Оператор Рейнольдса - Reynolds operator

В динамика жидкостей и теория инвариантов, а Оператор Рейнольдса представляет собой математический оператор, полученный путем усреднения чего-либо по групповому действию, которое удовлетворяет набору свойств, называемых правилами Рейнольдса. В гидродинамике операторы Рейнольдса часто встречаются в моделях турбулентные потоки, особенно Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса, где среднее значение обычно берется по потоку жидкости в рамках группы временных перемещений. В теории инвариантов среднее часто берется по компактной группе или редуктивной алгебраической группе, действующей на коммутативной алгебре, такой как кольцо многочленов. Операторы Рейнольдса были введены в гидродинамику Осборн Рейнольдс  (1895 ) и назван Ж. Кампе де Фериет  (1934, 1935, 1949 ).

Определение

Операторы Рейнольдса используются в гидродинамике, функциональном анализе и теории инвариантов, и обозначения и определения в этих областях немного отличаются. Оператор Рейнольдса, действующий на φ, иногда обозначается как р(φ), п(φ), ρ(φ),〈φ>, или же φ. Операторы Рейнольдса обычно представляют собой линейные операторы, действующие на некоторой алгебре функций, удовлетворяющих тождеству

р(р(φ)ψ) = р(φ)р(ψ) для всех φ, ψ

а иногда и другие условия, например, поездки с различными групповыми действиями.

Теория инвариантов

В теории инвариантов оператор Рейнольдса р обычно линейный оператор, удовлетворяющий

р(р(φ)ψ) = р(φ)р(ψ) для всех φ, ψ

и

р(1) = 1.

Вместе эти условия означают, что р является идемпотент: р² = р. Оператор Рейнольдса также обычно коммутирует с некоторым групповым действием и проецируется на инвариантные элементы этого группового действия.

Функциональный анализ

В функциональном анализе оператор Рейнольдса - это линейный оператор р действуя на некоторой алгебре функций φ, удовлетворяя Личность Рейнольдса

р(φψ) = р(φ)р(ψ) + р((φ − р(φ))(ψ − р(ψ))) для всех φ, ψ

Оператор р называется оператор усреднения если он линейен и удовлетворяет

р(р(φ)ψ) = р(φ)р(ψ) для всех φ, ψ.

Если р(р(φ)) = р(φ) для всех φ, то р является оператором усреднения тогда и только тогда, когда это оператор Рейнольдса. Иногда р(р(φ)) = р(φ) добавлено условие к определению операторов Рейнольдса.

Динамика жидкостей

Позволять ${\displaystyle \phi }$ и ${\displaystyle \psi }$ - две случайные величины, и ${\displaystyle a}$ - произвольная константа. Тогда свойства, которым удовлетворяют операторы Рейнольдса, для оператора ${\displaystyle \langle \rangle ,}$ включают линейность и свойство усреднения:

${\displaystyle \langle \phi +\psi \rangle =\langle \phi \rangle +\langle \psi \rangle ,\,}$

${\displaystyle \langle a\phi \rangle =a\langle \phi \rangle ,\,}$

${\displaystyle \langle \langle \phi \rangle \psi \rangle =\langle \phi \rangle \langle \psi \rangle ,\,}$ что подразумевает ${\displaystyle \langle \langle \phi \rangle \rangle =\langle \phi \rangle .\,}$

Кроме того, часто предполагается, что оператор Рейнольдса коммутирует с преобразованиями пространства и времени:

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right\rangle ={\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}},\qquad \left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right\rangle ={\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial x}},}$

${\displaystyle \left\langle \int \phi ({\boldsymbol {x}},t)\,d{\boldsymbol {x}}\,dt\right\rangle =\int \langle \phi ({\boldsymbol {x}},t)\rangle \,d{\boldsymbol {x}}\,dt.}$

Любой оператор, удовлетворяющий этим свойствам, является оператором Рейнольдса.^[1]

Примеры

Операторы Рейнольдса часто задаются путем проецирования на инвариантное подпространство группового действия.

• «Оператор Рейнольдса», рассмотренный Рейнольдс (1895) по сути, была проекцией потока жидкости на «средний» поток жидкости, которую можно рассматривать как проекцию на неизменные во времени потоки. Здесь действие группы определяется действием группы переводов времени.
• Предположим, что грамм это редуктивная алгебраическая группа или компактный группа и V конечномерное представление грамм. потом грамм также действует на симметрической алгебре SV многочленов. Оператор Рейнольдса р это грамм-инвариантная проекция из SV в подкольцо SV^грамм элементов, закрепленных грамм.

Рекомендации

1. Саго, Пьер (2006). Моделирование больших вихрей для несжимаемых потоков (Третье изд.). Springer. ISBN  3-540-26344-6.

• Кампе де Фериет, Ж. (1934), La Science Aérienne, 3: 9–34 Отсутствует или пусто | название = (помощь)
• Кампе де Фериет, Ж. (1935), La Science Aérienne, 4: 12–52 Отсутствует или пусто | название = (помощь)
• Кампе де Фериет, Ж. (1949), "Sur un problème d'algèbre abstraite posé par la definition de la moyenne dans la théorie de la turbulence", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. Серия I. Математические, астрономические и физические науки, 63: 165–180, ISSN  0037-959X, МИСТЕР  0032718
• Рейнольдс, О. (1895 г.), «К динамической теории вязкой несжимаемой жидкости и определению критерия» (PDF), Философские труды Королевского общества A, 186: 123–164, Bibcode:1895RSPTA.186..123R, Дои:10.1098 / рста.1895.0004, JSTOR  90643
• Рота, Джан-Карло (2003), Джан-Карло Рота об анализе и вероятности, Contemporary Mathematicians, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN  978-0-8176-4275-4, МИСТЕР  1944526 Перепечатывает несколько работ Роты по операторам Рейнольдса с комментариями.
• Рота, Джан-Карло (1964), «Операторы Рейнольдса», Proc. Симпозиумы. Appl. Математика., XVI, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 70–83, МИСТЕР  0161140
• Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов, Тексты и монографии в символических вычислениях, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-7091-4368-1, ISBN  978-3-211-82445-0, МИСТЕР  1255980