Теорема С.-Надя о растяжении - Sz.-Nagys dilation theorem

В Теорема С.-Надя о растяжении (доказано Béla Szkefalvi-Nagy ) утверждает, что каждое сокращение Т на Гильбертово пространство ЧАС имеет унитарный расширение U в гильбертово пространство K, содержащий ЧАС, с

${\displaystyle T^{n}=P_{H}U^{n}\vert _{H},\quad n\geq 0.}$

Более того, такое расширение уникально (с точностью до унитарной эквивалентности), если предположить K минимальна в том смысле, что линейная оболочка_пU^пЧАС плотно в K. При выполнении этого условия минимальности U называется минимальное унитарное расширение из Т.

Доказательство

Для сокращение Т (т.е. (${\displaystyle \|T\|\leq 1}$), это оператор дефекта D_Т определяется как (единственный) положительный квадратный корень D_Т = (Я - Т * Т)^½. В частном случае, когда S это изометрия, D_{S *} это проектор и D_S=0, следовательно, следующий Sz. Унитарное расширение Надя S с требуемым свойством полиномиального функционального исчисления:

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}S&D_{S^{*}}\\D_{S}&-S^{*}\end{bmatrix}}.}$

Возвращаясь к общему случаю сокращения Т, каждое сокращение Т в гильбертовом пространстве ЧАС имеет изометрическое растяжение, опять же со свойством исчисления, на

${\displaystyle \oplus _{n\geq 0}H}$

данный

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}T&0&0&\cdots &\\D_{T}&0&0&&\\0&I&0&\ddots \\0&0&I&\ddots \\\vdots &&\ddots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

Подставляя S таким образом построенная в предыдущей унитарной дилатации Ш.-Надя для изометрии S, получаем унитарную дилатацию для сжатия Т:

${\displaystyle T^{n}=P_{H}S^{n}\vert _{H}=P_{H}(Q_{H'}U\vert _{H'})^{n}\vert _{H}=P_{H}U^{n}\vert _{H}.}$

Форма Шаффера

В Форма Шаффера унитарного Sz. Расширение Надя можно рассматривать как начальную точку для характеристики всех унитарных расширений с требуемым свойством для данного сжатия.

Замечания

Обобщение этой теоремы по Бергеру: Foias и Лебоу, показывает, что если Икс это спектральный набор за Т, и

${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$

это Алгебра Дирихле, тогда Т имеет минимальную нормальную δX расширение формы, указанной выше. Следствием этого является то, что любой оператор с односвязный спектральный набор Икс имеет минимальную нормальную δX расширение.

Чтобы увидеть, что это обобщает теорему Ш.-Надя, заметим, что операторы сжатия имеют единичный круг D как спектральное множество, и что нормальные операторы со спектром в единичной окружности δD унитарны.

Рекомендации

• Паульсен, В. (2003). Вполне ограниченные отображения и операторные алгебры. Издательство Кембриджского университета.
• Шаффер, Дж. Дж. (1955). «Об унитарных дилатациях сокращений». Труды Американского математического общества. 6 (2): 322. Дои:10.2307/2032368. JSTOR  2032368.