Модель уравнения напряжения Рейнольдса - Reynolds stress equation model

Модель уравнения напряжения Рейнольдса (RSM), также называемые замыканиями второго момента, являются наиболее полными классическими модель турбулентности. В этих моделях избегается гипотеза вихревой вязкости, и отдельные компоненты тензора напряжений Рейнольдса вычисляются напрямую. Эти модели используют точное уравнение переноса напряжения Рейнольдса для их формулировки. Они учитывают направленные эффекты напряжений Рейнольдса и сложные взаимодействия в турбулентных потоках. Модели напряжения Рейнольдса обеспечивают значительно лучшую точность, чем модели турбулентности на основе вихревой вязкости, и при этом дешевле в вычислительном отношении, чем прямое численное моделирование (DNS) и моделирование больших вихрей.

Недостатки моделей на основе вихревой вязкости

Модели на основе вихревой вязкости, такие как ${\displaystyle k-\epsilon }$ и ${\displaystyle k-\omega }$ Модели имеют существенные недостатки в сложных реальных турбулентных потоках. Например, в потоках с кривизной линии тока, отрывом потока, потоках с зонами рециркуляции потока или потоках, подверженных влиянию средних вращательных эффектов, эффективность этих моделей неудовлетворительна.

Такие замыкания на основе одного и двух уравнений не могут объяснить возврат к изотропии турбулентности,^[1] наблюдается в затухающих турбулентных потоках. Модели на основе вихревой вязкости не могут воспроизвести поведение турбулентных потоков в пределе быстрого искажения,^[2] где турбулентный поток ведет себя, по сути, как упругая среда (а не как вязкая).

Уравнение переноса напряжений Рейнольдса

Модели уравнения напряжения Рейнольдса основаны на уравнении переноса напряжения Рейнольдса. Уравнение переноса кинематической Напряжение Рейнольдса ${\displaystyle R_{ij}=\langle u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }\rangle =-\tau _{ij}/\rho }$ является^[3]

${\displaystyle {\frac {DR_{ij}}{Dt}}=D_{ij}+P_{ij}+\Pi _{ij}+\Omega _{ij}-\varepsilon _{ij}}$

Скорость изменения ${\displaystyle R_{ij}}$ + Транспортировка ${\displaystyle R_{ij}}$ конвекцией = транспортировка ${\displaystyle R_{ij}}$ путем диффузии + Скорость производства ${\displaystyle R_{ij}}$ + Транспортировка ${\displaystyle R_{ij}}$ из-за турбулентного взаимодействия давления и деформации + перенос ${\displaystyle R_{ij}}$ за счет вращения + Скорость рассеивания ${\displaystyle R_{ij}}$.

Приведенные выше шесть дифференциальных уравнений в частных производных представляют шесть независимых Рейнольдс подчеркивает. В то время как Срок производства (${\displaystyle P_{ij}}$) является замкнутым и не требует моделирования, другие термины, такие как корреляция давления и деформации (${\displaystyle \Pi _{ij}}$) и диссипация (${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$), являются незамкнутыми и требуют моделей закрытия.

Срок изготовления

Термин «Производство», который используется в расчетах CFD с уравнениями переноса напряжения Рейнольдса:

${\displaystyle P_{ij}}$ =${\displaystyle -\left(R_{im}{\frac {\partial U_{j}}{\partial x_{m}}}+R_{jm}{\frac {\partial U_{i}}{\partial x_{m}}}\right)}$

Физически термин «производство» представляет собой действие градиентов средней скорости, работающих против напряжений Рейнольдса. Этим объясняется передача кинетической энергии от среднего потока к пульсирующему полю скорости. Он отвечает за поддержание турбулентности в потоке за счет передачи энергии от крупномасштабных средних движений к мелкомасштабным флуктуирующим движениям.

Это единственный термин, который замыкается в уравнениях переноса напряжения Рейнольдса. Для его прямой оценки не требуются модели. Все остальные члены в уравнениях переноса напряжения Рейнольдса являются незамкнутыми и требуют замкнутых моделей для их оценки.

Член корреляции быстрого давления-деформации

Член быстрой корреляции давления-деформации перераспределяет энергию между компонентами напряжения Рейнольдса. Это зависит от градиента средней скорости и вращения осей координат. Физически это возникает из-за взаимодействия между пульсирующим полем скорости и полем градиента средней скорости. Простейшая линейная форма модельного выражения:

${\displaystyle {\frac {\Pi _{ij}^{R}}{k}}=C_{2}S_{ij}+C_{3}(b_{ik}S_{jk}+b_{jk}S_{ik}-{\frac {2}{3}}b_{mn}S_{mn}\delta _{ij})+C_{4}(b_{ik}W_{jk}+b_{jk}W_{ik})}$

Здесь ${\displaystyle b_{ij}={\frac {\overline {u_{i}u_{j}}}{2k}}-{\frac {\delta _{ij}}{3}}}$ - тензор анизотропии рейнольдсовых напряжений, ${\displaystyle S_{ij}}$ - член скорости деформации для поля средней скорости, а ${\displaystyle W_{ij}}$ - член скорости вращения для поля средней скорости. Условно, ${\displaystyle C_{2},C_{3},C_{4}}$ - коэффициенты модели корреляции деформаций быстрого давления. Существует множество различных моделей для члена корреляции деформации при быстром давлении, которые используются при моделировании. К ним относятся модель Лаундера-Риса-Роди,^[4] модель Специи-Саркара-Гацкого,^[5] модель Hallback-Johanssen,^[6] модель Мишра-Гиримаджи,^[7] помимо других.

Член корреляции медленного давления и деформации

Член корреляции медленного давления-деформации перераспределяет энергию между напряжениями Рейнольдса. Это отвечает за возврат к изотропии затухающей турбулентности, когда она перераспределяет энергию для уменьшения анизотропии напряжений Рейнольдса. Физически этот член обусловлен самовзаимодействием флуктуирующего поля. Модельное выражение для этого члена дается как ^[8]

${\displaystyle \Pi _{ij}^{S}=-C_{1}{\frac {\varepsilon }{k}}\left(R_{ij}-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}\right)-C_{2}\left(P_{ij}-{\frac {2}{3}}P\delta _{ij}\right)}$

Существует много различных моделей для члена корреляции медленной деформации давления, которые используются в симуляциях. К ним относится модель Ротта ^[9], модель Специи-Саркара^[10], помимо других.

Срок рассеивания

Традиционное моделирование рассеяние тензор скорости ${\displaystyle \varepsilon _{\rm {ij}}}$ предполагает, что малые диссипативные водовороты изотропны. В этой модели диссипация влияет только на нормальный Рейнольдс подчеркивает.^[11]

${\displaystyle \varepsilon _{\rm {ij}}}$ = ${\displaystyle {\frac {2}{3}}\varepsilon \delta _{ij}}$ или же ${\displaystyle e_{\rm {ij}}}$ = 0

куда ${\displaystyle \varepsilon }$ - скорость диссипации турбулентной кинетической энергии, ${\displaystyle \delta _{ij}}$ = 1, когда i = j, и 0, когда i ≠ j и ${\displaystyle e_{\rm {ij}}}$ анизостропия скорости диссипации, определяемая как ${\displaystyle e_{ij}}$ = ${\displaystyle {\frac {\varepsilon _{ij}}{\varepsilon }}-{\frac {2\delta _{ij}}{3}}}$.

Однако, как было показано, например, Рогалло,^[12]Шуман и Паттерсон,^[13]Уберой,^[14][15]Ли и Рейнольдс^[16] и Groth, Hallbäck & Johansson^[17]существует много ситуаций, когда эта простая модель тензора скорости диссипации недостаточна из-за того, что даже небольшие диссипативные водовороты являются анизотропными. Чтобы учесть эту анизотропию в тензоре скорости диссипации, Ротта^[18] предложила линейную модель, связывающую анистропию тензора напряжений скорости диссипации с анизотропией тензора напряжений.

${\displaystyle \varepsilon _{\rm {ij}}}$ = ${\displaystyle {\frac {2}{3}}\varepsilon \delta _{ij}}$ или же ${\displaystyle e_{\rm {ij}}}$ = ${\displaystyle \sigma a_{ij}}$

куда ${\displaystyle a_{ij}}$ = ${\displaystyle {\frac {\overline {u_{i}u_{j}}}{k}}-{\frac {2\delta _{ij}}{3}}}$ = ${\displaystyle 2b_{ij}}$.

Параметр ${\displaystyle \sigma }$ Предполагается, что это функция турбулентного числа Рейнольдса, средней скорости деформации и т. д. Из физических соображений следует, что ${\displaystyle \sigma }$ должно стремиться к нулю, когда турбулентное число Рейнольдса стремится к бесконечности, и к единице, когда турбулентное число Рейнольдса стремится к нулю. Однако из условия сильной реализуемости следует, что ${\displaystyle \sigma }$ должен быть тождественно равен 1.

Основываясь на обширных физических и численных экспериментах (DNS и EDQNM) в сочетании с строгим соблюдением фундаментальных физических и математических ограничений и граничных условий, Грот, Халлбек и Йоханссон предложили улучшенную модель для тензора скорости диссипации.^[19]

${\displaystyle e_{\rm {ij}}}$ = ${\displaystyle [1+\alpha ({\frac {II_{a}}{2}}-{\frac {2}{3}})]a_{ij}-\alpha (a_{\rm {ik}}a_{\rm {kj}}-{\frac {1}{3}}II_{a}\delta _{\rm {ij}})}$

куда ${\displaystyle II_{a}}$ = ${\displaystyle a_{\rm {ij}}a_{\rm {ji}}}$ - второй инвариант тензора ${\displaystyle a_{\rm {ij}}}$ и ${\displaystyle \alpha }$ - параметр, который в принципе может зависеть от турбулентного числа Рейнольдса, параметра средней скорости деформации и т. д.

Однако Грот, Халлбек и Йоханссон использовали теорию быстрых искажений для оценки предельного значения ${\displaystyle \alpha }$ что оказывается 3/4.^[20][21] Используя это значение, модель была протестирована в DNS-симуляциях четырех различных однородных турбулентных потоков. Несмотря на то, что параметры в модели кубической скорости рассеяния были зафиксированы посредством использования реализуемости и RDT до сравнений с данными DNS, согласие между моделью и данными было очень хорошим во всех четырех случаях.

Основное отличие этой модели от линейной заключается в том, что каждый компонент ${\displaystyle e_{\rm {ij}}}$ находится под влиянием полного анизотропного состояния. Преимущество этой кубической модели очевидно из случая безвихревой плоской деформации, в которой продольная составляющая ${\displaystyle a_{\rm {ij}}}$ близка к нулю при умеренных скоростях деформации, тогда как соответствующая составляющая ${\displaystyle e_{\rm {ij}}}$ не является. Такое поведение нельзя описать линейной моделью.^[22]

Срок распространения

В моделирование из распространение срок ${\displaystyle D_{ij}}$ основан на предположении, что скорость переноса напряжений Рейнольдса за счет диффузии пропорциональна градиентам Рейнольдс подчеркивает. Это применение концепции гипотезы градиентной диффузии для моделирования эффекта пространственного перераспределения напряжений Рейнольдса из-за флуктуирующего поля скорости. Самая простая форма ${\displaystyle D_{ij}}$ за которым следует коммерческий CFD коды

${\displaystyle D_{ij}}$ = ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{m}}}\left({\frac {v_{t}}{\sigma _{k}}}{\frac {\partial R_{ij}}{\partial x_{m}}}\right)}$ = ${\displaystyle \operatorname {div} \left({\frac {v_{t}}{\sigma _{k}}}\nabla (R_{ij})\right)}$

куда ${\displaystyle \upsilon _{t}}$ = ${\displaystyle C_{\mu }{\frac {k^{2}}{\varepsilon }}}$ , ${\displaystyle \sigma _{k}}$ = 1.0 и ${\displaystyle C_{\mu }}$ = 0.09.

Срок обращения

Член вращения задается как^[23]

${\displaystyle \Omega _{ij}=-2\omega _{k}\left(R_{jm}e_{ikm}+R_{im}e_{jkm}\right)}$

здесь ${\displaystyle \omega _{k}}$ это вектор вращения, ${\displaystyle e_{ijk}}$= 1, если i, j, k находятся в циклическом порядке и различны,${\displaystyle e_{ijk}}$= -1, если i, j, k находятся в антициклическом порядке и различны, и ${\displaystyle e_{ijk}}$= 0, если любые два индекса совпадают.

Преимущества RSM

1) В отличие от модели k-ε, которая использует изотропную вихревую вязкость, RSM решает все компоненты турбулентного переноса.
2) Это самый общий из всех турбулентность моделирует и достаточно хорошо работает для большого количества инженерных потоков.
3) Требуется только начальная и / или граничные условия быть поставленным.
4) Поскольку моделирование условий производства не требуется, он может выборочно гасить напряжения, возникающие из-за плавучесть, эффекты кривизны и т. д.

Смотрите также

• Рейнольдса
• Изотропия
• Моделирование турбулентности
• Эдди
• k-эпсилонская модель турбулентности

Смотрите также

• k-эпсилонская модель турбулентности
• Модель длины смешивания

Рекомендации

1. Ламли, Джон; Ньюман, Гэри (1977). «Возврат к изотропии однородной турбулентности». Журнал гидромеханики. 82: 161–178. Bibcode:1977JFM .... 82..161L. Дои:10,1017 / с0022112077000585.
2. Мишра, Аашвин; Гиримаджи, Шарат (2013). «Межкомпонентный перенос энергии в несжимаемой однородной турбулентности: многоточечная физика и возможность одноточечного замыкания». Журнал гидромеханики. 731: 639–681. Bibcode:2013JFM ... 731..639M. Дои:10.1017 / jfm.2013.343.
3. Бенгт Андерссон, Ронни Андерссон с (2012). Вычислительная гидродинамика для инженеров (Первое изд.). Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк. п. 97. ISBN  9781107018952.
4. Лаундер, Брайан Эдвард и Рис, Дж. Младший и Роди, В. (1975). «Прогресс в развитии закрытия турбулентности напряжения Рейнольдса». Журнал гидромеханики. 68 (3): 537–566. Дои:10.1017 / s0022112075001814.
5. Speziale, Charles G и Sarkar, Sutanu and Gatski, Thomas B (1991). «Моделирование зависимости давления и деформации турбулентности: подход инвариантных динамических систем». Журнал гидромеханики. 227: 245–272. Дои:10.1017 / s0022112091000101.
6. Йоханссон, Арне V и Холлбек, Магнус (1994). «Моделирование быстрого давления - деформации в замыканиях по Рейнольдсу». Журнал гидромеханики. 269: 143–168. Дои:10.1017 / s0022112094001515.
7. Мишра, Аашвин А. и Гиримаджи, Шарат С. (2017). «К приближению нелокальной динамики в одноточечных замыканиях корреляции давления и деформации». Журнал гидромеханики. 811: 168–188. Дои:10.1017 / jfm.2016.730.
8. Магнус Холлбек (1996). Моделирование турбулентности и перехода (Первое изд.). Kluwer Academic Publishers. п. 117. ISBN  978-0792340607.
9. Ротта, Дж (1951). «Статистическая теория неоднородной турбулентности. II». Z. Phys. 131: 51–77. Дои:10.1007 / BF01329645.
10. Саркар, Сутану и Специя, Чарльз Г. (1990). «Простая нелинейная модель возврата к изотропии турбулентности». Физика жидкостей A: гидродинамика. 2 (1): 84–93. Дои:10.1063/1.857694. HDL:2060/19890011041.
11. Питер С. Бернард и Джеймс М. Уоллес (2002). Турбулентный поток: анализ, измерение и прогноз. Джон Вили и сыновья. п.324. ISBN  978-0471332190.
12. Рогалло, Р. С. (1981). «Численные эксперименты в однородной турбулентности». НАСА ТМ 81315. 81: 31508. Bibcode:1981STIN ... 8131508R.
13. Шуман, У. и Паттерсон, Г. С. (1978). «Численное исследование возврата осесимметричной турбулентности к изотропии» (PDF). J. Жидкий мех. 88 (4): 711–735. Bibcode:1978JFM .... 88..711S. Дои:10.1017 / S0022112078002359.
14. Уберой, М. С. (1956). «Влияние сжатия аэродинамической трубы на турбулентность набегающего потока». Журнал авиационных наук. 23 (8): 754–764. Дои:10.2514/8.3651.
15. Уберой, М. С. (1978). «Равное распределение энергии и локальная изотропия в турбулентных потоках» (PDF). J. Appl. Phys. 28 (10): 1165–1170. Дои:10.1063/1.1722600. HDL:2027.42/70587.
16. Ли, М. Дж. И Рейнольдс, В. К. (1985). «Численные эксперименты по структуре однородной турбулентности». Тепловизионный отдел, мех. Инженерное дело, Стэнфордский университет, представительский номер TF-24.
17. Грот, Дж., Халлбек, М. и Йоханссон, А. В. (1989). Измерение и моделирование анизотропных турбулентных течений. Успехи в области турбулентности 2. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. п. 84. Дои:10.1007/978-3-642-83822-4. ISBN  978-3-642-83822-4.
18. Ротта, Дж. К. (1951). "Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz I". Z. Phys. 129 (6): 547–572. Bibcode:1951ZPhy..129..547R. Дои:10.1007 / BF01330059.
19. Халлбек, М., Грот, Дж. И Йоханссон, А.В. (1989). Замыкание по напряжению Рейнольдса для диссипации в анизотропных турбулентных потоках. Симпозиум по турбулентным сдвиговым потокам, 7-е, Стэнфорд, Калифорния, 21-23 августа 1989 г., Труды. Стэндфордский Университет.
20. Халлбек, М., Грот, Дж. И Йоханссон, А.В. (1990). «Алгебраическая модель для неизотропной скорости турбулентной диссипации в клаузерах Рейнольдса». Phys. Жидкости А. 2: 1859. Дои:10.1063/1.857908.
21. Грот, Дж., Халлбек, М. и Йоханссон, А. В. (1990). Нелинейная модель для члена скорости диссипации в моделях напряжения Рейнольдса. Инженерное моделирование турбулентности и эксперименты: материалы международного симпозиума по инженерному моделированию и измерениям турбулентности. Эльзевир. ISBN  978-0444015631.
22. Халлбек, М., Грот, Дж. И Йоханссон, А.В. (1991). «Скорость анизотропной диссипации - последствия для моделей напряжения Рейнольдса». Скорость анизотропной диссипации - значение для моделей напряжения Рейнольдса. Успехи в турбулентности 3. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. п. 414. Дои:10.1007/978-3-642-84399-0_45. ISBN  978-3-642-84401-0.
23. Х. Верстег и В. Малаласекера (2013). Введение в вычислительную гидродинамику (Второе изд.). Pearson Education Limited. п. 96. ISBN  9788131720486.

Библиография

• «Турбулентные потоки», С. Б. Поуп, издательство Кембриджского университета (2000).
• «Моделирование турбулентности в технике и окружающей среде: второй момент пути к завершению», Кемаль Ханьялич и Брайан Лаундер, Cambridge University Press (2011).