Уравнения телеграфистов - Telegraphers equations

В уравнения телеграфа (или просто телеграфные уравнения) являются парой связанных, линейные дифференциальные уравнения в частных производных которые описывают Напряжение и Текущий на электрическом линия передачи с расстояние и время. Уравнения взяты из Оливер Хевисайд кто разработал модель линии передачи начиная с августовской газеты 1876 г., На дополнительном токе.^[1]:66–67 Модель демонстрирует, что электромагнитные волны могут отражаться на проводе, и вдоль линии могут образовываться волновые узоры.

Теория применима к линиям передачи всех частот, включая постоянный ток и высокая частота. Первоначально разработан для описания телеграф проводов, теория также может быть применена к радиочастота проводники, звуковая частота (например, телефонные линии ), низкой частоты (например, линии электропередач) и импульсов постоянный ток. Его также можно использовать для электрического моделирования проводные радиоантенны как усеченные одножильные линии передачи.^{[2]:7–10 [3]:232}

Распределенные компоненты

Схематическое изображение элементарных компонентов линии передачи.

Уравнения телеграфа, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, являются результатом Уравнения Максвелла. При более практическом подходе предполагается, что проводники состоят из бесконечного ряда двухпортовый элементарные компоненты, каждый из которых представляет бесконечно мало короткий отрезок ЛЭП:

• Распределенный сопротивление ${\displaystyle R}$ проводов представлен последовательным резистором (выраженным в Ом на единицу длины). В практических проводниках на более высоких частотах ${\displaystyle R}$ увеличивается примерно пропорционально квадратному корню из частоты из-за скин эффект.
• Распределенный индуктивность ${\displaystyle L}$ (из-за магнитное поле вокруг проводов, самоиндукция и др.) представлена ​​серией индуктор (Генри на единицу длины).
• В емкость ${\displaystyle C}$ между двумя проводниками представлен шунт конденсатор C (фарады на единицу длины).
• В проводимость ${\displaystyle G}$ диэлектрического материала, разделяющего два проводника, представлен шунтирующим резистором между сигнальным проводом и обратным проводом (Сименс на единицу длины). Этот резистор в модели имеет сопротивление ${\displaystyle 1/G}$ Ом. ${\displaystyle G}$ приходится как на оптовые проводимость диэлектрика и диэлектрические потери. Если диэлектрик представляет собой идеальный вакуум, то ${\displaystyle G\equiv 0}$.

Модель состоит из бесконечная серия бесконечно малых элементов, показанных на рисунке, и что значения компонентов указаны на единицу длины поэтому изображение компонента может ввести в заблуждение. Альтернативное обозначение - использовать ${\displaystyle R'}$, ${\displaystyle L'}$, ${\displaystyle C'}$, и ${\displaystyle G'}$ чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по длине. Эти величины также могут быть известны как константы первичной линии чтобы отличить от вторичных констант линии, производных от них, это характеристическое сопротивление, то постоянная распространения, постоянная затухания и фазовая постоянная. Все эти константы постоянны относительно времени, напряжения и тока. Они могут быть непостоянными функциями частоты.

Роль различных компонентов

Схема, показывающая волну, текущую вправо по линии передачи без потерь. Черные точки представляют электроны, а стрелками показано электрическое поле.

Роль различных компонентов можно визуализировать на основе анимации справа.

• Индуктивность L делает вид, что ток инерция —Т.е. с большой индуктивностью трудно увеличить или уменьшить ток в любой заданной точке. Большая индуктивность заставляет волну двигаться медленнее, так же как волны движутся по тяжелой веревке медленнее, чем по легкой. Большая индуктивность также увеличивает волновое сопротивление (меньший ток при том же напряжении).
• Емкость C контролирует, насколько сгруппированные электроны в каждом проводнике отталкивают электроны в Другой дирижер. Поглощение некоторых из этих сгруппированных электронов снижает скорость волны и ее силу (напряжение). Чем больше емкость, тем меньше отталкивание, потому что Другой линия (которая всегда имеет противоположный заряд) частично компенсирует эти силы отталкивания в каждый проводник. Чем больше емкость, тем меньше восстанавливающая сила ) s заставляет волну двигаться немного медленнее, а также придает линии передачи более низкий импеданс (более высокий ток при том же напряжении).
• р соответствует сопротивлению внутри каждой линии, а грамм позволяет току течь от одной линии к другой. На рисунке справа показана линия передачи без потерь, где оба р и грамм равны 0.

Значения основных параметров телефонного кабеля

Типичные данные параметров для телефонного кабеля с полиэтиленовой изоляцией (PIC) сечением 24 калибра при 70 ° F (294 K)

Частота	р		L		грамм		C
Гц	​Ω⁄км	​^Ω⁄1000 футов	​мГн⁄км	​^мГн⁄1000 футов	​мкСм⁄км	​^мкСм⁄1000 футов	​нФ⁄км	​^нФ⁄1000 футов
1 Гц	172.24	52.50	0.6129	0.1868	0.000	0.000	51.57	15.72
1 кГц	172.28	52.51	0.6125	0.1867	0.072	0.022	51.57	15.72
10 кГц	172.70	52.64	0.6099	0.1859	0.531	0.162	51.57	15.72
100 кГц	191.63	58.41	0.5807	0.1770	3.327	1.197	51.57	15.72
1 МГц	463.59	141.30	0.5062	0.1543	29.111	8.873	51.57	15.72
2 МГц	643.14	196.03	0.4862	0.1482	53.205	16.217	51.57	15.72
5 МГц	999.41	304.62	0.4675	0.1425	118.074	35.989	51.57	15.72

Более подробные таблицы и таблицы для других датчиков, температур и типов доступны в Reeve.^[4]Чен^[5] дает те же данные в параметризованной форме, которые, по его словам, можно использовать на частотах до 50 МГц.

Вариация ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle L}$ в основном из-за скин эффект и эффект близости.

Постоянство емкости - следствие тщательно продуманной конструкции.

Изменение G можно вывести из Термана: «Коэффициент мощности ... имеет тенденцию быть независимым от частоты, поскольку доля энергии, теряемой во время каждого цикла ... практически не зависит от количества циклов в секунду в широком диапазоне частот. . »^[6]Функция формы${\displaystyle G(f)=G_{1}\left({\frac {f}{f_{1}}}\right)^{g_{\mathrm {e} }}}$ с ${\displaystyle g_{\mathrm {e} }}$ близкое к 1,0 соответствовало бы утверждению Термана. Чен ^[5] дает уравнение аналогичного вида.

G в этой таблице можно смоделировать с помощью

${\displaystyle f_{1}=1\;\mathrm {MHz} }$

${\displaystyle G_{1}=29.11\;\mathrm {\mu S/km} =8.873\;\mathrm {\mu S/{1000ft}} }$

${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=0.87}$

Обычно резистивные потери растут пропорционально ${\displaystyle f^{0.5}\,}$ диэлектрические потери растут пропорционально ${\displaystyle f^{g_{\mathrm {e} }}\,}$ с ${\displaystyle g_{\mathrm {e} }>0.5}$ поэтому при достаточно высокой частоте диэлектрические потери будут превышать резистивные потери. На практике до достижения этой точки используется линия передачи с лучшим диэлектриком. На больших расстояниях жесткий коаксиальный кабель Чтобы получить очень низкие диэлектрические потери, твердый диэлектрик можно заменить воздухом с пластиковыми прокладками с интервалами, чтобы центральный проводник находился на оси.

Уравнения

Уравнения телеграфиста:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\ \partial }{\partial x}}\ V(x,t)&=-L\ {\frac {\ \partial }{\partial t}}\ I(x,t)-R\ I(x,t)\\[6pt]{\frac {\ \partial }{\partial x}}\ I(x,t)&=-C\ {\frac {\ \partial }{\partial t}}V(x,t)-G\ V(x,t)\end{aligned}}}$

Их можно объединить, чтобы получить два уравнения в частных производных, каждое с одной зависимой переменной, либо ${\displaystyle V}$ или же ${\displaystyle I\,}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {~\ \partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ V(x,t)-LC\ {\frac {~\ \partial ^{2}}{\ \partial t^{2}}}\ V(x,t)&=(RC+GL)\ {\frac {\ \partial }{\partial t}}\ V(x,t)+GR\ V(x,t)\\[6pt]{\frac {~\ \partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ I(x,t)-LC\ {\frac {~\ \partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\ I(x,t)&=(RC+GL)\ {\frac {\ \partial }{\partial t}}\ I(x,t)+GR\ I(x,t)\end{aligned}}}$

За исключением зависимой переменной (${\displaystyle \,V}$ или же ${\displaystyle I\,}$) формулы идентичны.

Передача без потерь

Когда ωL >> R и ωC >> Gсопротивлением можно пренебречь, а линия передачи считается идеальной структурой без потерь. В этом случае модель зависит только от L и C элементы. Уравнения телеграфа затем описывают взаимосвязь между напряжением V и нынешний я вдоль линии передачи, каждая из которых является функцией положения Икс и время т:

${\displaystyle V=V(x,t)}$

${\displaystyle I=I(x,t)}$

Уравнения для линий передачи без потерь

Сами уравнения состоят из пары связанных, первого порядка, уравнения в частных производных. Первое уравнение показывает, что индуцированное напряжение связано со скоростью изменения тока через индуктивность кабеля во времени, а второе уравнение аналогичным образом показывает, что ток, потребляемый емкостью кабеля, связан со скоростью изменения во времени. изменение напряжения.

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial x}}=-C{\frac {\partial V}{\partial t}}}$

Уравнения телеграфа разработаны в аналогичной форме в следующих источниках: Kraus,^[7] Хайт,^[8]Маршалл,^[9]Садику,^[10]Харрингтон,^[11]Каракаш,^[12] и Мецгер.^[13]

Эти уравнения можно объединить в два точных волновые уравнения, один для напряжения V, другой для текущего я:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{{\partial t}^{2}}}-u^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{{\partial x}^{2}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I}{{\partial t}^{2}}}-u^{2}{\frac {\partial ^{2}I}{{\partial x}^{2}}}=0}$

куда

${\displaystyle u={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

- скорость распространения волн, проходящих по линии передачи. Для линий передачи из параллельных идеальных проводников с вакуумом между ними эта скорость равна скорости света.

Синусоидальный установившийся режим

В случае синусоидальный устойчивое состояние (т.е. когда прикладывается чистое синусоидальное напряжение и переходные процессы прекратились), напряжение и ток принимают форму однотональных синусоид:

${\displaystyle V(x,t)=\mathrm {Re} \{V(x)\cdot e^{j\omega t}\}}$

${\displaystyle I(x,t)=\mathrm {Re} \{I(x)\cdot e^{j\omega t}\},}$

куда ${\displaystyle \omega }$ - угловая частота установившейся волны. В этом случае уравнения Телеграфа сводятся к

${\displaystyle {\frac {dV}{dx}}=-j\omega LI=-L{\frac {dI}{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dx}}=-j\omega CV=-C{\frac {dV}{dt}}}$

Точно так же волновые уравнения сводятся к

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+k^{2}V=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dx^{2}}}+k^{2}I=0}$

куда k это волновое число:

${\displaystyle k=\omega {\sqrt {LC}}={\omega \over u}.}$

Каждое из этих двух уравнений имеет вид одномерного Уравнение Гельмгольца.

В случае без потерь можно показать, что

${\displaystyle V(x)=V_{1}e^{-jkx}+V_{2}e^{+jkx}}$

и

${\displaystyle I(x)={V_{1} \over Z_{0}}e^{-jkx}-{V_{2} \over Z_{0}}e^{+jkx}}$

куда ${\displaystyle k}$ это реальная величина, которая может зависеть от частоты и ${\displaystyle Z_{0}}$ это характеристическое сопротивление линии передачи, которая для линии без потерь определяется выражением

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {L \over C}}}$

и ${\displaystyle V_{1}}$ и ${\displaystyle V_{2}}$ - произвольные постоянные интегрирования, которые определяются двумя граничные условия (по одному на каждый конец линии передачи).

Этот импеданс не изменяется по длине линии, поскольку L и C постоянны в любой точке линии при условии, что геометрия поперечного сечения линии остается постоянной.

Линия без потерь и линия без искажений обсуждаются в Sadiku,^[14] и Маршалл,^[15]

Общее решение

Общее решение волнового уравнения для напряжения представляет собой сумму бегущей волны вперед и бегущей волны назад:

${\displaystyle V(x,t)\ =\ f_{1}(x-ut)+f_{2}(x+ut)}$

куда

• ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ возможно любой какие бы то ни было функции, и
• ${\displaystyle u={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$ это форма волны скорость распространения (также известный как фазовая скорость ).

ж₁ представляет волну, движущуюся слева направо в положительном направлении оси x, в то время как ж₂ представляет собой волну, бегущую справа налево. Можно видеть, что мгновенное напряжение в любой точке x на линии является суммой напряжений обеих волн.

Поскольку нынешний я связано с напряжением V по уравнениям телеграфа мы можем написать

${\displaystyle I(x,t)\ =\ {\frac {f_{1}(x-ut)}{Z_{0}}}-{\frac {f_{2}(x+ut)}{Z_{0}}}}$

Линия передачи с потерями

При наличии потерь решение уравнения телеграфа имеет как затухание, так и дисперсию, что видно по сравнению с решением волнового уравнения.

Когда элементы потерь р и грамм нельзя пренебречь, дифференциальные уравнения, описывающие элементарный отрезок прямой, имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t)\\{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t)\\\end{aligned}}}$

Дифференцируя оба уравнения по Икс, и некоторые алгебраические манипуляции, мы получаем пару гиперболические уравнения в частных производных в каждом участвует только одно неизвестное:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V&=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}V+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV\\{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I&=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI\\\end{aligned}}}$

Эти уравнения напоминают однородное волновое уравнение с дополнительными членами в V и я и их первые производные. Эти дополнительные члены вызывают затухание сигнала и его распространение со временем и на расстоянии. Если в линии передачи только небольшие потери (р ≪ ωL и грамм ≪ ωC), мощность сигнала будет уменьшаться с увеличением расстояния как е^{−α x}, куда ${\displaystyle \alpha \approx {\frac {R}{2Z_{0}}}+{\frac {GZ_{0}}{2}}}$^[16]:130

Примеры шаблонов сигналов

Изменения распределения уровней сигнала вдоль одномерной среды передачи. В зависимости от параметров телеграфного уравнения это уравнение может воспроизводить все четыре паттерна.

В зависимости от параметров телеграфного уравнения изменения распределения уровней сигнала по длине одномерной передающей среды могут принимать форму простой волны, волны с декрементом или диффузионной модели телеграфного уравнения. Форма диффузно-подобного рисунка обусловлена ​​влиянием шунтирующей емкости.

Антенны

Поскольку уравнения, управляющие потоком тока в проволочных антеннах, идентичны уравнениям телеграфиста,^{[2]:7–10 [3]:232} антенные сегменты можно моделировать как двусторонние одножильные линии передачи. Антенна разбита на несколько линейных сегментов, каждый из которых имеет примерно постоянные параметры первичной линии, р, L, C, и грамм.^[а]

На конце антенны импеданс линии передачи практически бесконечен (эквивалентно, полная проводимость равна почти ноль), и после короткого «скопления» на вершине волна меняет направление и течет обратно к точке питания. В результате антенный провод переносит волны от точки питания к наконечнику, а затем от наконечника обратно к точке питания. Комбинация перекрывающихся противоположно направленных волн образует знакомые стоячие волны, которые наиболее часто используются для практического построения антенн. Кроме того, внутри антенны возникают частичные отражения там, где существует несовпадающий импеданс на стыке двух или более элементов, и эти отраженные волны также вносят вклад в стоячие волны по длине провода (проводов).^[2][3]

Решения уравнений телеграфа как элементы схемы

Эквивалентная схема несимметричной линии передачи (например, коаксиального кабеля), где: 2 / Z = пропускная способность VCCS (источника тока, управляемого напряжением), X = длина линии передачи, Z (s) = характеристическое сопротивление, T (s) = функция распространения, γ (s) = "постоянная" распространения, s = jω, j² = -1. Примечание: R_ω, L_ω, ГРАММ_ω и C_ω могут быть функциями частоты.

Эквивалентная схема симметричной линии передачи (например, двухжильной), где: 2 / Z = пропускная способность VCCS (источника тока, управляемого напряжением), X = длина линии передачи, Z (s) = характеристическое сопротивление, T (с ) = функция распространения, γ (s) = «постоянная» распространения, s = jω, j² = -1. Примечание: R_ω, L_ω, ГРАММ_ω и C_ω могут быть функциями частоты.

Решения уравнений телеграфа могут быть вставлены непосредственно в схему как компоненты. Схема на верхнем рисунке реализует решения уравнений телеграфиста.^[17]

Нижняя схема получается из верхней схемы преобразованием источника.^[18] Он также реализует решения уравнений телеграфа.

Решение уравнений телеграфиста можно выразить в виде типа ABCD двухпортовая сеть со следующими определяющими уравнениями^[19]

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&=V_{2}\cosh(\gamma x)+I_{2}Z\sinh(\gamma x)\\I_{1}&=V_{2}{\frac {1}{Z}}\sinh(\gamma x)+I_{2}\cosh(\gamma x).\\\end{aligned}}}$

Двухпортовый тип ABCD дает ${\displaystyle V_{1}\,}$ и ${\displaystyle I_{1}\,}$ как функции ${\displaystyle V_{2}\,}$ и ${\displaystyle I_{2}\,}$. Обе схемы выше, если они решены для ${\displaystyle V_{1}\,}$ и ${\displaystyle I_{1}\,}$ как функции ${\displaystyle V_{2}\,}$ и ${\displaystyle I_{2}\,}$ дают точно такие же уравнения.

В нижней схеме все напряжения, кроме напряжений портов, относятся к земле, а дифференциальные усилители имеют не показанные соединения с землей. Примером линии передачи, моделируемой этой схемой, может быть сбалансированная линия передачи, такая как телефонная линия. Импедансы Z (s), источники тока, зависящие от напряжения (VDCS) и разностные усилители (треугольник с цифрой «1») учитывают взаимодействие линии передачи с внешней цепью. Блоки T (s) учитывают задержку, затухание, дисперсию и все, что происходит с сигналом в пути. Один из блоков T (s) несет прямая волна а другой несет обратная волна. Схема, как изображено, полностью симметрична, хотя она не нарисована таким образом. Изображенная схема эквивалентна линии передачи, подключенной от ${\displaystyle V_{1}\,}$ к ${\displaystyle V_{2}\,}$ в том смысле, что ${\displaystyle V_{1}\,}$, ${\displaystyle V_{2}\,}$, ${\displaystyle I_{1}\,}$ и ${\displaystyle I_{2}}$ будет таким же, будь то эта цепь или фактическая линия передачи ${\displaystyle V_{1}\,}$ и ${\displaystyle V_{2}\,}$. Это не означает, что внутри линии передачи действительно есть усилители.

Каждая двухпроводная или симметричная линия передачи имеет неявный (или в некоторых случаях явный) третий провод, который можно назвать экраном, оболочкой, общим, заземлением или землей. Таким образом, каждая двухпроводная симметричная линия передачи имеет два режима, которые условно называются дифференциальным и общим режимами. Схема, показанная внизу, моделирует только дифференциальный режим.

В верхней цепи удвоители напряжения, разностные усилители и импедансы Z (s) учитывают взаимодействие линии передачи с внешней цепью. Эта схема, как изображено, также полностью симметрична и тоже не нарисована таким образом. Эта схема является полезным эквивалентом для несимметричная линия передачи как коаксиальный кабель или микрополоска линия.

Это не единственные возможные эквивалентные схемы.

Смотрите также

• Отражения сигналов на проводящих линиях
• Закон квадратов, Предварительная работа лорда Кельвина по этому вопросу

Примечания

1. Поскольку потери напряжения из-за излучения обычно малы по сравнению с напряжениями, необходимыми из-за импульсного сопротивления антенны, и поскольку сухой воздух является очень хорошим изолятором, антенна часто моделируется как без потерь: р = грамм = 0 . Существенные потери или усиление напряжения из-за передачи или приема обычно вводятся постфактум, после решений линии передачи, хотя это можно смоделировать как небольшое значение р за счет работы с сложные числа.

Цитаты

1. Охота 1961 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHunt1961 (помощь)
2. Рейнс, Джереми Кейт (2007). Сложенные унипольные антенны: теория и применение. Электронная инженерия (1-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN  978-0-07-147485-6.ISBN  0-07-147485-4
3. Щелкунов, Сергей А .; Фриис, Харальд Т. (июль 1966 г.) [1952]. Антенны: теория и практика. Джон Вили и сыновья. LCCN  52-5083.
4. Рив 1995, п. 558
5. Чен 2004, п. 26
6. Терман 1943, п. 112
7. Краус 1989, стр. 380–419 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFKraus1989 (помощь)
8. Хайт 1989, стр. 382–392
9. Маршалл 1987, стр. 359–378
10. Садику 1989, стр. 497–505
11. Харрингтон 1961, стр. 61–65
12. Каракаш 1950, стр. 5–14
13. Мецгер 1969, стр. 1–10 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMetzger1969 (помощь)
14. Садику 1989, стр. 501–503
15. Маршалл 1987, стр. 369–372
16. Миано, Джованни; Маффуччи, Антонио (2001). Линии передачи и контуры с сосредоточенными параметрами. Академическая пресса. ISBN  0-12-189710-9. В этой книге используется символ μ вместо α.
17. Маккаммон 2010
18. Хейт 1971, стр. 73–77
19. Каракаш 1950, п. 44

Рекомендации

• Чен, Уолтер Ю. (2004), Основы домашней сети, Прентис Холл, ISBN  0-13-016511-5
• Харрингтон, Роджер Ф. (1961), Гармонические по времени электромагнитные поля, Макгроу-Хилл
• Хейт, Уильям Х. (1971), Анализ инженерных схем (второе изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, ISBN  0070273820
• Хейт, Уильям (1989), Инженерная электромагнетизм (5-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  0-07-027406-1
• Хант, Брюс Дж. (2005), Максвеллианцы, Издательство Корнельского университета, ISBN  0801482348
• Каракаш, Джон Дж. (1950), Линии передачи и сети фильтров (1-е изд.), Macmillan
• Краус, Джон Д. (1984), Электромагнетизм (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  0-07-035423-5
• Маршалл, Стэнли В. (1987), Электромагнитные концепции и приложения (1-е изд.), Прентис-Холл, ISBN  0-13-249004-8
• Мецгер, Жорж; Вабре, Жан-Поль (1969), Линии передачи с импульсным возбуждением, Academic Press
• Маккаммон, Рой (июнь 2010 г.), SPICE-моделирование линий передачи телеграфным методом (PDF), получено 22 октября 2010; также SPICE-моделирование линий передачи телеграфным методом (часть 1 из 3)
• Рив, Уитмен Д. (1995), Справочник по абонентской сигнализации и передаче, IEEE Press, ISBN  0-7803-0440-3
• Садику, Мэтью Н. О. (1989), Элементы электромагнетизма (1-е изд.), Издательство Saunders College Publishing, ISBN  0030134846
• Терман, Фредерик Эммонс (1943), Справочник радиоинженера (1-е изд.), McGraw-Hill