Фундаментальный дискриминант - Fundamental discriminant

В математика, а основной дискриминант D является целое число инвариантный в теории интеграл двоичный квадратичные формы. Если Q(Икс, у) = топор² + bxy + Сай² - квадратичная форма с целыми коэффициентами, то D = б² − 4ac это дискриминант из Q(Икс, у). И наоборот, каждое целое число D с D ≡ 0, 1 (мод. 4) - дискриминант некоторой двоичной квадратичной формы с целыми коэффициентами. Таким образом, все такие целые числа называются дискриминанты в этой теории.

Есть явные соответствие условия, которые дают набор фундаментальных дискриминантов. Конкретно, D является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих утверждений

• D ≡ 1 (mod 4) и является без квадратов,
• D = 4м, куда м ≡ 2 или 3 (мод. 4) и м без квадратов.

Первые десять положительных фундаментальных дискриминантов:

1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33 (последовательность A003658 в OEIS ).

Первые десять отрицательных фундаментальных дискриминантов:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (последовательность A003657 в OEIS ).

Связь с квадратичными полями

Существует связь между теорией целочисленных бинарных квадратичных форм и арифметикой поля квадратичных чисел. Основное свойство этой связи состоит в том, что D₀ является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда D₀ = 1 или D₀ это дискриминант поля квадратичных чисел. Для каждого фундаментального дискриминанта существует ровно одно квадратичное поле D₀ ≠ 1, до изоморфизм.

Осторожность: Это причина, по которой некоторые авторы считают 1 не фундаментальным дискриминантом. Можно интерпретировать D₀ = 1 как вырожденное "квадратичное" поле Q (в рациональное число ).

Факторизация

Фундаментальные дискриминанты также можно охарактеризовать разложение на положительные и отрицательные простые степени. Определить набор

${\displaystyle S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,\;\ldots \}}$

где простые числа 1 (mod 4) положительные, а ≡ 3 (mod 4) - отрицательные. Затем число D₀ ≠ 1 является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда он является произведением попарно взаимно простое Члены S.

Рекомендации

• Анри Коэн (1993). Курс вычислительной алгебраической теории чисел. Тексты для выпускников по математике. 138. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-55640-0. МИСТЕР  1228206.
• Дункан Бьюэлл (1989). Бинарные квадратичные формы: классическая теория и современные вычисления. Springer-Verlag. п.69. ISBN  0-387-97037-1.
• Дон Загир (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-10603-6.

Смотрите также

• Квадратичное целое число