В математика, клеточная гомология в алгебраическая топология это теория гомологии для категории CW-комплексы. Согласен с особые гомологии, и может предоставить эффективные средства вычисления модулей гомологии.
Определение
Если
CW-комплекс с п-скелет
, модули клеточных гомологий определяются как группы гомологии ЧАСя сотового цепной комплекс

куда
принимается пустое множество.
Группа

является свободный абелевский, с генераторами, которые можно отождествить с
-элементы
. Позволять
быть
-ячейка
, и разреши
быть прикрепленной картой. Затем рассмотрим композицию

где первая карта определяет
с
через характеристическую карту
из
, предмет
является
-ячейка Икс, третья карта
это фактор-карта, которая сворачивается
до точки (таким образом оборачивая
в сферу
), а последняя карта определяет
с
через характеристическую карту
из
.
В карта границ

тогда дается формулой

куда
это степень из
и сумма берется по всем
-элементы
, рассматриваемые как генераторы
.
Пример
В п-мерная сфера Sп допускает структуру CW с двумя ячейками, одной 0-ячейкой и одной п-клетка. Здесь п-cell прикреплен постоянным отображением из
в 0-ячейку. Поскольку образующие групп клеточных цепей
можно отождествить с k-элементы Sпу нас есть это
за
и в остальном тривиален.
Следовательно, для
, результирующий цепной комплекс равен

но тогда, поскольку все граничные отображения либо в тривиальные группы, либо из них, все они должны быть нулевыми, что означает, что группы клеточных гомологий равны

Когда
, нетрудно убедиться, что отображение границы
равен нулю, что означает, что приведенная выше формула верна для всех положительных
.
Как показывает этот пример, вычисления, выполненные с использованием клеточных гомологий, часто более эффективны, чем вычисления с использованием только сингулярных гомологий.
Другие свойства
Из комплекса клеточной цепи видно, что
-скелет определяет все модули гомологии меньшей размерности:

за
.
Важным следствием этой клеточной перспективы является то, что если CW-комплекс не имеет ячеек в последовательных измерениях, то все его модули гомологии свободны. Например, сложное проективное пространство
имеет ячеистую структуру с одной ячейкой в каждом четном измерении; следует, что для
,

и

Обобщение
В Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха аналогичный метод вычисления (ко) гомологий CW-комплекса для произвольного экстраординарная теория (ко) гомологии.
Эйлерова характеристика
Для клеточного комплекса
, позволять
быть его
-й скелет, и
быть числом
-клеток, т. е. ранг свободного модуля
. В Эйлерова характеристика из
тогда определяется как

Эйлерова характеристика - гомотопический инвариант. Фактически, с точки зрения Бетти числа из
,

Это можно обосновать следующим образом. Рассмотрим длинную точную последовательность относительная гомология для тройки
:

Погоня за точностью в последовательности дает

Тот же расчет применяется к тройкам
,
и т. д. По индукции

Рекомендации