Теорема Зонненшайна – Мантеля – Дебре - Sonnenschein–Mantel–Debreu theorem

В Теорема Зонненшайна – Мантеля – Дебре важный результат в общее равновесие экономика, доказано Жерар Дебре, Рольф Мантел [es ], и Хьюго Ф. Зонненшайн в 1970-е гг.^[1][2][3][4] В нем говорится, что кривая избыточного спроса для рынка, населенного максимизация полезности рациональные агенты может принимать форму любого функция это непрерывный, имеет степень однородности ноль, и соответствует Закон Вальраса.^[5] Это означает, что рыночные процессы не обязательно достигнут уникального и стабильного равновесие точка.^[6]

Совсем недавно Жорди Андреу, Пьер-Андре Чиаппори и Ивар Экеланд распространил этот результат на рынок кривые спроса, как для отдельных товаров, так и для совокупный спрос экономики в целом.^{[7][8][9][10][примечание 1]} Это означает, что кривые спроса могут принимать очень неправильную форму, даже если все отдельные участники рынка совершенно рациональны. В отличие от обычных предположений, количество спроса на товар не может уменьшаться при повышении цены. Фрэнк Хан расценил теорему как опасную критику основного направления неоклассическая экономика.^[11]

История доказательства

Концепция функция избыточного спроса важен в теориях общего равновесия, потому что он действует как сигнал для рынка, чтобы скорректировать цены.^[12] Если значение функции избыточного спроса положительно, значит, требуется больше единиц товара, чем может быть поставлено; Существует нехватка. Если избыточный спрос отрицательный, то поставляется больше единиц, чем требуется; Существует перенасыщение. Предполагается, что скорость изменения цен будет пропорциональна избыточному спросу, так что корректировка цен в конечном итоге приведет к состоянию равновесия, в котором избыточный спрос на все товары равен нулю.^[13]

В 1970-е годы экономисты-математики усердно работали над установлением строгих микрооснования для широко используемых моделей равновесия на основе предположения, что индивиды являются рациональными агентами, максимизирующими полезность («гипотеза полезности»). Уже было известно, что это предположение накладывает определенные жесткие ограничения на функции избыточного спроса для физических лиц (непрерывность и Закон Вальраса ), и что эти ограничения были «унаследованы» функцией рыночного избыточного спроса. В статье 1973 года Хьюго Зонненшайн поставил вопрос о том, были ли они Только ограничения, которые могут быть наложены на функцию избыточного спроса на рынке.^[2] Он предположил, что ответ был «да», и сделал предварительные шаги для его доказательства. Эти результаты были расширены Рольфом Мантелом,^[3] а затем Жераром Дебре в 1974 г.^[4] который доказал, что до тех пор, пока на рынке присутствует по крайней мере столько же агентов, сколько и товаров, функция рыночного избыточного спроса наследует только следующие свойства индивидуальных функций избыточного спроса:

• Непрерывность
• Однородность нулевой степени,
• Закон Вальраса, и
• А граничное условие обеспечение того, чтобы по мере приближения цены к нулю спрос не уходил в бесконечность.

Этих унаследованных свойств недостаточно, чтобы гарантировать, что кривая избыточного спроса имеет наклон вниз, как это обычно предполагается. Также не гарантируется единственность точки равновесия. Может быть более одной цены вектор при котором функция избыточного спроса равна нулю, что является стандартным определением равновесия в данном контексте.^[13]

Дальнейшие разработки

После этих первоначальных публикаций несколько ученых расширили первоначальные результаты Зонненшайна-Мантеля-Дебре различными способами. В статье 1976 года Рольф Мантел показал, что теорема все еще верна, даже если добавить очень сильное предположение, что все потребители имеют гомотетические предпочтения.^[14] Это означает, что полезность то, что потребители назначают товар, всегда будет точно пропорционально количеству предлагаемого товара; например, один миллион апельсинов будет стоить ровно в миллион раз больше, чем один апельсин. Кроме того, Алан Кирман и Карл-Йозеф Кох доказали в 1986 году, что теорема SMD все еще верна, даже если предполагается, что все агенты имеют идентичный предпочтения, и предполагается, что распределение доходов фиксировано во времени и не зависит от цен.^[15] Единственное недопустимое распределение доходов - это равномерное распределение, при котором все люди имеют одинаковый доход и, следовательно, поскольку они имеют одинаковые предпочтения, все они идентичны.^[16]

Некоторое время было неясно, применимы ли результаты в стиле SMD к рынку. кривая спроса сама по себе, а не только кривая избыточного спроса. Но в 1982 году Хорди Андреу установил важный предварительный результат, предполагающий, что это действительно так:^[9] а в 1999 году Пьер-Андре Чиаппори и Ивар Экеланд использовал векторное исчисление чтобы доказать, что результаты Sonnenschein – Mantel – Debreu действительно применимы к кривой рыночного спроса.^[7][8][17] Это означает, что кривые рыночного спроса могут принимать крайне неправильные формы, в отличие от моделей из учебников, даже если все индивидуальные агенты на рынке совершенно рациональны.

Значимость

В книге 1982 г. Справочник по математической экономике, Хьюго Зонненшайн объяснил некоторые следствия своей теоремы для общей теории равновесия:

Возможная кривая рыночного спроса по результатам Sonnenschein – Mantel – Debreu

… Функции рыночного спроса никоим образом не должны удовлетворять классическим ограничениям, которые характеризуют функции потребительского спроса… Важность приведенных выше результатов очевидна: необходимы строгие ограничения, чтобы оправдать гипотезу о том, что функция рыночного спроса имеет характеристики потребительского спроса функция. Только в особых случаях можно ожидать, что экономика будет действовать как «идеализированный потребитель». гипотеза полезности ничего не говорит нам о рыночном спросе, если к нему не добавляются дополнительные требования.^[18]

Другими словами, нельзя предположить, что кривая спроса для отдельного рынка, не говоря уже о всей экономике, должна иметь плавный нисходящий наклон просто потому, что кривые спроса отдельных потребителей имеют нисходящий наклон. Это пример более общего проблема агрегирования, в котором рассматривается теоретическая сложность моделирования поведения больших групп людей так же, как моделируется индивидуум.^[19]

Фрэнк Акерман указывает, что это следствие Sonnenschein – Mantel – Debreu, что Вальрасовский аукцион не всегда найдет уникальное и устойчивое равновесие даже в идеальных условиях:

При вальрасовском общем равновесии цены корректируются через tâtonnement («ощупью»): скорость изменения цены любого товара пропорциональна избыточный спрос для товара, и торговля не проводится до тех пор, пока не будут достигнуты равновесные цены. Это может быть нереалистично, но это математически поддается обработке: это заставляет движение цен на каждый товар зависеть только от информации об этом товаре. К сожалению, как показывает теорема SMD, tâtonnement надежно не приводит к достижению равновесия.^[6]

Леон Вальрас 'аукционная модель требует, чтобы цена товара всегда повышалась в ответ на избыточный спрос и чтобы она всегда снижалась в ответ на перенасыщение. Но SMD показывает, что так будет не всегда, потому что функция избыточного спроса не обязательно иметь равномерный наклон вниз.^[13]

Теорема также вызвала беспокойство по поводу фальсифицируемость из теория общего равновесия, потому что это, кажется, подразумевает, что почти любой наблюдаемый образец рыночных цен и количественных данных может быть интерпретирован как результат индивидуального поведения, направленного на максимизацию полезности. Другими словами, Sonnenschein – Mantel – Debreu поднимает вопросы о том, в какой степени теория общего равновесия может давать проверяемые прогнозы относительно совокупных рыночных переменных.^[20][21] Именно по этой причине, Андреу Мас-Колелл называл эту теорему «теоремой о чем угодно» в своем аспирантуре. микроэкономика учебник.^[21] Некоторые экономисты предпринимали попытки решить эту проблему с Дональдом Брауном и Роза Мацкин получение некоторых многочлен ограничения на рыночные переменные путем моделирования состояния равновесия рынка как топологический многообразие.^[22] Однако Абу Тураб Ризви комментирует, что этот результат практически не сильно меняет ситуацию, поскольку ограничения Брауна и Мацкина сформулированы на основе наблюдений за бюджетными ограничениями и доходами на индивидуальном уровне, в то время как модели общего равновесия призваны объяснить изменения в совокупном рынке -уровневые данные.^[23]

Результаты Sonnenschein – Mantel – Debreu привели некоторых экономистов, таких как Вернер Хильденбранд, чтобы отказаться от проекта объяснения характеристик кривой рыночного спроса на основе индивидуальной рациональности. Вместо этого эти авторы пытаются объяснить закон спроса с точки зрения организации общества в целом и, в частности, распределения доходов.^[24][25]

Объяснение

С математической точки зрения, количество уравнений, составляющих функцию рыночного избыточного спроса, равно количеству отдельных функций избыточного спроса, которое, в свою очередь, равно количеству цен, для которых необходимо решить. По закону Вальраса, если все избыточные требования, кроме одного, равны нулю, то последнее также должно быть нулевым. Это означает, что существует одно избыточное уравнение, и мы можем нормализовать одну из цен или комбинацию всех цен (другими словами, определяются только относительные цены, а не абсолютный уровень цен). После этого количество уравнений равняется количеству неизвестных, и мы получаем детерминированную систему. Однако, поскольку уравнения нелинейный нет гарантии уникального решения. Более того, хотя разумные допущения могут гарантировать, что отдельные функции избыточного спроса имеют уникальный корень, эти допущения не гарантируют, что совокупный спрос будет иметь такой же корень.

Следует отметить несколько моментов. Во-первых, даже несмотря на то, что может быть несколько состояний равновесия, при стандартных допущениях гарантируется, что каждое равновесие будет соблюдаться. Парето эффективный. Однако разные состояния равновесия, вероятно, будут иметь разные последствия для распределения и могут быть ранжированы по-разному в зависимости от конкретного случая. функция социального обеспечения. Во-вторых, Теорема Хопфа об индексе, в регулярная экономика число положений равновесия будет конечным, и все они будут локально уникальными. Это значит, что сравнительная статика или анализ того, как изменяется равновесие при шоках в экономике, все еще может быть актуальным до тех пор, пока шоки не слишком велики. Но это оставляет без ответа вопрос об устойчивости равновесия, поскольку сравнительная статика не говорит нам, что происходит, когда рынок уходит от состояния равновесия.

Распространение на неполные рынки

Расширение до неполные рынки был впервые предположен Андреу Мас-Колелл в 1986 г.^[26] Для этого он отмечает, что Закон Вальраса и однородность нулевой степени можно понимать как тот факт, что избыточный спрос зависит только от самого бюджета. Следовательно, однородность означает только то, что избыточный спрос одинаков, если наборы бюджета одинаковы. Эта формулировка распространяется на неполные рынки. То же самое и с законом Вальраса, если рассматривать его как бюджетную осуществимость функции избыточного спроса. Первые результаты типа неполных рынков Зонненшайна – Мантеля – Дебро были получены Жан-Марком Боттацци и Thorsten Hens.^[27] Другие работы расширили тип активов за пределы популярных структур реальных активов, таких как Chiappori и Ekland.^[17] Все такие результаты локальны.

Наконец, Такеши Моми (2003) расширил подход Боттацци и Хенса до глобального результата.^[28]

Примечания

1. В литературе, посвященной результатам Зонненшайна – Мантеля – Дебре, обычно не проводится различий между кривой рыночного спроса на один товар и кривой совокупного спроса для экономики с множеством разных товаров. Было доказано, что результаты справедливы для любого рынка, на котором, по крайней мере, столько же агентов, сколько и товаров, поэтому тривиально следует, что они применимы к любому непустому рынку для одного товара.

Рекомендации

1. Sonnenschein 1972 г..
2. Sonnenschein 1973.
3. Каминная плита 1974.
4. Дебре 1974.
5. Ризви 2006, п. 229.
6. Акерман 2002 С. 122-123.
7. Ризви 2006, стр. 229-230.
8. Chiappori et al. 2004 г., п. 106.
9. Андреу 1982.
10. Чиаппори и Экеланд 1999, п. 1437, «... мы устанавливаем, что когда количество агентов по крайней мере равно количеству товаров, то любое достаточно гладко Функцию, удовлетворяющую закону Вальраса, можно локально рассматривать как совокупный рыночный спрос некоторой экономики, даже если распределение дохода предписано априори ».
11. Хан 1975, п. 363.
12. Ризви 2006, п. 228.
13. Лавуа 2014 С. 50-51.
14. Каминная полка 1976 г..
15. Кирман и Кох 1986, п. 460.
16. Кирман 1992, п. 128.
17. Чиаппори и Экеланд 1999.
18. Зонненшайн и Шафер 1982, стр. 671-672.
19. Кин 2013, п. 231.
20. Chiappori et al. 2004 г., pp. 105-106, «Эти (к настоящему времени классические) результаты широко интерпретировались как указывающие на серьезную слабость теории общего равновесия, а именно на ее неспособность генерировать эмпирически опровергаемые прогнозы».
21. Ризви 2006, п. 232.
22. Браун и Мацкин 1996.
23. Ризви 2006, стр. 238-239.
24. Ризви 2006, п. 231.
25. Хильденбранд 1994, п. ix.
26. Мас-Колелл 1986.
27. Боттацци и куры 1996.
28. Моми 2003.

Библиография

• Акерман, Франк (2002). «Все еще мертв после стольких лет: интерпретация провала теории общего равновесия» (PDF). Журнал экономической методологии. 9 (2): 119–139. Дои:10.1080/13501780210137083. S2CID  154640384.
• Андреу, Жорди (1982). «Рационализация рыночного спроса на конечные домены». Журнал экономической теории. 28 (1): 201–204. Дои:10.1016/0022-0531(82)90100-4.
• Боттацци, Жан-Марк; Куры, Торстен (1996). «Функции избыточного спроса и неполный рынок». Журнал экономической теории. 68: 49–63. Дои:10.1006 / jeth.1996.0003.
• Браун, Дональд Дж .; Мацкин, Роза Л. (1996). «Проверяемые ограничения на равновесном многообразии». Econometrica. 64 (6): 1249–1262. Дои:10.2307/2171830. JSTOR  2171830.
• Чиаппори, Пьер-Андре; Экеланд, Ивар (1999). «Агрегация и рыночный спрос: точка зрения внешнего дифференциального исчисления». Econometrica. 67 (6): 1435–1457. Дои:10.1111/1468-0262.00085. JSTOR  2999567.
• Чиаппори, Пьер-Андре; Экеланд, Ивар; Кюблер, Феликс; Полемарчакис, Геракл М. (2004). «Проверяемые следствия теории общего равновесия: дифференцируемый подход» (PDF). Журнал математической экономики. 40 (1–2): 105–119. Дои:10.1016 / j.jmateco.2003.11.002.
• Дебре, Жерар (1974). «Функции избыточного спроса». Журнал математической экономики. 1: 15–21. Дои:10.1016/0304-4068(74)90032-9.
• Хан, Франк (1975). «Возрождение политической экономии - неправильные вопросы и неправильные аргументы». Экономический отчет. 51 (135): 360–364. Дои:10.1111 / j.1475-4932.1975.tb00262.x.
• Хильденбранд, Вернер (1994). Рыночный спрос: теория и эмпирические данные. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-03428-1.
• Кин, Стив (2013). «Предсказание« глобального финансового кризиса »: посткейнсианская макроэкономика». Экономический отчет. 89 (285): 228–254. Дои:10.1111/1475-4932.12016. HDL:10.1111/1475-4932.12016. S2CID  154247190.
• Кирман, Алан П .; Кох, Карл-Йозеф (1986). "Избыточный спрос на рынке в странах с обменной экономикой с идентичными предпочтениями и коллинеарными пожертвованиями". Обзор экономических исследований. 53 (3): 457–463. Дои:10.2307/2297640. JSTOR  2297640.
• Кирман, Алан П. (1992). «Кого или что представляет собой представитель?». Журнал экономических перспектив. 6 (2): 117–136. Дои:10.1257 / jep.6.2.117.
• Лавуа, Марк (2014). Посткейнсианская экономика: новые основы. Нортгемптон, Массачусетс: Edward Elgar Publishing, Inc. ISBN  978-1-84720-483-7.
• Мантель, Рольф (1974). «О характеристике совокупного избыточного спроса». Журнал экономической теории. 7 (3): 348–353. Дои:10.1016/0022-0531(74)90100-8.
• Мантель, Рольф (1976). «Гомотетические предпочтения и функции избыточного спроса сообщества». Журнал экономической теории. 12 (2): 197–201. Дои:10.1016/0022-0531(76)90073-9.
• Мас-Колелл, Андре (1986). Четыре лекции о дифференцируемом подходе к общему равновесию. Конспект лекции по математике. Конспект лекций по математике. 1330. С. 19–49. Дои:10.1007 / BFb0078157. ISBN  978-3-540-50003-2.
• Моми, Т. (2003). «Функции избыточного спроса при незавершенных рынках - глобальный результат» (PDF). Журнал экономической теории. 111 (2): 240–250. Дои:10.1016 / S0022-0531 (03) 00061-9.
• Ризви, С. Абу Тураб (2006). "Результаты Sonnenschein-Mantel-Debreu через тридцать лет" (PDF). История политической экономии. 38: 228–245. Дои:10.1215/00182702-2005-024.
• Sonnenschein, Хьюго (1972). «Функции рыночного избыточного спроса». Econometrica. 40 (3): 549–563. Дои:10.2307/1913184. JSTOR  1913184. S2CID  55002985.
• Sonnenschein, Hugo (1973). «Являются ли идентичность и преемственность Вальраса характерными для класса функций избыточного спроса сообщества?». Журнал экономической теории. 6 (4): 345–354. Дои:10.1016/0022-0531(73)90066-5.
• Sonnenschein, Hugo; Шафер, Уэйн (1982). «Функции рыночного спроса и избыточного спроса». In Arrow, Kenneth J .; Intriligator, Майкл Д. (ред.). Справочник по математической экономике. 2. С. 671–693. Дои:10.1016 / S1573-4382 (82) 02009-8.