Теорема Штарка – Хегнера. - Stark–Heegner theorem

В теория чисел, то Теорема Бейкера – Хегнера – Штарка.[1] точно указано, какие поля квадратичных мнимых чисел признавать уникальная факторизация в их кольцо целых чисел. Он решает частный случай теории Гаусса. проблема номера класса определения числа мнимых квадратичных полей, которые имеют заданную фиксированную номер класса.

Позволять Q обозначим множество рациональное число, и разреши d быть неквадратом целое число. потом Q(√d) это конечное расширение из Q степени 2, называемой квадратичным расширением. В номер класса из Q(√d) - количество классы эквивалентности из идеалы кольца целых чисел Q(√d), где два идеала я и J эквивалентны если и только если существуют главные идеалы (а) и (б) такой, что (а)я = (б)J. Таким образом, кольцо целых чисел Q(√d) это главная идеальная область (и, следовательно, уникальная область факторизации ) тогда и только тогда, когда число классов Q(√d) равно 1. Теорема Бейкера – Хегнера – Штарка может быть сформулирована следующим образом:

Если d <0, то номер класса Q(√d) равно 1 тогда и только тогда, когда

Они известны как Числа Хегнера.

Этот список также записывается с заменой −1 на −4 и −2 на −8 (что не меняет поле), как:[2]

где D интерпретируется как дискриминант (любой из числовое поле или из эллиптическая кривая с участием комплексное умножение ). Это более стандартно, так как D тогда фундаментальные дискриминанты.

История

Этот результат был впервые высказан Гаусс в разделе 303 его Disquisitiones Arithmeticae (1798). Это было существенно доказано Курт Хегнер в 1952 г., но в доказательстве Хегнера были небольшие пробелы, и теорема не была принята до тех пор, пока Гарольд Старк дал полное доказательство в 1967 году, которое имело много общего с работами Хегнера, но достаточно много различий, чтобы Старк считал доказательства разными.[3] Хегнер «умер прежде, чем кто-либо действительно понял, что он сделал».[4] Штарк формально заполнил пробел в доказательстве Хегнера в 1969 году (в других современных работах приводились различные аналогичные доказательства с помощью модулярных функций, но Старк сосредоточился на явном заполнении пробела Хегнера).[5]

Алан Бейкер дал совершенно другое доказательство немного раньше (1966 г.), чем работа Старка (или, точнее, Бейкер свел результат к конечному количеству вычислений, причем работа Старка в его диссертации 1963/4 г. уже обеспечивала это вычисление), и выиграл Медаль Филдса за его методы. Позднее Старк указал, что доказательство Бейкера, использующее линейные формы от 3 логарифмов, может быть сведено только к 2 логарифмам, тогда как результат был известен еще с 1949 года Гельфондом и Линником.[6]

Статья Старка 1969 г. (Старк 1969a ) также процитировал текст 1895 г. Генрих Мартин Вебер и отметил, что если бы Вебер «только заметил, что сводимость [определенного уравнения] привела бы к Диофантово уравнение, проблема номер один была бы решена 60 лет назад ». Брайан Берч отмечает, что книга Вебера и, по сути, вся область модульных функций перестала быть интересной на полвека: «К сожалению, в 1952 году не осталось никого, кто достаточно разбирался в теории Вебера. Алгебра чтобы оценить достижения Хегнера ".[7]

Дойринг, Сигель и Чоула дали несколько вариативные доказательства модульные функции в первые годы после Старка.[8] Другие версии в этом жанре также появлялись с годами. Например, в 1985 году Монсур Кенку дал доказательство, используя Кляйн квартика (хотя опять же с использованием модульных функций).[9] И снова, в 1999 году Имин Чен дал еще одно доказательство варианта с помощью модульных функций (следуя схеме Сигеля).[10]

Работа Гросса и Загира (1986) (Гросс и Загье 1986 ) в сочетании с доказательством Голдфельда (1976) также дает альтернативное доказательство.[11]

Реальный случай

С другой стороны, неизвестно, бесконечно ли много d > 0, для которого Q(√d) имеет класс номер 1. Результаты расчетов показывают, что таких полей много. Числовые поля с классом номер один предоставляет список некоторых из них.

Заметки

  1. ^ Лось (1999) называет это теоремой Штарка – Хегнера (аналог точек Старка – Хегнера, как на стр. xiii Дармон (2004) ), но отсутствие имени Бейкера нетипично. Чоула (1970) безвозмездно добавляет Дойринга и Сигеля в название своей статьи.
  2. ^ Лось (1999), п. 93.
  3. ^ Старк (2011) стр.42
  4. ^ Гольдфельд (1985).
  5. ^ Старк (1969a)
  6. ^ Старк (1969b)
  7. ^ Береза ​​(2004)
  8. ^ Чоула (1970)
  9. ^ Кенку (1985).
  10. ^ Чен (1999)
  11. ^ Гольдфельд (1985)

использованная литература