Гомотетические предпочтения - Homothetic preferences

В теория потребления, предпочтения потребителя называются гомотетичный если они могут быть представлены вспомогательная функция который однородный степени 1.^[1]:146 Например, в экономике с двумя товарами ${\displaystyle x,y}$, гомотетические предпочтения могут быть представлены функцией полезности ${\displaystyle u}$ обладающий следующим свойством: для каждого ${\displaystyle a>0}$:

${\displaystyle u(a\cdot x,a\cdot y)=a\cdot u(x,y)}$

В математике гомотетическая функция - это монотонное преобразование функции, которая однородный;^[2] однако, поскольку порядковая полезность функции определены только до монотонное преобразование, в теории потребителей мало различий между этими двумя концепциями.^[1]:147

В модели, где конкурентные потребители оптимизируют гомотетические функции полезности с учетом бюджетное ограничение, соотношение товаров, востребованных потребителями, будет зависеть только от относительные цены, не на доход или масштаб. Это означает линейный путь расширения по доходу: наклон кривых безразличия постоянен вдоль лучей, начинающихся в начале координат.^[1]:482 Так сказать, Кривая Энгеля для каждого товара линейно.

Кроме того, косвенная функция полезности можно записать как линейную функцию богатства ${\displaystyle w}$:

${\displaystyle v(p_{x},p_{y},w)=f(p_{x},p_{y})\cdot w}$

что является частным случаем Горман полярная форма. Следовательно, если все потребители имеют гомотетические предпочтения (с одним и тем же коэффициентом при оценке богатства), совокупный спрос можно рассчитать, рассматривая одного «репрезентативного потребителя», который имеет одинаковые предпочтения и одинаковый совокупный доход.^{[1]:152–154}

Примеры

Служебные функции, имеющие постоянная эластичность замещения (CES) гомотетичны. Они могут быть представлены функцией полезности, такой как:

${\displaystyle u(x,y)=\left(\left({x \over w_{x}}\right)^{r}+\left({y \over w_{y}}\right)^{r}\right)^{1/r}}$

Эта функция однородна степени 1:

${\displaystyle u(ax,ay)=\left(a^{r}\left({x \over w_{x}}\right)^{r}+a^{r}\left({y \over w_{y}}\right)^{r}\right)^{1/r}=(a^{r})^{1/r}\left(\left({x \over w_{x}}\right)^{r}+\left({y \over w_{y}}\right)^{r}\right)^{1/r}=au(x,y)}$

Линейные утилиты, Леонтьевское коммунальное хозяйство и Cobb – Douglas коммунальные услуги являются частными случаями функций CES и, следовательно, также гомотетичны.

С другой стороны, квазилинейные утилиты не всегда гомотетичны. Например, функция ${\displaystyle u(x,y)=x+{\sqrt {y}}}$ не может быть представлена ​​как однородная функция.

Внутривременные и межвременные гомотетические предпочтения

Предпочтения гомотетичны внутри времени, если в один и тот же период времени потребители с разными доходами, но с одинаковыми ценами и с одинаковыми предпочтениями будут требовать товары в одинаковых пропорциях.

Предпочтения межвременны гомотетичны, если в разные периоды времени как богатые, так и бедные лица, принимающие решения, одинаково не любят пропорциональные колебания потребления.

Модели современной макроэкономики и государственных финансов часто принимают форму постоянного неприятия риска в течение периода полезности (также называемой энергетической полезностью или изоупругая полезность ). Причина в том, что в сочетании с аддитивностью во времени это дает гомотетические межвременные предпочтения, и эта гомотетичность имеет значительное аналитическое удобство (например, позволяет анализировать устойчивые состояния в моделях роста). Из этих предположений следует, что эластичность межвременного замещения, и его обратное, коэффициент неприятия (риска), постоянны.

Свидетельство

Однако хорошо известно, что в действительности модели потребления меняются с ростом экономического благосостояния. Это означает, что предпочтения на самом деле не гомотетичны.^[3] Давно установлено, что относительные изменения цен, следовательно, по-разному влияют на людей, даже если все сталкиваются с одним и тем же набором цен.^[4]

Смотрите также

• Гомотетическая трансформация
• Однородная функция

Рекомендации

1. Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN  0-393-95735-7.
2. Саймон, Карл и Лоуренс Блюм. Математика для экономистов (Студенческое изд.). Вива Нортон. п. 500. ISBN  978-81-309-1600-2.
3. Алмас, Ингвильд и Кьельсруд, Андерс (2017). «Лохмотья и богатство: относительные цены, негомотетичные предпочтения и неравенство в Индии». Мировое развитие. 97: 101–121.
4. Мюльбауэр, Джон (1974). «Цены и неравенство: опыт Соединенного Королевства». Экономический журнал. 84: 32–55. Дои:10.2307/2230482.