Обтекаемая против ветра формулировка Петрова – Галеркина для стабилизации давления Петрова – Галеркина для уравнений Навье – Стокса несжимаемой жидкости - Streamline upwind Petrov–Galerkin pressure-stabilizing Petrov–Galerkin formulation for incompressible Navier–Stokes equations

В Обтекаем против ветра формулировка Петрова – Галеркина, стабилизирующая давление, для уравнений Навье – Стокса несжимаемой жидкости. может использоваться для заключительный элемент вычисления высоких Число Рейнольдса несжимаемый поток с использованием равного порядка пространства конечных элементов (т.е. ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}-\mathbb {P} _{k}}$) путем введения дополнительных стабилизирующих членов в системе Навье – Стокса Формулировка Галеркина.^[1][2]

Численный расчет методом конечных элементов (КЭ) несжимаемой жидкости. Уравнения Навье – Стокса (NS) страдает от двух основных источников численных нестабильность возникающие из связанной проблемы Галеркина.^[1] Конечные элементы равного порядка для давление и скорость, (Например, ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}-\mathbb {P} _{k},\;\forall k\geq 0}$), не удовлетворяют inf-sup условие и приводит к нестабильности дискретного давления (также называемого ложным давлением).^[2]Более того, адвекция член в уравнениях Навье – Стокса может дать колебания в поле скорости (также называемой ложной скоростью).^[2] Такие паразитные колебания скорости становятся более очевидными для доминирующей адвекции (т.е. Число Рейнольдса ${\displaystyle Re}$) потоки.^[2] Для управления нестабильностями, возникающими из-за условия inf-sup и проблемы с преобладанием конвекции, в формулировку Н.С. Галеркина можно добавить стабилизацию давления Петрова – Галеркина (PSPG) вместе со стабилизацией потока по ветру Петрова-Галеркина (SUPG).^[1][2]

Несжимаемые уравнения Навье – Стокса для ньютоновской жидкости.

Позволять ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{3}}$ быть пространственным жидкость домен с гладкой граница ${\displaystyle \partial \Omega \equiv \Gamma }$, куда ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{N}\cup \Gamma _{D}}$ с ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ подмножество ${\displaystyle \Gamma }$ в котором существенное (Дирихле ) граничные условия установлены, а ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ участок границы, где естественный (Neumann ) граничные условия. Более того, ${\displaystyle \Gamma _{N}=\Gamma \setminus \Gamma _{D}}$, и ${\displaystyle \Gamma _{N}\cap \Gamma _{D}=\emptyset }$. Вводя неизвестное поле скорости ${\displaystyle {\mathbf {u}}({\mathbf {x}},t):\Omega \times [0,T]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ и неизвестное поле давления ${\displaystyle p({\mathbf {x}},t):\Omega \times [0,T]\rightarrow \mathbb {R} }$, в отсутствие силы тела, то несжимаемый Уравнения Навье – Стокса (NS) читаются^[3]

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {\mathbf {u}}}{\partial t}}+({\mathbf {u}}\cdot \nabla ){\mathbf {u}}-{\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\mathbf {u}},p)={\mathbf {0}}&{\text{in }}\Omega \times (0,T],\\\nabla \cdot {\mathbf {u}}=0&{\text{in }}\Omega \times (0,T],\\{\mathbf {u}}={\mathbf {g}}&{\text{on }}\Gamma _{D}\times (0,T],\\{\boldsymbol {\sigma }}({\mathbf {u}},p){\mathbf {\hat {n}}}={\mathbf {h}}&{\text{on }}\Gamma _{N}\times (0,T],\\{\mathbf {u}}({\mathbf {x}},0)={\mathbf {u}}_{0}({\mathbf {x}})&{\text{in }}\Omega \times \{0\},\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle {\mathbf {\hat {n}}}}$ направленная вовне единица нормальный вектор к ${\displaystyle \Gamma _{N}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ это Тензор напряжений Коши, ${\displaystyle \rho }$ это жидкость плотность , и ${\displaystyle \nabla }$ и ${\displaystyle \nabla \cdot }$ обычные градиент и расхождение операторы.Функции ${\displaystyle {\mathbf {g}}}$ и ${\displaystyle {\mathbf {h}}}$ указывают подходящие данные Дирихле и Неймана соответственно, а ${\displaystyle {\mathbf {u}}_{0}}$ известное начальное поле решение вовремя ${\displaystyle t=0}$.

Для Ньютоновская жидкость тензор напряжений Коши ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ линейно зависит от составляющих тензор скорости деформации:^[3]

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\mathbf {u}},p)=-p{\mathbf {I}}+2\mu {\mathbf {S}}({\mathbf {u}}),}$

куда ${\displaystyle \mu }$ это динамическая вязкость жидкости (принимается за известную константу) и ${\displaystyle {\mathbf {I}}}$ это второй порядок тензор идентичности, пока ${\displaystyle {\mathbf {S}}({\mathbf {u}})}$ это тензор скорости деформации

${\displaystyle {\mathbf {S}}({\mathbf {u}})={\frac {1}{2}}{\big [}\nabla {\mathbf {u}}+(\nabla {\mathbf {u}})^{T}{\big ]}.}$

Первое из уравнений NS представляет собой баланс импульса а второй - сохранение массы, также называемое уравнение неразрывности (или несжимаемое ограничение).^[3] Векторные функции ${\displaystyle {\mathbf {u}}_{0}}$, ${\displaystyle {\mathbf {g}}}$, и ${\displaystyle {\mathbf {h}}}$ назначены.

Следовательно сильная формулировка несжимаемых уравнений Навье – Стокса для постоянной плотности, ньютоновской и однородная жидкость можно записать как:^[3]

Находить, ${\displaystyle \forall t\in (0,T]}$, скорость ${\displaystyle {\mathbf {u}}({\mathbf {x}},t)}$ и давление ${\displaystyle p({\mathbf {x}},t)}$ такой, что:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {\mathbf {u}}}{\partial t}}+({\mathbf {u}}\cdot \nabla ){\mathbf {u}}+\nabla {\hat {p}}-2\nu \nabla \cdot {\mathbf {S}}({\mathbf {u}})={\mathbf {0}}&{\text{in }}\Omega \times (0,T],\\\nabla \cdot {\mathbf {u}}=0&{\text{in }}\Omega \times (0,T],\\\left(-{\hat {p}}{\mathbf {I}}+2\nu {\mathbf {S}}({\mathbf {u}})\right){\mathbf {\hat {n}}}={\mathbf {h}}&{\text{on }}\Gamma _{N}\times (0,T],\\{\mathbf {u}}={\mathbf {g}}&{\text{on }}\Gamma _{D}\times (0,T]\;,\\{\mathbf {u}}({\mathbf {x}},0)={\mathbf {u}}_{0}({\mathbf {x}})&{\text{in }}\Omega \times \{0\},\end{cases}}}$

куда, ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ это кинематическая вязкость, и ${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {p}{\rho }}}$ - давление, пересчитанное на плотность (однако, для наглядности, переменная давления в шляпе в дальнейшем будет игнорироваться).

В уравнениях NS число Рейнольдса показывает, насколько важен нелинейный член, ${\displaystyle ({\mathbf {u}}\cdot \nabla ){\mathbf {u}}}$по сравнению с диссипативным членом ${\displaystyle \nu \nabla \cdot {\mathbf {S}}({\mathbf {u}}):}$ ^[4]

${\displaystyle {\frac {({\mathbf {u}}\cdot \nabla ){\mathbf {u}}}{\nu \nabla \cdot {\mathbf {S}}({\mathbf {u}})}}\approx {\frac {\frac {U^{2}}{L}}{\nu {\frac {U}{L^{2}}}}}={\frac {UL}{\nu }}=Re.}$

Число Рейнольдса - это мера отношения между адвекция конвекция условия, созданные инерционный сил в скорости потока, а распространение термин, специфичный для жидкости вязкие силы.^[4] Таким образом, ${\displaystyle Re}$может использоваться для различения течения с преобладанием адвекции-конвекции и течения с преобладанием диффузии.^[4] А именно:

• для "низкого" ${\displaystyle Re}$, вязкие силы преобладают, и мы находимся в ситуации вязкой жидкости (также называемой Ламинарный поток ),^[4]
• для "высоких" ${\displaystyle Re}$преобладают силы инерции, и появляется слегка вязкая жидкость с высокой скоростью (также называемая Турбулентный поток ).^[4]

Слабая формулировка уравнений Навье – Стокса.

В слабая формулировка сильной формулировки уравнений НС получается умножением первых двух уравнений НС на тестовые функции ${\displaystyle {\mathbf {v}}}$ и ${\displaystyle q}$соответственно принадлежащие к подходящим функциональные пространства, и интегрируя это уравнение по всей жидкой области ${\displaystyle \Omega }$.^[3] Как следствие:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Omega }{\frac {\partial {\mathbf {u}}}{\partial t}}\cdot {\mathbf {v}}\,d\Omega +\int _{\Omega }({\mathbf {u}}\cdot \nabla ){\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla p\cdot {\mathbf {v}}\,d\Omega \,-\int _{\Omega }2\nu \nabla \cdot {\mathbf {S}}({\mathbf {u}})\cdot {\mathbf {v}}\,d\Omega =0,\\&\int _{\Omega }\nabla \cdot {\mathbf {u}}\,q\,d\Omega =0.\end{aligned}}}$

Суммируя два уравнения и выполняя интеграция по частям для давления (${\displaystyle \nabla p}$) и вязкой (${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {S}}({\mathbf {u}})}$) срок:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Omega }{\frac {\partial {\mathbf {u}}}{\partial t}}\cdot {\mathbf {v}}\,d\Omega +\int _{\Omega }({\mathbf {u}}\cdot \nabla ){\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}}\,d\Omega \,+\int _{\Omega }\nabla \cdot {\mathbf {u}}\,q\,d\Omega -\int _{\Omega }p\nabla \cdot {\mathbf {v}}\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }p{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {\hat {n}}}\,d\Gamma \,+\int _{\Omega }2\nu {\mathbf {S}}({\mathbf {u}}):\nabla {\mathbf {v}}\,d\Omega -\int _{\partial \Omega }2\nu {\mathbf {S}}({\mathbf {u}})\cdot {\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {\hat {n}}}\,d\Gamma \,=0.\end{aligned}}}$

Что касается выбора функциональных пространств, достаточно, чтобы ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle {\mathbf {u}}}$ и ${\displaystyle {\mathbf {v}}}$, и их производная, ${\displaystyle \nabla {\mathbf {u}}}$ и ${\displaystyle \nabla {\mathbf {v}}}$ находятся интегрируемые с квадратом функции чтобы иметь смысл в интегралы которые появляются в приведенной выше формулировке.^[3] Следовательно, ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {Q}}=L^{2}(\Omega )=\{q\in \Omega {\text{ s.t. }}\Vert q\Vert _{L^{2}}={\sqrt {\int _{\Omega }{\vert q\vert ^{2}\ d\Omega }}}<\infty \},\\&{\mathcal {V}}=\{{\mathbf {v}}\in [L^{2}(\Omega )]^{3}{\text{ and }}\nabla {\mathbf {v}}\in [L^{2}(\Omega )]^{3\times 3},\,{\mathbf {v}}|_{\Gamma _{D}}={\mathbf {g}}\},\\&{\mathcal {V}}_{0}=\{{\mathbf {v}}\in {\mathcal {V}}{\text{ s.t. }}{\mathbf {v}}|_{\Gamma _{D}}={\mathbf {0}}\}.\end{aligned}}}$

Указав функциональные пространства ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{0}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$, и, применяя граничные условия, граничные члены можно переписать как^[3]

${\displaystyle \int _{\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}}p{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {\hat {n}}}\,d\Gamma +\int _{\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}}-2\nu S({\mathbf {u}})\cdot {\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {\hat {n}}}\,d\Gamma ,}$

куда ${\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}}$. Интегральные члены с ${\displaystyle \Gamma _{D}}$ исчезнуть, потому что ${\displaystyle {\mathbf {v}}|_{\Gamma _{D}}={\mathbf {0}}}$, а срок на ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ становиться

${\displaystyle \int _{\Gamma _{N}}[p{\mathbf {I}}-2\nu S({\mathbf {u}})]\cdot {\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {\hat {n}}}\,d\Gamma =-\int _{\Gamma _{N}}{\mathbf {h}}\cdot {\mathbf {v}}\,d\Gamma ,}$

Слабая формулировка уравнений Навье – Стокса гласит:^[3]

Найдите для всех ${\displaystyle t\in (0,T]}$, ${\displaystyle ({\mathbf {u}},p)\in \{{\mathcal {V}}\times {\mathcal {Q}}\}}$, так что

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {\partial {\mathbf {u}}}{\partial t}},{\mathbf {v}}\right)+c({\mathbf {u}},{\mathbf {u}},{\mathbf {v}})+b({\mathbf {u}},q)-b({\mathbf {v}},p)+a({\mathbf {u}},{\mathbf {v}})=f({\mathbf {v}})\end{aligned}}}$

с ${\displaystyle {\mathbf {u}}|_{t=0}={\mathbf {u}}_{0}}$, куда^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial {\mathbf {u}}}{\partial t}},{\mathbf {v}}\right):=\int _{\Omega }{\frac {\partial {\mathbf {u}}}{\partial t}}\cdot {\mathbf {v}}\,d\Omega ,\\b({\mathbf {u}},q):=\int _{\Omega }\nabla \cdot {\mathbf {u}}\,q\,d\Omega ,\\a({\mathbf {u}},{\mathbf {v}}):=\int _{\Omega }2\nu {\mathbf {S}}({\mathbf {u}}):\nabla {\mathbf {v}}\,d\Omega ,\\c({\mathbf {w}},{\mathbf {u}},{\mathbf {v}}):=\int _{\Omega }({\mathbf {w}}\cdot \nabla ){\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}}\,d\Omega ,\\f({\mathbf {v}}):=-\int _{\Gamma _{N}}{\mathbf {h}}\cdot {\mathbf {v}}\,d\Gamma .\end{aligned}}}$

Конечноэлементная галёркинская формулировка уравнений Навье – Стокса

Для численного решения задачи NS сначала дискретизация слабой постановки.^[3]Рассмотрим триангуляция ${\displaystyle \Omega _{h}}$, состоит из тетраэдры ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{i}}$, с ${\displaystyle i=1,\ldots ,N_{\mathcal {T}}}$ (куда ${\displaystyle N_{\mathcal {T}}}$ - общее количество тетраэдров) области ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle h}$ - характерная длина элемента триангуляции.^[3]

Представляем две семьи конечномерные подпространства ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{h}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{h}}$, приближения ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ соответственно, и в зависимости от параметра дискретизации ${\displaystyle h}$, с ${\displaystyle \dim {\mathcal {V}}_{h}=N_{V}}$ и ${\displaystyle \dim {\mathcal {Q}}_{h}=N_{Q}}$,^[3]

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{h}\subset {\mathcal {V}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathcal {Q}}_{h}\subset {\mathcal {Q}},}$

Дискретизированная в пространстве задача Галеркина для слабого уравнения НС имеет вид:^[3]

Найдите для всех ${\displaystyle t\in (0,T]}$, ${\displaystyle ({\mathbf {u}}_{h},p_{h})\in \{{\mathcal {V}}_{h}\times {\mathcal {Q}}_{h}\}}$, так что

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {\partial {\mathbf {u}}_{h}}{\partial t}},{\mathbf {v}}_{h}\right)+c({\mathbf {u}}_{h},{\mathbf {u}}_{h},{\mathbf {v}}_{h})+b({\mathbf {u}}_{h},q_{h})-b({\mathbf {v}}_{h},p_{h})+a({\mathbf {u}}_{h},{\mathbf {v}}_{h})=f({\mathbf {v}}_{h})\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall {\mathbf {v}}_{h}\in {\mathcal {V}}_{0h}\;\;,\;\;\forall q_{h}\in {\mathcal {Q}}_{h},\end{aligned}}}$

с ${\displaystyle {\mathbf {u}}_{h}|_{t=0}={\mathbf {u}}_{h,0}}$, куда ${\displaystyle {\mathbf {g}}_{h}}$ это приближение (например, его интерполянт ) из ${\displaystyle {\mathbf {g}}}$, и

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{0h}=\{{\mathbf {v}}_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}{\text{ s.t. }}{\mathbf {v}}_{h}|_{\Gamma _{D}}={\mathbf {0}}\}.}$

Дискретизация по времени пространственно дискретизированной задачи Н.С. Галеркина может быть выполнена, например, с использованием второго порядка Формула обратной дифференциации (BDF2), то есть скрытый второго порядка многоступенчатый метод.^[5] Равномерно делим конечное временной интервал ${\displaystyle [0,T]}$ в ${\displaystyle N_{t}}$ шаг времени размера ${\displaystyle \delta t}$^[3]

${\displaystyle t_{n}=n\delta t,\;\;\;n=0,1,2,\ldots ,N_{t}\;\;\;\;\;N_{t}={\frac {T}{\delta t}}.}$

Для общей функции ${\displaystyle z}$, обозначаемый ${\displaystyle z^{n}}$ как приближение ${\displaystyle z(t_{n})}$. Таким образом, BDF2-аппроксимация производной по времени выглядит следующим образом:^[3]

${\displaystyle \left({\frac {\partial {\mathbf {u}}_{h}}{\partial t}}\right)^{n+1}\simeq {\frac {3{\mathbf {u}}_{h}^{n+1}-4{\mathbf {u}}_{h}^{n}+{\mathbf {u}}_{h}^{n-1}}{2\delta t}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{for }}n\geq 1.}$

Итак, полностью дискретизированная во времени и пространстве задача Н.С. Галеркина:^[3]

Найдите для ${\displaystyle n=0,1,\ldots ,N_{t}-1}$, ${\displaystyle ({\mathbf {u}}_{h}^{n+1},p_{h}^{n+1})\in \{{\mathcal {V}}_{h}\times {\mathcal {Q}}_{h}\}}$, так что

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {3{\mathbf {u}}_{h}^{n+1}-4{\mathbf {u}}_{h}^{n}+{\mathbf {u}}_{h}^{n-1}}{2\delta t}},{\mathbf {v}}_{h}\right)&+c({\mathbf {u}}_{h}^{*},{\mathbf {u}}_{h}^{n+1},{\mathbf {v}}_{h})+b({\mathbf {u}}_{h}^{n+1},q_{h})-b({\mathbf {v}}_{h},p_{h}^{n+1})+a({\mathbf {u}}_{h}^{n+1},{\mathbf {v}}_{h})=f({\mathbf {v}}_{h}),\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall {\mathbf {v}}_{h}\in {\mathcal {V}}_{0h}\;\;,\;\;\forall q_{h}\in {\mathcal {Q}}_{h},\end{aligned}}}$

с ${\displaystyle {\mathbf {u}}_{h}^{0}={\mathbf {u}}_{h,0}}$, и ${\displaystyle {\mathbf {u}}_{h}^{*}}$ это количество, которое будет подробно описано далее в этом разделе.

Основная проблема полностью неявного метода для формулировки Н.С. Галеркина состоит в том, что возникающая проблема все еще остается нелинейный, из-за конвективный член, ${\displaystyle c({\mathbf {u}}_{h}^{*},{\mathbf {u}}_{h}^{n+1},{\mathbf {v}}_{h})}$^[3]. Действительно, если ${\displaystyle {\mathbf {u}}_{h}^{*}={\mathbf {u}}_{h}^{n+1}}$ ставится, такой выбор приводит к решению нелинейной системы (например, с помощью Ньютон или же Фиксированная точка алгоритм) с огромными вычислительными затратами.^[3] Чтобы снизить эту стоимость, можно использовать полунявный подход со вторым порядком экстраполяция для скорости, ${\displaystyle {\mathbf {u}}_{h}^{*}}$, в конвективном члене:^[3]

${\displaystyle {\mathbf {u}}_{h}^{*}=2{\mathbf {u}}_{h}^{n}-{\mathbf {u}}_{h}^{n-1}.}$

Формулировка конечных элементов и условие INF-SUP

Определим пространства конечных элементов (КЭ) непрерывные функции, ${\displaystyle X_{h}^{r}}$ (многочлены степени ${\displaystyle r}$ на каждом элементе ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{i}}$ триангуляции) как^[3]

${\displaystyle X_{h}^{r}=\{v_{h}\in C^{0}({\overline {\Omega }}):v_{h}|_{{\mathcal {T}}_{i}}\in \mathbb {P} _{r}\ \forall {\mathcal {T}}_{i}\in \Omega _{h}\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;r=0,1,2,\ldots ,}$

куда, ${\displaystyle \mathbb {P} _{r}}$ - пространство многочленов степени меньше или равной ${\displaystyle r}$.

Введем формулировку конечных элементов как конкретную задачу Галеркина и выберем ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{h}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{h}}$ в качестве^[3]

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{h}\equiv [X_{h}^{r}]^{3}\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathcal {Q}}_{h}\equiv X_{h}^{s}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;r,s\in \mathbb {N} .}$

Пространства FE ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{h}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{h}}$ необходимо удовлетворить inf-sup условие (или LBB):^[6]

${\displaystyle \exists \beta _{h}>0\;{\text{ s.t. }}\;\inf _{q_{h}\in {\mathcal {Q}}_{h}}\sup _{{\mathbf {v}}_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}}{\frac {b(q_{h},{\mathbf {v}}_{h})}{\Vert {\mathbf {v}}_{h}\Vert _{H^{1}}\Vert q_{h}\Vert _{L^{2}}}}\geq \beta _{h}\;\;\;\;\;\;\;\;\forall h>0,}$

с ${\displaystyle \beta _{h}>0}$, и независимо от сетка размер ${\displaystyle h.}$^[6] Этот свойство необходимо для хорошая поза дискретной задачи и оптимальная сходимость метода.^[6] Примерами FE-пространств, удовлетворяющих условию inf-sup, являются так называемая пара Тейлора-Худа ${\displaystyle \mathbb {P} _{k+1}-\mathbb {P} _{k}}$ (с ${\displaystyle k\geq 1}$), где можно заметить, что пространство скоростей ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{h}}$ должно быть в некотором смысле «богаче» по сравнению с пространством давления ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{h}.}$^[6] Действительно, условие inf-sup связывает пространство ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{h}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{h}}$, и это своего рода условие совместимости между пространствами скоростей и давлений.^[6]

Конечные элементы равного порядка, ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}-\mathbb {P} _{k}}$ (${\displaystyle \forall k}$), не удовлетворяют условию inf-sup и приводят к нестабильности дискретного давления (также называемого паразитным давлением).^[6] Тем не мение, ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}-\mathbb {P} _{k}}$ все еще может использоваться с дополнительными условиями стабилизации, такими как Streamline Upwind Petrov-Galerkin с термином Petrov-Galerkin для стабилизации давления (SUPG-PSPG).^[2][1]

Для вывода FE алгебраическая формулировка полностью дискретизированной задачи Галеркина Н.С., необходимо ввести два основа для дискретных пространств ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{h}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{h}}$^[3]

${\displaystyle \{{\boldsymbol {\phi }}_{i}({\mathbf {x}})\}_{i=1}^{N_{V}}\;\;\;\;\;\;\{\psi _{k}({\mathbf {x}})\}_{k=1}^{N_{Q}},}$

чтобы расширить наши переменные в качестве^[3]

${\displaystyle {\mathbf {u}}_{h}^{n}=\sum _{j=1}^{N_{V}}U_{j}^{n}{\boldsymbol {\phi }}_{j}({\mathbf {x}}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;q_{h}^{n}=\sum _{l=1}^{N_{Q}}P_{l}^{n}\psi _{l}({\mathbf {x}}).}$

В коэффициенты, ${\displaystyle U_{j}^{n}}$ (${\displaystyle j=1,\ldots ,N_{V}}$) и ${\displaystyle P_{l}^{n}}$ (${\displaystyle l=1,\ldots ,N_{Q}}$) называются степени свободы (d.o.f.) конечного элемента для поля скорости и давления соответственно. В измерение пространств FE, ${\displaystyle N_{V}}$ и ${\displaystyle N_{Q}}$, - число d.o.f поля скорости и давления соответственно. Следовательно, общее количество д.о.ф. ${\displaystyle N_{d.o.f}}$ является ${\displaystyle N_{d.o.f}=N_{V}+N_{Q}}$.^[3]

Поскольку полностью дискретизированная задача Галеркина верна для всех элементов пространства ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{h}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{h}}$, то действительно и для основания.^[3] Следовательно, выбирая эти базисные функции в качестве тестовых функций в полностью дискретизированной задаче Н.С. Галеркина, и используя билинейность из ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ и ${\displaystyle b(\cdot ,\cdot )}$, и трилинейность из ${\displaystyle c(\cdot ,\cdot ,\cdot )}$, получается следующая линейная система:^[3]

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle M{\frac {3{\mathbf {U}}^{n+1}-4{\mathbf {U}}^{n}+{\mathbf {U}}^{n-1}}{2\delta t}}+A{\mathbf {U}}^{n+1}+C({\mathbf {U}}^{*}){\mathbf {U}}^{n+1}+\displaystyle {B^{T}{\mathbf {P}}^{n+1}={\mathbf {F}}^{n}}\\\displaystyle {B{\mathbf {U}}^{n+1}={\mathbf {0}}}\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{N_{V}\times N_{V}}}$ , ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{N_{V}\times N_{V}}}$, ${\displaystyle C({\mathbf {U}}^{*})\in \mathbb {R} ^{N_{V}\times N_{V}}}$, ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{N_{Q}\times N_{V}}}$, и ${\displaystyle F\in \mathbb {R} ^{N_{V}}}$ даны^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{ij}=\int _{\Omega }{\boldsymbol {\phi }}_{j}\cdot {\boldsymbol {\phi }}_{i}d\Omega \\&A_{ij}=a({\boldsymbol {\phi }}_{j},{\boldsymbol {\phi }}_{i})\\&C_{ij}({\mathbf {u}}^{*})=c({\mathbf {u}}^{*},{\boldsymbol {\phi }}_{j},{\boldsymbol {\phi }}_{i}),\\&B_{kj}=b({\boldsymbol {\phi }}_{j},\psi _{k}),\\&F_{i}=f({\boldsymbol {\phi }}_{i})\end{aligned}}}$

и ${\displaystyle {\mathbf {U}}}$ и ${\displaystyle {\mathbf {P}}}$ неизвестные векторы^[3]

${\displaystyle {\mathbf {U}}^{n}={\Big (}U_{1}^{n},\ldots ,U_{N_{V}}^{n}{\Big )}^{T},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {P}}^{n}={\Big (}P_{1}^{n},\ldots ,P_{N_{Q}}^{n}{\Big )}^{T}.}$

Задача завершается начальным условием на скорость ${\displaystyle {\mathbf {U}}(0)={\mathbf {U}}_{0}}$. Более того, с помощью полунявного обращения ${\displaystyle {\mathbf {U}}^{*}=2{\mathbf {U}}^{n}-{\mathbf {U}}^{n-1}}$, трехлинейный член ${\displaystyle c(\cdot ,\cdot ,\cdot )}$ становится билинейным, и соответствующий матрица является^[3]

${\displaystyle C_{ij}=c({\mathbf {u}}^{*},{\boldsymbol {\phi }}_{j},{\boldsymbol {\phi }}_{i})=\int _{\Omega }({\mathbf {u}}^{*}\cdot \nabla ){\boldsymbol {\phi }}_{j}\cdot {\boldsymbol {\phi }}_{i}\,d\Omega ,}$

Следовательно линейная система можно записать в одном монолитный матрица (${\displaystyle \Sigma }$, также называемая монолитной матрицей НС) вида^[3]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}K&B^{T}\\B&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}{\mathbf {U}}^{n+1}\\{\mathbf {P}}^{n+1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\mathbf {F}}^{n}+{\frac {1}{2\delta t}}M(4{\mathbf {U}}^{n}-{\mathbf {U}}^{n-1})\\{\mathbf {0}}\end{matrix}}\right],\;\;\;\;\;\Sigma =\left[{\begin{matrix}K&B^{T}\\B&0\end{matrix}}\right].}$

куда ${\displaystyle K={\frac {3}{2\delta t}}M+A+C(U^{*})}$.

Обтекаемая против ветра формулировка Петрова Галеркина для уравнений Навье – Стокса несжимаемой жидкости

Уравнения НС с формулировкой методом конечных элементов страдают двумя источниками численной нестабильности, так как:

• NS - это проблема с преобладанием конвекции, что означает "большой" ${\displaystyle Re}$, где возможны числовые колебания поля скорости (паразитная скорость);
• FE пространства ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}-\mathbb {P} _{k}(\forall k)}$ представляют собой неустойчивые комбинации пространств конечных элементов скорости и давления, которые не удовлетворяют условию inf-sup и генерируют числовые колебания в поле давления (паразитное давление).

Для управления нестабильностями, возникающими из-за условий притока и преобладания конвекции, в формулировку Н.С. Галеркина можно добавить стабилизацию давления Петрова-Галеркина (PSPG) вместе со стабилизацией по потоку-против ветра по Петрову-Галеркину (SUPG).^[1]

${\displaystyle s({\mathbf {u}}_{h}^{n+1},p_{h}^{n+1};{\mathbf {v}}_{h},q_{h})=\gamma \sum _{{\mathcal {T}}\in \Omega _{h}}\tau _{\mathcal {T}}\int _{\mathcal {T}}\left[{\mathcal {L}}({\mathbf {u}}_{h}^{n+1},p^{n+1})\right]^{T}{\mathcal {L}}_{ss}({\mathbf {v}}_{h},q_{h})d{\mathcal {T}},}$

куда ${\displaystyle \gamma >0}$ положительная константа, ${\displaystyle \tau _{\mathcal {T}}}$ - параметр стабилизации, ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ общий тетраэдр, принадлежащий конечным элементам разделенный домен ${\displaystyle \Omega _{h}}$, ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathbf {u}},p)}$ - невязка уравнений НС.^[1]

${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathbf {u}},p)=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial {\mathbf {u}}}{\partial t}}+({\mathbf {u}}\cdot \nabla ){\mathbf {u}}+\nabla p-2\nu \nabla \cdot {\mathbf {S}}({\mathbf {u}})\\\nabla \cdot {\mathbf {u}}\end{matrix}}\right],}$

и ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{ss}({\mathbf {u}},p)}$ - кососимметричная часть уравнений НС^[1]

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{ss}({\mathbf {u}},p)=\left[{\begin{matrix}({\mathbf {u}}\cdot \nabla ){\mathbf {u}}+\nabla p\\{\mathbf {0}}\end{matrix}}\right].}$

Кососимметричная часть оператора общего положения ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathbf {u}},p)}$ тот, для которого ${\displaystyle {\Bigl (}{\mathcal {L}}({\mathbf {u}},p),({\mathbf {v}},q){\Bigr )}=-{\Bigl (}({\mathbf {v}},q),{\mathcal {L}}({\mathbf {u}},p){\Bigr )}.}$^[5]

Поскольку он основан на невязке уравнений НС, SUPG-PSPG является строго последовательный метод стабилизации.^[1]

Дискретизированная конечно-элементная формулировка Галеркина со стабилизацией SUPG-PSPG может быть записана как:^[1]

Найдите для всех ${\displaystyle t=0,1,\ldots ,N_{t}-1,}$ ${\displaystyle ({\mathbf {u}}_{h}^{n+1},p_{h}^{n+1})\in \{{\mathcal {V}}_{h}\times {\mathcal {Q}}_{h}\}}$, так что

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {3{\mathbf {u}}_{h}^{n+1}-4{\mathbf {u}}_{h}^{n}+{\mathbf {u}}_{h}^{n-1}}{2\delta t}},{\mathbf {v}}_{h}\right)+c({\mathbf {u}}_{h}^{*},{\mathbf {u}}_{h}^{n+1},{\mathbf {v}}_{h})+b({\mathbf {u}}_{h}^{n+1},q_{h})-b({\mathbf {v}}_{h},p_{h}^{n+1})\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+a({\mathbf {u}}_{h}^{n+1},{\mathbf {v}}_{h})+s({\mathbf {u}}_{h}^{n+1},p_{h}^{n+1};{\mathbf {v}}_{h},q_{h})=0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall {\mathbf {v}}_{h}\in {\mathcal {V}}_{0h}\;\;,\;\;\forall q_{h}\in {\mathcal {Q}}_{h},\end{aligned}}}$

с ${\displaystyle {\mathbf {u}}_{h}^{0}={\mathbf {u}}_{h,0}}$, куда^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}s({\mathbf {u}}_{h}^{n+1},p_{h}^{n+1};{\mathbf {v}}_{h},q_{h})&=\gamma \sum _{{\mathcal {T}}\in \Omega _{h}}\tau _{M,{\mathcal {T}}}\left({\frac {3{\mathbf {u}}_{h}^{n+1}-4{\mathbf {u}}_{h}^{n}+{\mathbf {u}}_{h}^{n-1}}{2\delta t}}+({\mathbf {u}}_{h}^{*}\cdot \nabla ){\mathbf {u}}_{h}^{n+1}+\nabla p_{h}^{n+1}+\right.\\&\left.-2\nu \nabla \cdot {\mathbf {S}}({\mathbf {u}}_{h}^{n+1})\;{\boldsymbol {,}}\;u_{h}^{*}\cdot \nabla {\mathbf {v}}_{h}+{\frac {\nabla q_{h}}{\rho }}\right)_{\mathcal {T}}+\gamma \sum _{{\mathcal {T}}\in \Omega _{h}}\tau _{C,{\mathcal {T}}}\left(\nabla \cdot {\mathbf {u}}_{h}^{n+1}{\boldsymbol {,}}\;\nabla \cdot {\mathbf {v}}_{h}\right)_{\mathcal {T}},\end{aligned}}}$

и ${\displaystyle \tau _{M,{\mathcal {T}}}}$, и ${\displaystyle \tau _{C,{\mathcal {T}}}}$ - два параметра стабилизации для уравнения НС импульса и неразрывности соответственно. Кроме того, обозначения ${\displaystyle \left(a{\boldsymbol {,}}\;b\right)_{\mathcal {T}}=\int _{\mathcal {T}}ab\;d{\mathcal {T}}}$ был введен, и ${\displaystyle {\mathbf {u}}_{h}^{*}}$ был определен в соответствии с полу-неявной трактовкой конвективного члена.^[1]

В предыдущем выражении ${\displaystyle s\left(\cdot ;\cdot \right)}$, период, термин ${\displaystyle \sum _{{\mathcal {T}}\in \Omega _{h}}\tau _{M,{\mathcal {T}}}\left(\nabla p_{h}^{n+1}{\boldsymbol {,}}\;{\frac {\nabla q_{h}}{\rho }}\right)_{\mathcal {T}},}$ - стабилизация Брецци-Питкаранты для inf-sup, а член${\displaystyle \sum _{{\mathcal {T}}\in \Omega _{h}}\tau _{M,{\mathcal {T}}}\left(u_{h}^{*}\cdot \nabla {\mathbf {u}}_{h}^{n+1}{\boldsymbol {,}}\;u_{h}^{*}\cdot \nabla {\mathbf {v}}_{h}\right)_{\mathcal {T}},}$соответствует стабилизации диффузионного члена при больших ${\displaystyle Re}$.^[1] Остальные члены используются для получения сильно согласованной стабилизации.^[1]

По поводу выбора параметров стабилизации ${\displaystyle \tau _{M,{\mathcal {T}}}}$, и ${\displaystyle \tau _{C,{\mathcal {T}}}}$:^[2]

${\displaystyle \tau _{M,{\mathcal {T}}}=\left({\frac {\sigma _{BDF}^{2}}{\delta t^{2}}}+{\frac {\Vert {\mathbf {u}}\Vert ^{2}}{h_{\mathcal {T}}^{2}}}+C_{k}{\frac {\nu ^{2}}{h_{\mathcal {T}}^{4}}}\right)^{-1/2},\;\;\;\;\;\tau _{C,{\mathcal {T}}}={\frac {h_{\mathcal {T}}^{2}}{\tau _{M,{\mathcal {T}}}}},}$

куда: ${\displaystyle C_{k}=60\cdot 2^{k-2}}$ константа, полученная обратной неравенство отношение (и ${\displaystyle k}$ порядок выбранной пары ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}-\mathbb {P} _{k}}$); ${\displaystyle \sigma _{BDF}}$ - постоянная, равная порядку дискретизации по времени; ${\displaystyle \delta t}$ шаг по времени; ${\displaystyle h_{\mathcal {T}}}$ - «длина элемента» (например, диаметр элемента) общих тетраэдров, принадлежащих разбитой области. ${\displaystyle \Omega _{h}}$. ^[7] Параметры ${\displaystyle \tau _{M,{\mathcal {T}}}}$ и ${\displaystyle \tau _{C,{\mathcal {T}}}}$ может быть получен многомерным обобщением оптимальный значение введено в^[8] для одномерного случая.^[9]

Обратите внимание, что члены, добавленные стабилизацией SUPG-PSPG, могут быть явно записаны следующим образом^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{11}^{(1)}={\biggl (}{\frac {3}{2}}{\frac {{\mathbf {u}}_{h}^{n+1}}{\delta t}}\;{\boldsymbol {,}}\;{\mathbf {u}}_{h}^{*}\cdot \nabla {\mathbf {v}}_{h}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\;\;\;\;&\;\;\;\;s_{21}^{(1)}={\biggl (}{\frac {3}{2}}{\frac {{\mathbf {u}}_{h}^{n+1}}{\delta t}}\;{\boldsymbol {,}}\;{\frac {\nabla q_{h}}{\rho }}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\\s_{11}^{(2)}={\biggl (}{\mathbf {u}}_{h}^{*}\cdot \nabla {\mathbf {u}}_{h}^{n+1}\;{\boldsymbol {,}}\;{\mathbf {u}}_{h}^{*}\cdot \nabla {\mathbf {v}}_{h}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\;\;\;\;&\;\;\;\;s_{21}^{(2)}={\biggl (}{\mathbf {u}}_{h}^{*}\cdot \nabla {\mathbf {u}}_{h}^{n+1}\;{\boldsymbol {,}}\;{\frac {\nabla q_{h}}{\rho }}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\\s_{11}^{(3)}={\biggl (}-2\nu \nabla \cdot {\mathbf {S}}&({\mathbf {u}}_{h}^{n+1})\;{\boldsymbol {,}}\;{\mathbf {u}}_{h}^{*}\cdot \nabla {\mathbf {v}}_{h}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\\s_{21}^{(3)}={\biggl (}-2\nu \nabla \cdot {\mathbf {S}}&({\mathbf {u}}_{h}^{n+1})\;{\boldsymbol {,}}\;{\frac {\nabla q_{h}}{\rho }}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\\s_{11}^{(3)}={\biggl (}-2\nu \nabla \cdot {\mathbf {S}}&({\mathbf {u}}_{h}^{n+1})\;{\boldsymbol {,}}\;{\mathbf {u}}_{h}^{*}\cdot \nabla {\mathbf {v}}_{h}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\\s_{21}^{(3)}={\biggl (}-2\nu \nabla \cdot {\mathbf {S}}&({\mathbf {u}}_{h}^{n+1})\;{\boldsymbol {,}}\;{\frac {\nabla q_{h}}{\rho }}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\\s_{11}^{(4)}={\biggl (}\nabla \cdot {\mathbf {u}}_{h}^{n+1}\;{\boldsymbol {,}}&\;\nabla {\mathbf {\cdot }}{\mathbf {v}}_{h}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{12}={\biggl (}\nabla p_{h}\;{\boldsymbol {,}}\;{\mathbf {u}}_{h}^{*}\cdot \nabla {\mathbf {v}}_{h}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\;\;\;\;&\;\;\;\;s_{22}={\biggl (}\nabla p_{h}\;{\boldsymbol {,}}\;{\frac {\nabla q_{h}}{\rho }}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\\f_{v}={\biggl (}{\frac {4{\mathbf {u}}_{h}^{n}-{\mathbf {u}}_{h}^{n-1}}{2\delta t}}\;{\boldsymbol {,}}\;{\mathbf {u}}_{h}^{*}\cdot \nabla {\mathbf {v}}_{h}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\;\;\;\;&\;\;\;\;f_{q}={\biggl (}{\frac {4{\mathbf {u}}_{h}^{n}-{\mathbf {u}}_{h}^{n-1}}{2\delta t}}\;{\boldsymbol {,}}\;{\frac {\nabla q_{h}}{\rho }}{\biggr )}_{\mathcal {T}},\end{aligned}}}$

где для наглядности сумма по тетраэдрам была опущена: все члены следует понимать как ${\displaystyle s_{(I,J)}^{(n)}=\sum _{{\mathcal {T}}\in \Omega _{h}}\tau _{\mathcal {T}}\left(\;.\;{\boldsymbol {,}}\;.\;\right)_{\mathcal {T}}}$; кроме того, индексы ${\displaystyle I,J}$ в ${\displaystyle s_{(I,J)}^{(n)}}$ относятся к положению соответствующего члена в монолитной матрице NS, ${\displaystyle \Sigma }$, и ${\displaystyle n}$ различает различные термины внутри каждого блока^[2]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\Sigma _{11}&\Sigma _{12}\\\Sigma _{21}&\Sigma _{22}\end{matrix}}\right]\Longrightarrow \left[{\begin{matrix}s_{(11)}^{(1)}+s_{(11)}^{(2)}+s_{(11)}^{(3)}+s_{(11)}^{(4)}&s_{(12)}\\s_{(21)}^{(1)}+s_{(21)}^{(2)}+s_{(21)}^{(3)}&s_{(22)}\end{matrix}}\right],}$

Таким образом, монолитная система NS со стабилизацией SUPG-PSPG становится^[2]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\ {\tilde {K}}&B^{T}+S_{12}^{T}\\{\widetilde {B}}&S_{22}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}{\mathbf {U}}^{n+1}\\{\mathbf {P}}^{n+1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\ {\mathbf {F}}^{n}+{\frac {1}{2\delta t}}M(4{\mathbf {U}}^{n}-{\mathbf {U}}^{n-1})+{\mathbf {F}}_{v}\\{\mathbf {F}}_{q}\end{matrix}}\right],}$

куда ${\displaystyle {\tilde {K}}=K+\sum \limits _{i=1}^{4}S_{11}^{(i)}}$, и ${\displaystyle {\tilde {B}}=B+\sum \limits _{i=1}^{3}S_{21}^{(i)}}$.

Хорошо известно, что стабилизация SUPG-PSPG не демонстрирует чрезмерной числовой диффузии, если хотя бы элементы скорости второго порядка и элементы давления первого порядка (${\displaystyle \mathbb {P} _{2}-\mathbb {P} _{1}}$) используются.^[8]

Рекомендации

1. Тездуяр, Т. (1 января 1991 г.). «Стабилизированные составы конечных элементов для расчетов несжимаемых потоков † † Это исследование спонсировалось Космическим центром NASA-Johnson (в рамках гранта NAG 9-449), NSF (в рамках гранта MSM-8796352), Армией США (по контракту DAAL03-89-C- 0038) и Парижский университет VI ». Успехи прикладной механики. Эльзевир. 28: 1–44. Дои:10.1016 / S0065-2156 (08) 70153-4.
2. Тобиска, Лутц; Любе, Герт (1 декабря 1991 г.). «Модифицированный метод диффузии линий тока для решения стационарного уравнения Навье – Стокса». Numerische Mathematik. 59 (1): 13–29. Дои:10.1007 / BF01385768. ISSN  0945-3245.
3. Quarteroni, Альфио (2014). Численные модели для дифференциальных задач. (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  9788847058835.
4. Поуп, Стивен Б. (2000). Турбулентные потоки Стивена Б. Поупа.
5. Quarteroni, Alfio; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2007). Вычислительная математика (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  9783540346586.
6. Брецци, Франко; Фортин, Мишель (1991). Смешанные и гибридные методы конечных элементов (PDF). Серия Спрингера в вычислительной математике. 15. Дои:10.1007/978-1-4612-3172-1. ISBN  978-1-4612-7824-5.
7. Форти, Давиде; Деде, Лука (август 2015). "Полунеявная дискретизация по времени BDF уравнений Навье – Стокса с моделированием VMS-LES в среде высокопроизводительных вычислений". Компьютеры и жидкости. 117: 168–182. Дои:10.1016 / j.compfluid.2015.05.011.
8. Ши, Ромпин; Ray, S.E .; Миттал, Санджай; Тездуяр, Т. Э. (1992). «Расчет течения несжимаемой жидкости с использованием стабилизированных билинейных и линейных элементов скорость-давление с одинаковой интерполяцией». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 95 (2): 221. Bibcode:1992CMAME..95..221T. Дои:10.1016/0045-7825(92)90141-6.
9. Kler, Pablo A .; Dalcin, Lisandro D .; Paz, Rodrigo R .; Тездуяр, Тайфун Э. (1 февраля 2013 г.). «SUPG и методы захвата разрывов для связанных задач механики жидкости и электрохимического переноса». Вычислительная механика. 51 (2): 171–185. Bibcode:2013CompM..51..171K. Дои:10.1007 / s00466-012-0712-z. ISSN  1432-0924.