Симплициальные гомологии - Simplicial homology

В алгебраическая топология, симплициальные гомологии это последовательность группы гомологии из симплициальный комплекс. Формализует представление о количестве отверстий заданной размерности в комплексе. Это обобщает количество связанные компоненты (случай размерности 0).

Симплициальные гомологии возникли как способ изучения топологические пространства чьи строительные блоки п-симплексы, то п-мерные аналоги треугольников. Сюда входят точка (0-симплекс), отрезок прямой (1-симплекс), треугольник (2-симплекс) и тетраэдр (3-симплекс). По определению такое пространство гомеоморфный к симплициальный комплекс (точнее, геометрическая реализация из абстрактный симплициальный комплекс ). Такой гомеоморфизм называется триангуляция данного пространства. Можно триангулировать многие интересующие топологические пространства, включая все гладкие многообразие (Кэрнс и Уайтхед ).^{[1]:раздел 5.3.2}

Симплициальные гомологии определяются простым рецептом для любого абстрактного симплициального комплекса. Замечательный факт, что симплициальные гомологии зависят только от ассоциированного топологического пространства.^{[2]:раздел 8.6} В результате это дает вычислимый способ отличить одно пространство от другого.

Определения

Берется граница границы 2-симплекса (слева) и граница 1-цепи (справа). Оба равны 0, являясь суммой, в которой и положительное, и отрицательное значение 0-симплекса встречаются один раз. Граница границы всегда равна 0. Нетривиальный цикл - это то, что замыкается, как граница симплекса, в том смысле, что его граница равна 0, но на самом деле это не граница симплекса или цепи. Поскольку тривиальные 1-циклы эквивалентны 0 в ${\displaystyle H_{1}}$, 1-цикл справа посередине гомологичен своей сумме с границей 2-симплекса слева.

Ориентации

Ключевым понятием при определении симплициальных гомологий является понятие ориентация симплекса. По определению ориентация k-симплекс задается порядком вершин, записываемым как (v₀,...,v_k) с правилом, что два порядка определяют одну и ту же ориентацию тогда и только тогда, когда они отличаются даже перестановка. Таким образом, каждый симплекс имеет ровно две ориентации, и изменение порядка двух вершин меняет ориентацию на противоположную. Например, выбор ориентации 1-симплекса означает выбор одного из двух возможных направлений, а выбор ориентации 2-симплекса означает выбор того, что должно означать «против часовой стрелки».

Цепи

Позволять S - симплициальный комплекс. А симплициальный k-цепь конечный формальная сумма

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,}$

где каждый c_я целое число и σ_я ориентированный k-симплекс. В этом определении мы заявляем, что каждый ориентированный симплекс равен негативу симплекса с противоположной ориентацией. Например,

${\displaystyle (v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).}$

Группа k-цепи на S написано C_k. Это свободная абелева группа который имеет основу во взаимно однозначном соответствии с множеством k-симплексы в S. Чтобы явно определить базис, нужно выбрать ориентацию каждого симплекса. Один из стандартных способов сделать это - выбрать порядок всех вершин и задать каждому симплексу ориентацию, соответствующую индуцированному порядку его вершин.

Границы и циклы

Пусть σ = (v₀,...,v_k) быть ориентированным k-симплекс, рассматриваемый как базовый элемент C_k. В граничный оператор

${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}}$

это гомоморфизм определяется:

${\displaystyle \partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),}$

где ориентированный симплекс

${\displaystyle (v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})}$

это я^th лицо σ, полученный удалением его я^th вершина.

В C_k, элементы подгруппы

${\displaystyle Z_{k}:=\ker \partial _{k}}$

упоминаются как циклы, а подгруппа

${\displaystyle B_{k}:=\operatorname {im} \partial _{k+1}}$

как говорят, состоит из границы.

Границы границ

Прямое вычисление показывает, что ∂² = 0. В геометрических терминах это означает, что граница чего-либо не имеет границы. Эквивалентно абелевы группы

${\displaystyle (C_{k},\partial _{k})}$

сформировать цепной комплекс. Другое эквивалентное утверждение состоит в том, что B_k содержится в Z_k.

В качестве примера рассмотрим тетраэдр с вершинами, ориентированными как w, x, y, z. По определению его граница задается формулой xyz - wyz + wxz - wxy. Граница границы задается следующим образом: (yz-xz + xy) - (yz-wz + wy) + (xz-wz + wx) - (xy-wy + wx) = 0.

Симплициальный комплекс с 2 дырками

Группы гомологий

В k^th группа гомологии ЧАС_k из S определяется как частное абелева группа

${\displaystyle H_{k}(S)=Z_{k}/B_{k}\,.}$

Отсюда следует, что группа гомологий ЧАС_k(S) отличен от нуля именно тогда, когда есть k-циклы на S которые не являются границами. В некотором смысле это означает, что есть k-мерные отверстия в комплексе. Например, рассмотрим комплекс S полученный путем склеивания двух треугольников (без внутреннего) по одному краю, как показано на изображении. Ребра каждого треугольника могут быть ориентированы так, чтобы образовать цикл. Эти два цикла по построению не являются границами (поскольку каждая 2-цепь равна нулю). Можно вычислить, что группа гомологий ЧАС₁(S) изоморфна Z², на основе двух упомянутых циклов. Это уточняет неформальную идею о том, что S имеет две «одномерные дыры».

Отверстия могут быть разного размера. В классифицировать из kth группа гомологий, число

${\displaystyle \beta _{k}=\operatorname {rank} (H_{k}(S))\,}$

называется kth Бетти число из S. Это дает меру количества k-размерные отверстия в S.

Пример

Группы гомологий треугольника

Позволять S быть треугольником (без его внутренней части), рассматриваемым как симплициальный комплекс. Таким образом S имеет три вершины, которые мы называем v₀, v₁, v₂, и три ребра, которые являются одномерными симплексами. Для вычисления групп гомологии S, начнем с описания цепных групп C_k:

• C₀ изоморфен Z³ с основанием (v₀), (v₁), (v₂),
• C₁ изоморфен Z³ с базисом из ориентированных 1-симплексов (v₀, v₁), (v₀, v₂), и (v₁, v₂).
• C₂ является тривиальной группой, поскольку не существует симплекса, подобного ${\displaystyle (v_{0},v_{1},v_{2})}$ потому что предполагалось, что треугольник не имеет внутренней части. То же самое и с цепными группами в других измерениях.

В граничный гомоморфизм ∂: C₁ → C₀ дан кем-то:

${\displaystyle \partial (v_{0},v_{1})=(v_{1})-(v_{0})}$

${\displaystyle \partial (v_{0},v_{2})=(v_{2})-(v_{0})}$

${\displaystyle \partial (v_{1},v_{2})=(v_{2})-(v_{1})}$

С C₋₁ = 0, каждая 0-цепь является циклом (т.е. Z₀ = C₀); кроме того, группа B₀ 0-границ генерируется тремя элементами справа от этих уравнений, создавая двумерную подгруппу C₀. Итак 0-я группа гомологий ЧАС₀(S) = Z₀/B₀ изоморфен Z, с базисом, заданным (например) изображением 0-цикла (v₀). Действительно, в фактор-группе все три вершины становятся равными; это выражает тот факт, что S является связаны.

Далее, группа 1-циклов является ядром указанного выше гомоморфизма ∂, который изоморфен Z, с базисом, заданным (например) формулой (v₀,v₁) − (v₀,v₂) + (v₁,v₂). (Изображение показывает, что этот 1-цикл обходит треугольник в одном из двух возможных направлений.) Поскольку C₂ = 0, группа 1-границ равна нулю, поэтому 1-я группа гомологии ЧАС₁(S) изоморфна Z/0 ≅ Z. Это уточняет представление о том, что треугольник имеет одно одномерное отверстие.

Далее, поскольку по определению не существует 2-циклов, C₂ = 0 ( тривиальная группа ). Следовательно 2-я группа гомологии ЧАС₂(S) равен нулю. То же верно и для ЧАС_я(S) для всех я не равно 0 или 1.

Группы гомологий многомерных симплексов

Позволять S быть тетраэдр (без внутренней части), рассматриваемый как симплициальный комплекс. Таким образом S имеет четыре 0-мерных вершины, шесть одномерных ребер и четыре двумерных грани. Здесь подробно описано построение групп гомологии тетраэдра.^[3] Оказывается, что ЧАС₀(S) изоморфна Z, ЧАС₂(S) изоморфна Z тоже, и все остальные группы тривиальны.

Если тетраэдр содержит внутренность, то ЧАС₂(S) тоже тривиально.

В общем, если S это d-мерный симплекс имеет место:

• Если S считается без его интерьера, то ЧАС₀(S) = Z и ЧАС_d−1(S) = Z а все остальные гомологии тривиальны;
• Если S считается с его интерьером, то ЧАС₀(S) = Z а все остальные гомологии тривиальны.

Симплициальные карты

Основная статья: Симплициальная карта

Позволять S и Т быть симплициальные комплексы. А симплициальная карта ж из S к Т - функция из множества вершин S к множеству вершин Т такое, что изображение каждого симплекса в S (рассматриваемый как набор вершин) представляет собой симплекс в Т. Симплициальная карта ж: S → Т определяет гомоморфизм групп гомологий ЧАС_k(S) → ЧАС_k(Т) для каждого целого числа k. Это гомоморфизм, связанный с карта цепи из цепного комплекса S к цепному комплексу Т. Явно эта цепочка приведена на k-цепи по

${\displaystyle f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))}$

если ж(v₀), ..., ж(v_k) все различны, иначе ж((v₀, ..., v_k)) = 0.

Эта конструкция делает симплициальные гомологии a функтор от симплициальных комплексов к абелевым группам. Это важно для приложений теории, включая Теорема Брауэра о неподвижной точке и топологическая инвариантность симплициальных гомологий.

Связанные гомологии

Особые гомологии родственная теория, которая лучше приспособлена к теории, чем к вычислениям. Особые гомологии определены для всех топологических пространств и, очевидно, зависят только от топологии, а не от какой-либо триангуляции; и это согласуется с симплициальными гомологиями пространств, которые можно триангулировать.^[4]:thm.2.27 Тем не менее, поскольку симплициальные гомологии симплициального комплекса можно вычислить автоматически и эффективно, симплициальные гомологии стали важны для приложений к реальным ситуациям, таким как анализ изображений, медицинская визуализация, и анализ данных в целом.

Другая родственная теория Клеточная гомология.

Приложения

Стандартный сценарий во многих компьютерных приложениях - это набор точек (измерения, темные пиксели на битовой карте и т. Д.), В которых желательно найти топологический объект. Гомология может служить качественным инструментом для поиска такой особенности, поскольку ее легко вычислить на основе комбинаторных данных, таких как симплициальный комплекс. Однако сначала необходимо триангулированный, что означает замену данных симплициальным комплексным приближением. Расчет стойкая гомология^[5] включает анализ гомологии при различных разрешениях, регистрацию классов гомологии (дыр), которые сохраняются при изменении разрешения. Такие функции могут использоваться для обнаружения структур молекул, опухолей в рентгеновских лучах и кластерных структур в сложных данных.

В более общем плане симплициальные гомологии играют центральную роль в топологический анализ данных, техника в области сбор данных.

Реализации

• А MATLAB набор инструментов для вычисления устойчивой гомологии, Plex (Вин де Сильва, Гуннар Карлссон ), доступен по адресу этот сайт.
• Автономные реализации в C ++ доступны как часть Персей и Дионис программные проекты.

Смотрите также

• Симплициальная гомотопия

Рекомендации

1. Прасолов, В. В. (2006), Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-3809-1, МИСТЕР  2233951
2. Армстронг, М.А. (1983), Базовая топология, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90839-0, МИСТЕР  0705632
3. Вильдбергер, Норман Дж. (2012). «Больше вычислений гомологии».
4. Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0, МИСТЕР  1867354
5. Edelsbrunner, H .; Letscher, D .; Зомородян, А. (2002). «Топологическая устойчивость и упрощение». Дискретное вычисление. Geom. 28: 511–533. Дои:10.1007 / s00454-002-2885-2.
   Робинс, В. (лето 1999 г.). «К вычислению гомологии из конечных приближений» (PDF). Топология Труды. 24.

внешняя ссылка

• Топологические методы в научных вычислениях
• Вычислительные гомологии (также кубические гомологии)