Проблема с доской Тарского - Tarskis plank problem

В математика, Проблема доски Тарского это вопрос о покрытии выпуклых областей в п-мерное евклидово пространство по «доскам»: области между двумя гиперплоскостями. Тарский спросили, должна ли сумма ширин досок быть не меньше минимальной ширины выпуклой области. На вопрос утвердительно ответил Тёгер Банг (1950, 1951 ).[1]

Заявление

Планка Тарского проблема.svg

Учитывая выпуклое тело C в рп и гиперплоскость ЧАС, ширина C параллельно ЧАС, ш(C,ЧАС), расстояние между двумя поддерживающие гиперплоскости из C которые параллельны ЧАС. Наименьшее такое расстояние (т.е. инфимум по всем возможным гиперплоскостям) называется минимальной шириной C, ш(C).

(Замкнутое) множество точек п между двумя отдельными параллельными гиперплоскостями в рп называется доской, а расстояние между двумя гиперплоскостями называется шириной доски, ш(п). Тарский предположил, что если выпуклое тело C минимальной ширины ш(C) был покрыт набором досок, то сумма ширины этих досок должна быть не менее ш(C). То есть, если п1,…,пм доски такие, что

тогда

Банг доказал, что это действительно так.

Номенклатура

Название проблемы, особенно для наборов точек между параллельными гиперплоскостями, происходит от визуализации проблемы в р2. Здесь гиперплоскости - это просто прямые линии, а доски становятся пространством между двумя параллельными линиями. Таким образом, доски можно рассматривать как (бесконечно длинные) доски из дерева, и возникает вопрос, сколько досок нужно, чтобы полностью покрыть выпуклый столешница минимальной ширины ш? Теорема Банга показывает, что, например, круговой стол из диаметр d ноги не могут быть покрыты менее чем d деревянные доски шириной в один фут каждая.

Рекомендации

  1. ^ Кинг, Джонатан Л. (1994). «Три проблемы в поисках меры». Амер. Математика. Ежемесячно. 101: 609–628. Дои:10.2307/2974690.