Проблема пастухов - Shephards problem

В математика, Проблема Шепарда, это следующий геометрический вопрос, заданный Джеффри Колин Шепард  (1964 ): если K и L центрально-симметричны выпуклые тела в п-размерный Евклидово пространство так что всякий раз, когда K и L находятся прогнозируемый на гиперплоскость, то объем проекции K меньше, чем объем выступа L, то следует ли, что объем K меньше, чем у L?

В этом случае «центрально-симметричный» означает, что отражение из K в происхождении, −K, является переводом K, и аналогично для L. Если π_k : р^п → Π_k это проекция из р^п на некоторые k-размерный гиперплоскость Π_k (не обязательно координатная гиперплоскость) и V_k обозначает k-размерный объем, задача Шепарда состоит в том, чтобы определить истинность или ложность вывода

${\displaystyle V_{k}(\pi _{k}(K))\leq V_{k}(\pi _{k}(L)){\mbox{ for all }}1\leq k<n\implies V_{n}(K)\leq V_{n}(L).}$

V_k(π_k(K)) иногда называют яркость из K и функция V_k о π_k как (k-размерный) функция яркости.

В габаритах п = 1 и 2, ответ на проблему Шепарда - «да». Однако в 1967 году Петти и Шнайдер показали, что ответ «нет» для всех п ≥ 3. Решение проблемы Шепарда требует Первое неравенство Минковского для выпуклых тел и понятие проекционные тела выпуклых тел.

Смотрите также

• Проблема Буземана – Петти

Рекомендации

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна-Минковского». Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 39 (3): 355–405 (электронный). Дои:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.
• Петти, К. (1967). «Проекционные тела». Proc. Коллоквиум по выпуклости (Копенгаген, 1965 г.): 234–241.
• Шнайдер, Рольф (1967). "Zur einem Problem von Shephard über die Projektionen konvexer Körper". Математика. Z. (на немецком). 101: 71–82. Дои:10.1007 / BF01135693.
• Шепард, Г. К. (1964), "Теневые системы выпуклых множеств", Израильский математический журнал, 2 (4): 229–236, Дои:10.1007 / BF02759738, ISSN  0021-2172, МИСТЕР  0179686