {k_{s}}{30}}}$	для гидравлически грубого потока.

Промежуточные значения обычно даются эмпирическим путем. Диаграмма Никурадзе,^[2] хотя также были предложены аналитические методы решения для этого диапазона.^[6]

Для каналов с гранулированной границей, таких как естественные речные системы,

${displaystyle k_{s}approx 3.5D_{84}, }$

куда ${displaystyle D_{84}}$ - средний диаметр 84-го по величине процентиля зерен материала слоя.^[7]

Решения по закону мощности

Работы Баренблатта и других показали, что помимо логарифмического закона стены - предела для бесконечных чисел Рейнольдса - существуют степенные решения, которые зависимы на число Рейнольдса.^[8][9] В 1996 г. Cipra представили экспериментальные доказательства в поддержку этих степенных описаний.^[10] Это свидетельство не было полностью принято другими экспертами.^[11] В 2001 году Оберлак утверждал, что вывел как логарифмический закон стены, так и степенные законы непосредственно из Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса, используя симметрии в Группа Ли подход.^[3][12] Однако в 2014 году Frewer et al.^[13] опроверг эти результаты.

Возле стены

Ниже области, в которой действует закон стенки, есть другие оценки скорости трения.^[14]

Вязкий подслой

В области, известной как вязкий подслой, ниже 5 единиц стенки, изменение ${displaystyle u^{+}}$ к ${displaystyle y^{+}}$ приблизительно 1: 1, так что:

За  ${displaystyle y^{+}<5}$

${displaystyle u^{+}=y^{+}}$

куда,

${displaystyle y^{+}}$	координата стены: расстояние у к стене, сделал безразмерный со скоростью трения ${displaystyle u_{ au }}$ и кинематическая вязкость ${displaystyle u }$,
${displaystyle u^{+}}$	- безразмерная скорость: скорость ты параллельно стене в зависимости от у (расстояние от стены), деленное на скорость трения ${displaystyle u_{ au }}$,

Это приближение можно использовать для более чем 5 стеновых блоков, но ${displaystyle y^{+}=12}$ погрешность более 25%.

Буферный слой

В буферном слое, между 5 и 30 стенками, не соблюдается ни один закон, например:

За  ${displaystyle 5<y^{+}<30}$

${displaystyle u^{+}eq y^{+}}$

${displaystyle u^{+}eq {frac {1}{kappa }}ln ,y^{+}+C^{+}}$

причем наибольшее отклонение от любого закона происходит приблизительно там, где пересекаются два уравнения, при ${displaystyle y^{+}=11}$. То есть до 11 единиц стены линейное приближение более точное, а после 11 единиц стены следует использовать логарифмическое приближение, хотя ни одно из них не является относительно точным при 11 единицах стены.

Профиль средней продольной скорости ${displaystyle u^{+}}$ улучшен для ${displaystyle y^{+}<20}$ с рецептурой вихревой вязкости на основе пристеночного турбулентная кинетическая энергия ${displaystyle kappa ^{+}}$ функция и уравнение длины смешения Ван Дриста. Сравнение с данными DNS полностью развитых турбулентных русловых потоков для ${displaystyle 109<Re_{ au }<2003}$ показали хорошее согласие.^[15]

Примечания

1. фон Карман, Th. (1930), "Mechanische Ähnlichkeit und Turbulenz", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Fachgruppe 1 (Mathematik), 5: 58–76 (также как: «Механическое подобие и турбулентность», Тех. Mem. NACA, нет. 611, 1931).
2. Мохриг, Дэвид (2004). «Сохранение массы и импульса» (PDF). 12.110: Осадочная геология, осень 2004 г.. MIT OCW. Получено 2009-03-27.
3. Schlichting & Gersten (2000), стр. 522–524.
4. Schlichting & Gersten (2000) стр. 530.
5. Уиппл, Келин (2004). «Гидравлическая шероховатость» (PDF). 12.163: Поверхностные процессы и эволюция ландшафта. MIT OCW. Получено 2009-03-27.
6. Ле Ру, J.P. (2004), "Интегрированный закон стенки для гидродинамически переходного потока над плоскими слоями", Осадочная геология, 163 (3–4): 311–321, Bibcode:2004SedG..163..311L, Дои:10.1016 / j.sedgeo.2003.07.005
7. Хоуз, Бенджамин. «Эквивалентная шероховатость песка Никурадсе (кс)». Получено 2009-03-27.^{[мертвая ссылка ]}
8. Линн Яррис. «Ошибка в законе». Лаборатория Беркли: основные моменты 97–98. Национальная лаборатория Лоуренса Беркли, Министерство энергетики США.
9. Баренблатт, Г. (1993), "Законы масштабирования для полностью развитых турбулентных сдвиговых потоков. Часть 1. Основные гипотезы и анализ", Журнал гидромеханики, 248: 513–520, Bibcode:1993JFM ... 248..513B, Дои:10.1017 / S0022112093000874
   Barenblatt, G.I .; Простокишин, В. (1993), "Законы масштабирования для полностью развитых турбулентных сдвиговых течений. Часть 2. Обработка экспериментальных данных", Журнал гидромеханики, 248: 521–529, Bibcode:1993JFM ... 248..521B, Дои:10.1017 / S0022112093000886
   Barenblatt, G.I .; Голденфельд, Н. (1995), "Существует ли полностью развитая турбулентность? Независимость числа Рейнольдса против асимптотической ковариации", Физика жидкостей, 7 (12): 3078–3084, arXiv:cond-mat / 9507132, Bibcode:1995ФФл .... 7.3078Б, Дои:10.1063/1.868685
   Barenblatt, G.I .; Чорин, А. Дж. (1998), "Законы масштабирования и пределы исчезающей вязкости для ограниченных стенкой сдвиговых течений и для локальной структуры в развитой турбулентности", Сообщения по чистой и прикладной математике, 50 (4): 381–398, Дои:10.1002 / (SICI) 1097-0312 (199704) 50: 4 <381 :: AID-CPA5> 3.0.CO; 2-6
10. Сипра, Барри Артур (Май 1996 г.), «Новая теория турбулентности вызывает волнение среди экспертов», Наука, 272 (5264): 951, Bibcode:1996Наука ... 272..951C, Дои:10.1126 / science.272.5264.951
11. Zagarola, M.V .; Perry, A.E .; Смитс, А.Дж. (1997), "Логарифмические законы или степенные законы: масштабирование в области перекрытия", Физика жидкостей, 9 (7): 2094–2100, Bibcode:1997ФФл .... 9.2094З, CiteSeerX  10.1.1.503.989, Дои:10.1063/1.869328
12. Оберлак, Мартин (2001), "Единый подход к симметриям в плоскопараллельных турбулентных сдвиговых потоках", Журнал гидромеханики, 427: 299–328, Bibcode:2001JFM ... 427..299O, Дои:10.1017 / S0022112000002408
13. Фруэр, Майкл; Худжадзе, Георгий; Фойзи, Хольгер (2014), Является ли лог-закон первым принципом результатом анализа инвариантности группы Ли?, стр. 1–32, arXiv:1412.3069, Bibcode:2014arXiv1412.3069F
14. Турбулентные потоки (2000), стр. 273–274.Папа, Стивен (2000), Турбулентные потоки (1-е пересмотренное издание), Cambridge University Press, ISBN  0-521-59125-2
15. Абси, Рафик (2009), "Простая формулировка вихревой вязкости для турбулентных пограничных слоев вблизи гладких стенок", Comptes Rendus Mécanique, 337 (3): 158–165, arXiv:1106.0985, Bibcode:2009CRMec.337..158A, Дои:10.1016 / j.crme.2009.03.010

Рекомендации

• Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости, CRC Press, Taylor & Francis Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN  978-0-415-49271-3
• Шлихтинг, Германн; Герстен, К. (2000), Теория пограничного слоя (8-е пересмотренное изд.), Springer, ISBN  3-540-66270-7

дальнейшее чтение

• Бушманн, Маттиас Х .; Гад-эль-Хак, Мохамед (2009), "Доказательства нелогарифмического поведения турбулентного потока в канале и трубе", Журнал AIAA, 47 (3): 535, Bibcode:2009AIAAJ..47..535B, Дои:10.2514/1.37032

внешняя ссылка

• Определение из ScienceWorld
• Формула на CFD онлайн
• Y + оценка