Стандартное пространство Бореля - Standard Borel space

В математика, а стандартное борелевское пространство это Борелевское пространство связано с Польское пространство. Не считая борелевских пространств дискретных польских пространств, существует только одно стандартное борелевское пространство с точностью до изоморфизма измеримых пространств.

Формальное определение

А измеримое пространство (Икс, Σ) называется "стандартным борелевским", если существует метрика на Икс что делает его полный отделяемый метрическое пространство таким образом, что Σ тогда является борелевской σ-алгеброй.^[1]Стандартные борелевские пространства обладают несколькими полезными свойствами, которые не выполняются для общих измеримых пространств.

Характеристики

• Если (Икс, Σ) и (Y, Τ) являются стандартными борелевскими, то любые биективные измеримое отображение ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} )}$ является изоморфизмом (т.е. обратное отображение также измеримо). Это следует из Теорема Суслина, как набор, который одновременно аналитический и коаналитический обязательно борелевский.
• Если (Икс, Σ) и (Y, Τ) стандартные борелевские пространства и ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ тогда ж измеримо тогда и только тогда, когда график ж это Борель.
• Произведение и прямое объединение счетного семейства стандартных борелевских пространств стандартны.
• Каждый полный вероятностная мера на стандартном борелевском пространстве превращает его в стандартное вероятностное пространство.

Теорема Куратовского

Теорема. Позволять Икс быть Польское пространство, то есть топологическое пространство такое, что существует метрика d на Икс что определяет топологию Икс и это делает Икс полное сепарабельное метрическое пространство. потом Икс как борелевское пространство Борелевский изоморфный к одному из (1) р, (2) Z или (3) конечное пространство. (Этот результат напоминает Теорема Махарама.)

Отсюда следует, что стандартное борелевское пространство с точностью до изоморфизма характеризуется своей мощностью:^[2] и что любое несчетное стандартное борелевское пространство имеет мощность континуума.

Борелевские изоморфизмы на стандартных борелевских пространствах аналогичны гомеоморфизмы на топологические пространства: оба биективны и замкнуты относительно композиции, а гомеоморфизм и его обратный непрерывный, вместо того, чтобы оба измерить только по Борелю.

Рекомендации

1. Макки, Г. (1957): Борелевская структура в группах и их двойниках. Пер. Являюсь. Математика. Soc., 85, 134–165.
2. Шривастава, С. (1991), Курс борелевских множеств, Springer Verlag, ISBN  0-387-98412-7