В Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса (или RANS уравнения) усреднены по времени[а]уравнения движения для поток жидкости. Идея уравнений заключается в Разложение Рейнольдса, посредством чего мгновенная величина разлагается на ее усредненные по времени и флуктуирующие величины, идея, впервые предложенная Осборн Рейнольдс.[1] Уравнения RANS в основном используются для описания турбулентные потоки. Эти уравнения могут использоваться с приближениями, основанными на знании свойств потока. турбулентность дать приближенные усредненные по времени решения Уравнения Навье – Стокса.Для стационарный течение несжимаемой Ньютоновская жидкость эти уравнения можно записать в виде Обозначения Эйнштейна в Декартовы координаты так как:
![rho bar {u} _j frac { partial bar {u} _i} { partial x_j}
= rho bar {f} _i
+ frac { partial} { partial x_j}
left [- bar {p} delta_ {ij}
+ mu left ( frac { partial bar {u} _i} { partial x_j} + frac { partial bar {u} _j} { partial x_i} right)
- rho overline {u_i ^ prime u_j ^ prime} right].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff65a5b1f7a80069cf56e79d115cea5e6ba09441)
Левая часть этого уравнения представляет собой изменение среднего импульса жидкого элемента из-за неустойчивости средний расход а конвекция - средним потоком. Это изменение уравновешивается средней объемной силой, изотропным напряжением из-за поля среднего давления, вязкими напряжениями и кажущимся напряжением.
из-за пульсирующего поля скорости, обычно называемого Напряжение Рейнольдса. Этот нелинейный член напряжения Рейнольдса требует дополнительного моделирования, чтобы закрыть уравнение RANS для решения, и привел к созданию множества различных модели турбулентности. Оператор среднего времени
это Оператор Рейнольдса.
Вывод уравнений RANS
Основной инструмент, необходимый для вывода уравнений RANS из мгновенного Уравнения Навье – Стокса это Разложение Рейнольдса. Разложение Рейнольдса относится к разделению переменной потока (например, скорости
) в среднюю (усредненную по времени) составляющую (
) и флуктуирующая составляющая (
). Поскольку оператор среднего - это Оператор Рейнольдса, у него есть набор свойств. Одно из этих свойств состоит в том, что среднее значение флуктуирующей величины равно нулю.
. Таким образом,
, где
- вектор положения. Некоторые авторы[2] предпочитаю использовать
вместо того
для среднего члена (поскольку черта сверху иногда используется для представления вектора). В этом случае колеблющийся член
вместо этого представлен
. Это возможно, потому что два члена не появляются одновременно в одном уравнении. Во избежание путаницы обозначения
будут использоваться для представления мгновенного, среднего и колеблющегося значений соответственно.
Свойства Операторы Рейнольдса полезны при выводе уравнений RANS. Используя эти свойства, уравнения движения Навье – Стокса, выраженные в тензорной записи, имеют вид (для несжимаемой ньютоновской жидкости):


где
- вектор, представляющий внешние силы.
Затем каждую мгновенную величину можно разделить на усредненные по времени и флуктуирующие компоненты, а итоговое уравнение усреднено по времени, [b]чтобы дать:


Уравнение импульса также можно записать как,[c]

При дальнейших манипуляциях это дает,
![rho frac { partial bar {u_i}} { partial t}
+ rho bar {u_j} frac { partial bar {u_i}} { partial x_j}
= rho bar {f_i}
+ frac { partial} { partial x_j}
left [- bar {p} delta_ {ij}
+ 2 mu bar {S_ {ij}}
- rho overline {u_i ^ prime u_j ^ prime} right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d9b40bc4afefd0522f20e117de4068287863d5)
где,
- тензор средней скорости деформации.
Наконец, поскольку интегрирование по времени устраняет временную зависимость результирующих членов, производную по времени необходимо исключить, оставив:
![rho bar {u_j} frac { partial bar {u_i}} { partial x_j}
= rho bar {f_i}
+ frac { partial} { partial x_j}
left [- bar {p} delta_ {ij}
+ 2 mu bar {S_ {ij}}
- rho overline {u_i ^ prime u_j ^ prime} right].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023d93001eb4d4478f5c3b8ebc5d38dec01adb14)
Уравнения напряжения Рейнольдса
Уравнение эволюции во времени Напряжение Рейнольдса дан кем-то [3]:

Это уравнение очень сложное. Если
прослеживается, кинетическая энергия турбулентности получается. последний член
- скорость турбулентной диссипации. Все модели RANS основаны на приведенном выше уравнении.
Заметки
- ^ Истинное среднее время (
) переменной (
) определяется
Чтобы это было четко определенным термином, предел (
) не должна зависеть от начального условия при
. В случае хаотическая динамическая система, которыми считаются уравнения в турбулентных условиях, это означает, что в системе может быть только один странный аттрактор, результат, который еще предстоит доказать для уравнений Навье-Стокса. Однако, если предположить, что предел существует (что имеет место для любой ограниченной системы, а скорости жидкости, конечно, есть), существует
такая интеграция из
к
произвольно близко к среднему. Это означает, что для данных переходных процессов за достаточно большой промежуток времени среднее значение можно вычислить численно с некоторой небольшой ошибкой. Однако нет аналитического способа получить оценку сверху
. - ^ Разделение каждой мгновенной величины на ее усредненную и флуктуирующую составляющие дает:


Усреднение этих уравнений по времени дает,

Обратите внимание, что нелинейные члены (например,
) можно упростить до,
- ^ Это следует из уравнения сохранения массы, которое дает

использованная литература