Сверхкомпактное пространство - Supercompact space

В математика, в области топология, а топологическое пространство называется сверхкомпактный если есть суббазис так что каждый открытая крышка топологического пространства из элементов подосновы имеет подпокрытие не более чем с двумя элементами подосновы. Сверхкомпактность и связанное с ней понятие суперэкстензия был представлен Ж. де Гроот в 1967 г.

Примеры

Посредством Теорема александра о суббазе, каждое сверхкомпактное пространство компактный. И наоборот, многие (но не все) компактные пространства сверхкомпактны. Ниже приведены примеры суперкомпактных пространств:

• Компактный линейно упорядоченные пространства с топология заказа и все непрерывные изображения таких пространств (Була и др., 1992)
• Компактный метризуемые пространства (первоначально принадлежало М. Строку и А. Шимански, 1975 г., см. также Миллс, 1979 г.)
• Продукт суперкомпактных пространств сверхкомпактен (как и аналогичное утверждение о компактности, Теорема Тихонова, это эквивалентно аксиома выбора, Banaschewski 1993).

Некоторые свойства

Некоторые компактные Хаусдорфовы пространства не сверхкомпактны; такой пример дают Каменно-чешская компактификация натуральных чисел (с дискретной топологией) (Bell 1978).

Непрерывное изображение сверхкомпактного пространства не обязательно должно быть суперкомпактным (Verbeek, 1972, Mills-van Mill, 1979).

В суперкомпактном пространстве (или любом непрерывном изображении одного) точка кластера любого счетного подмножества является пределом нетривиальной сходящейся последовательности. (Ян 1994)

Рекомендации

• Б. Банашевский, "Сверхкомпактность, изделия и аксиома выбора". Kyungpook Math. J. 33 (1993), нет. 1, 111—114.
• Bula, W .; Nikiel, J .; Tuncali, H.M .; Тимчатин, Э. Д. «Непрерывные образы упорядоченных компактов являются правильными суперкомпактными». Труды симпозиума по топологии Цукуба (Цукуба, 1990). Топология Appl. 45 (1992), нет. 3, 203—221.
• Мюррей Г. Белл. «Не все компактные хаусдорфовы пространства сверхкомпактны». Общая топология и приложение. 8 (1978), нет. 2, 151–155.
• Ж. де Гроот, "Сверхкомпактность и сверхрастяжимость". Вклад в теорию расширений топологических структур. Материалы симпозиума, проходившего в Берлине 14–19 августа 1967 г. Под редакцией Я. Флахсмайера, Х. Поппе и Ф. Терпе. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Берлин 1969 279 с.
• Энгелкинг, Р. (1977), Общая топология, Тейлор и Фрэнсис, ISBN  978-0-8002-0209-5.
• Малыхин В.И.; Пономарев В.И. (1977), "Общая топология (теоретико-множественное направление)", Журнал математических наук, Нью-Йорк: Springer, 7 (4): 587–629, Дои:10.1007 / BF01084982
• Миллс, Чарльз Ф. (1979), "Более простое доказательство суперкомпактности компактных метрических пространств", Труды Американского математического общества, Труды Американского математического общества, Vol. 73, № 3, 73 (3): 388–390, Дои:10.2307/2042369, JSTOR  2042369, МИСТЕР  0518526
• Миллс, Чарльз Ф .; Ван Милл, Ян, "Несверхкомпактное непрерывное изображение сверхкомпактного пространства". Houston J. Math. 5 (1979), нет. 2, 241–247.
• Мизиор, Адам (1992), «Универсальный компакт Т₁-пространства ", Канадский математический бюллетень, Канадское математическое общество, 35 (2): 261–266, Дои:10.4153 / CMB-1992-037-1.
• Дж. Ван Милль, Сверхкомпактность и пространства Валлмана. Трактаты математического центра, № 85. Mathematisch Centrum, Амстердам, 1977. iv + 238 стр.ISBN  90-6196-151-3
• М. Строк и А. Шиманский "Компактные метрические пространства имеют двоичную основу. "Фунд. Математика. 89 (1975), № 1, 81-91.
• А. Вербеек, Суперрасширения топологических пространств. Трактаты математического центра, № 41. Mathematisch Centrum, Амстердам, 1972. iv + 155 с.
• Ян, Чжун Цян (1994), "Все точки кластеров счетных множеств в суперкомпактных пространствах являются пределами нетривиальных последовательностей", Труды Американского математического общества, Труды Американского математического общества, Vol. 122, №2, 122 (2): 591–595, Дои:10.2307/2161053, JSTOR  2161053