Полугруппа с двумя элементами - Semigroup with two elements

В математика, а полугруппа с двумя элементами это полугруппа для чего мощность из базовый набор два. Их ровно пять отчетливый неизоморфный полугруппы, состоящие из двух элементов:

• О₂, то нулевая полугруппа второго порядка,
• LO₂ и РО₂, то полугруппа левых нулей второго порядка и полугруппа правых нулей второго порядка соответственно
• ({0,1}, ∧) (где "∧" - логическая связка "и "), или, что то же самое, множество {0,1} при умножении: единственный полурешетка с двумя элементами и единственной ненулевой полугруппой с нуль второго порядка, также моноид, и в конечном итоге двухэлементная булева алгебра,
• (Z₂, +₂) (где Z₂ = {0,1} и "+₂"является" сложением по модулю 2 ") или, что эквивалентно ({0,1},) (где" ⊕ "- логическая связка"xor "), или, что то же самое, множество {−1,1} при умножении: единственное группа второго порядка.

Полугруппы LO₂ и РО₂ находятся антиизоморфный. О₂, ({0,1}, ∧) и (Z₂, +₂) находятся коммутативный, и LO₂ и РО₂ некоммутативны. LO₂, RO₂ и ({0,1}, ∧) находятся группы а также инверсные полугруппы.

Определение полугрупп с двумя элементами

Выбор набора А = { 1, 2 } как базовый набор, состоящий из двух элементов, шестнадцать бинарные операции можно определить в А. Эти операции показаны в таблице ниже. В таблице матрица формы

Икс	у
z	т

указывает на двоичную операцию на А имея следующие Стол Кэли.

	1	2
1	Икс	у
2	z	т

Список бинарных операций в {1, 2}

1    1    1    1	1    1    1    2	1    1    2    1	1    1    2    2
Нулевая полугруппа O2	≡ Полугруппа ({0,1}, ${\displaystyle \wedge }$)	2·(1·2) = 2, (2·1)·2 = 1	Полугруппа левых нулей LO2
1    2    1    1	1    2    1    2	1    2    2    1	1    2    2    2
2·(1·2) = 1, (2·1)·2 = 2	Полугруппа правых нулей RO2	≡ Группа (Z2, +2)	≡ Полугруппа ({0,1}, ${\displaystyle \wedge }$)
2    1    1    1	2    1    1    2	2    1    2    1	2    1    2    2
1·(1·2) = 2, (1·1)·2 = 1	≡ Группа (Z2, +2)	1·(1·1) = 1, (1·1)·1 = 2	1·(2·1) = 1, (1·2)·1 = 2
2    2    1    1	2    2    1    2	2    2    2    1	2    2    2    2
1·(1·1) = 2, (1·1)·1 = 1	1·(2·1) = 2, (1·2)·1 = 1	1·(1·2) = 2, (1·1)·2 = 1	Нулевая полугруппа O2

В этой таблице:

• Полугруппа ({0,1}, ${\displaystyle \wedge }$) обозначает двухэлементную полугруппу, содержащую нулевой элемент 0 и элемент единицы 1. Две бинарные операции, определяемые матрицами на зеленом фоне, являются ассоциативными и объединяются либо с А создает полугруппу, изоморфную полугруппе ({0,1}, ${\displaystyle \wedge }$). Каждый элемент идемпотент в этой полугруппе, так что это группа. Кроме того, он коммутативен (абелев) и, следовательно, полурешетка. В заказ вызван это линейный порядок, так что это фактически решетка и это также распределительный и дополненная решетка, т.е. фактически это двухэлементная булева алгебра.
• Две бинарные операции, определяемые матрицами на синем фоне, являются ассоциативными и объединяются либо с А создает полугруппу, изоморфную нулевая полугруппа О₂ с двумя элементами.
• Бинарная операция, определяемая матрицей на оранжевом фоне, является ассоциативной и объединяет ее с А создает полугруппу. Это полугруппа левых нулей LO₂. Это не коммутативно.
• Бинарная операция, определяемая матрицей на фиолетовом фоне, является ассоциативной и объединяет ее с А создает полугруппу. Это полугруппа правых нулей RO₂. Он также не коммутативен.
• Две бинарные операции, определенные матрицами на красном фоне, являются ассоциативными и объединяются либо с А создает полугруппу, изоморфную группа (Z₂, +₂).
• Остальные восемь бинарные операции определены матрицами на белом фоне не ассоциативный и, следовательно, ни один из них не создает полугруппу в паре с А.

Двухэлементная полугруппа ({0,1}, ∧)

В Стол Кэли для полугруппы ({0,1}, ${\displaystyle \wedge }$) приведено ниже:

${\displaystyle \wedge }$	0	1
0	0	0
1	0	1

Это простейший нетривиальный пример полугруппы, не являющейся группой. Эта полугруппа имеет единичный элемент 1, что делает ее моноид. Он также коммутативен. Это не группа, потому что элемент 0 не имеет инверсии, и даже не является сокращающейся полугруппой, потому что мы не можем сократить 0 в уравнении 1 · 0 = 0 · 0.

Эта полугруппа возникает в разных контекстах. Например, если мы выберем 1 в качестве значение истины "истинный "и 0, чтобы быть значение истины "ложный "и операция будет логическая связка "и ", мы получаем эту полугруппу в логика. Он изоморфен моноиду {0,1} относительно умножения. Он также изоморфен полугруппе

${\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right\}}$

под матричное умножение.^[1]

Двухэлементная полугруппа (Z₂,+₂)

В Стол Кэли для полугруппы (Z₂,+₂) приведено ниже:

+2	0	1
0	0	1
1	1	0

Эта группа изоморфна группе циклическая группа Z₂ и симметричная группа S₂.

Полугруппы порядка 3

Основная статья: Полугруппа с тремя элементами

Позволять А - трехэлементный набор {1, 2, 3}. Всего 3⁹ = 19683 различных бинарных операции могут быть определены на А. 113 из 19683 бинарных операций определяют 24 неизоморфные полугруппы, или 18 неэквивалентных полугрупп (с эквивалентностью, являющейся изоморфизмом или антиизоморфизмом). ^[2] За исключением группа из трех элементов, каждая из них имеет одну (или несколько) двухэлементных полугрупп, указанных выше, в качестве подполугрупп.^[3] Например, множество {−1,0,1} при умножении является полугруппой порядка 3 и содержит как подполугруппы, так и {0,1} и {−1,1}.

Конечные полугруппы высших порядков

Разработаны алгоритмы и компьютерные программы для определения неизоморфных конечных полугрупп заданного порядка. Они были применены для определения неизоморфных полугрупп малого порядка.^[3][4][5] Число неизоморфных полугрупп с п элементы, для п неотрицательное целое число, указано в OEIS: A027851 в Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. OEIS: A001423 перечисляет количество неэквивалентных полугрупп, а OEIS: A023814 количество ассоциативных бинарных операций из общего числа п^п2, определяя полугруппу.

Смотрите также

• Пустая полугруппа
• Тривиальная полугруппа (Полугруппа с одним элементом )
• Полугруппа с тремя элементами
• Специальные классы полугрупп

Рекомендации

1. «Полугруппа с двумя элементами». PlanetMath.
2. Фридрик Диего; Кристин Халла Йонсдоттир (июль 2008 г.). «Ассоциативные операции над трехэлементным множеством» (PDF). Энтузиаст математики из Монтаны. 5 (2 & 3): 257–268. Получено 6 февраля 2014.
3. Андреас Дистлер, Классификация и перечисление конечных полугрупп В архиве 2 апреля 2015 г. Wayback Machine, Кандидатская диссертация, Сент-Эндрюсский университет
4. Синиша Црвенкович; Иван Стойменович. "Алгоритм для таблиц Кэли алгебр". 23 (2). Univ. у Новом Саду, Zb. Рад. Природ.-мат. Фак. Обзор исследований, факультет естественных наук: 221–231. [1] (Доступ 9 мая 2009 г.)
5. Джон А. Хильдебрант (2001). Справочник программ конечных полугрупп. (Препринт).[2]