Проблема с доской Тарского - Tarskis plank problem

В математика, Проблема доски Тарского это вопрос о покрытии выпуклых областей в п-мерное евклидово пространство по «доскам»: области между двумя гиперплоскостями. Тарский спросили, должна ли сумма ширин досок быть не меньше минимальной ширины выпуклой области. На вопрос утвердительно ответил Тёгер Банг (1950, 1951 ).^[1]

Заявление

Учитывая выпуклое тело C в р^п и гиперплоскость ЧАС, ширина C параллельно ЧАС, ш(C,ЧАС), расстояние между двумя поддерживающие гиперплоскости из C которые параллельны ЧАС. Наименьшее такое расстояние (т.е. инфимум по всем возможным гиперплоскостям) называется минимальной шириной C, ш(C).

(Замкнутое) множество точек п между двумя отдельными параллельными гиперплоскостями в р^п называется доской, а расстояние между двумя гиперплоскостями называется шириной доски, ш(п). Тарский предположил, что если выпуклое тело C минимальной ширины ш(C) был покрыт набором досок, то сумма ширины этих досок должна быть не менее ш(C). То есть, если п₁,…,п_м доски такие, что

${\displaystyle C\subseteq P_{1}\cup \ldots \cup P_{m}\subset \mathbb {R} ^{n},}$

тогда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}w(P_{i})\geq w(C).}$

Банг доказал, что это действительно так.

Номенклатура

Название проблемы, особенно для наборов точек между параллельными гиперплоскостями, происходит от визуализации проблемы в р². Здесь гиперплоскости - это просто прямые линии, а доски становятся пространством между двумя параллельными линиями. Таким образом, доски можно рассматривать как (бесконечно длинные) доски из дерева, и возникает вопрос, сколько досок нужно, чтобы полностью покрыть выпуклый столешница минимальной ширины ш? Теорема Банга показывает, что, например, круговой стол из диаметр d ноги не могут быть покрыты менее чем d деревянные доски шириной в один фут каждая.

Рекомендации

1. Кинг, Джонатан Л. (1994). «Три проблемы в поисках меры». Амер. Математика. Ежемесячно. 101: 609–628. Дои:10.2307/2974690.

• Bang, Thøger (1950), «О покрытии параллельными полосами», Мат. Tidsskr. Б.: 49–53, МИСТЕР  0038085
• Банг, Тёгер (1951), «Решение» дощатой проблемы"", Proc. Амер. Математика. Soc., 2 (6): 990–993, Дои:10.2307/2031721, JSTOR  2031721, МИСТЕР  0046672