Полугруппа с двумя элементами - Semigroup with two elements

В математика, а полугруппа с двумя элементами это полугруппа для чего мощность из базовый набор два. Их ровно пять отчетливый неизоморфный полугруппы, состоящие из двух элементов:

Полугруппы LO2 и РО2 находятся антиизоморфный. О2, ({0,1}, ∧) и (Z2, +2) находятся коммутативный, и LO2 и РО2 некоммутативны. LO2, RO2 и ({0,1}, ∧) находятся группы а также инверсные полугруппы.

Определение полугрупп с двумя элементами

Выбор набора А = { 1, 2 } как базовый набор, состоящий из двух элементов, шестнадцать бинарные операции можно определить в А. Эти операции показаны в таблице ниже. В таблице матрица формы

  Икс   у 
  z   т 

указывает на двоичную операцию на А имея следующие Стол Кэли.

 1  2 
  1   Икс   у 
  2   z   т 
Список бинарных операций в {1, 2}
  1   1 
  1   1 
  1   1 
  1   2 
  1   1 
  2   1 
  1   1 
  2   2 
  Нулевая полугруппа O2    ≡ Полугруппа ({0,1}, )    2·(1·2) = 2, (2·1)·2 = 1   Полугруппа левых нулей LO2 
  1   2 
  1   1 
  1   2 
  1   2 
  1   2 
  2   1 
  1   2 
  2   2 
  2·(1·2) = 1, (2·1)·2 = 2    Полугруппа правых нулей RO2   ≡ Группа (Z2, +2)    ≡ Полугруппа ({0,1}, )
  2   1 
  1   1 
  2   1 
  1   2 
  2   1 
  2   1 
  2   1 
  2   2  
  1·(1·2) = 2, (1·1)·2 = 1   ≡ Группа (Z2, +2)    1·(1·1) = 1, (1·1)·1 = 2   1·(2·1) = 1, (1·2)·1 = 2 
  2   2 
  1   1 
  2   2 
  1   2 
  2   2 
  2   1 
  2   2 
  2   2 
  1·(1·1) = 2, (1·1)·1 = 1   1·(2·1) = 2, (1·2)·1 = 1   1·(1·2) = 2, (1·1)·2 = 1   Нулевая полугруппа O2 

В этой таблице:

  • Полугруппа ({0,1}, ) обозначает двухэлементную полугруппу, содержащую нулевой элемент 0 и элемент единицы 1. Две бинарные операции, определяемые матрицами на зеленом фоне, являются ассоциативными и объединяются либо с А создает полугруппу, изоморфную полугруппе ({0,1}, ). Каждый элемент идемпотент в этой полугруппе, так что это группа. Кроме того, он коммутативен (абелев) и, следовательно, полурешетка. В заказ вызван это линейный порядок, так что это фактически решетка и это также распределительный и дополненная решетка, т.е. фактически это двухэлементная булева алгебра.
  • Две бинарные операции, определяемые матрицами на синем фоне, являются ассоциативными и объединяются либо с А создает полугруппу, изоморфную нулевая полугруппа О2 с двумя элементами.
  • Бинарная операция, определяемая матрицей на оранжевом фоне, является ассоциативной и объединяет ее с А создает полугруппу. Это полугруппа левых нулей LO2. Это не коммутативно.
  • Бинарная операция, определяемая матрицей на фиолетовом фоне, является ассоциативной и объединяет ее с А создает полугруппу. Это полугруппа правых нулей RO2. Он также не коммутативен.
  • Две бинарные операции, определенные матрицами на красном фоне, являются ассоциативными и объединяются либо с А создает полугруппу, изоморфную группа (Z2, +2).
  • Остальные восемь бинарные операции определены матрицами на белом фоне не ассоциативный и, следовательно, ни один из них не создает полугруппу в паре с А.

Двухэлементная полугруппа ({0,1}, ∧)

В Стол Кэли для полугруппы ({0,1}, ) приведено ниже:

  0  1 
  0   0   0 
  1   0   1 

Это простейший нетривиальный пример полугруппы, не являющейся группой. Эта полугруппа имеет единичный элемент 1, что делает ее моноид. Он также коммутативен. Это не группа, потому что элемент 0 не имеет инверсии, и даже не является сокращающейся полугруппой, потому что мы не можем сократить 0 в уравнении 1 · 0 = 0 · 0.

Эта полугруппа возникает в разных контекстах. Например, если мы выберем 1 в качестве значение истины "истинный "и 0, чтобы быть значение истины "ложный "и операция будет логическая связка "и ", мы получаем эту полугруппу в логика. Он изоморфен моноиду {0,1} относительно умножения. Он также изоморфен полугруппе

под матричное умножение.[1]

Двухэлементная полугруппа (Z2,+2)

В Стол Кэли для полугруппы (Z2,+2) приведено ниже:

+2 0  1 
  0   0   1 
  1   1   0 

Эта группа изоморфна группе циклическая группа Z2 и симметричная группа S2.

Полугруппы порядка 3

Позволять А - трехэлементный набор {1, 2, 3}. Всего 39 = 19683 различных бинарных операции могут быть определены на А. 113 из 19683 бинарных операций определяют 24 неизоморфные полугруппы, или 18 неэквивалентных полугрупп (с эквивалентностью, являющейся изоморфизмом или антиизоморфизмом). [2] За исключением группа из трех элементов, каждая из них имеет одну (или несколько) двухэлементных полугрупп, указанных выше, в качестве подполугрупп.[3] Например, множество {−1,0,1} при умножении является полугруппой порядка 3 и содержит как подполугруппы, так и {0,1} и {−1,1}.

Конечные полугруппы высших порядков

Разработаны алгоритмы и компьютерные программы для определения неизоморфных конечных полугрупп заданного порядка. Они были применены для определения неизоморфных полугрупп малого порядка.[3][4][5] Число неизоморфных полугрупп с п элементы, для п неотрицательное целое число, указано в OEISA027851 в Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. OEISA001423 перечисляет количество неэквивалентных полугрупп, а OEISA023814 количество ассоциативных бинарных операций из общего числа пп2, определяя полугруппу.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ «Полугруппа с двумя элементами». PlanetMath.
  2. ^ Фридрик Диего; Кристин Халла Йонсдоттир (июль 2008 г.). «Ассоциативные операции над трехэлементным множеством» (PDF). Энтузиаст математики из Монтаны. 5 (2 & 3): 257–268. Получено 6 февраля 2014.
  3. ^ а б Андреас Дистлер, Классификация и перечисление конечных полугрупп В архиве 2 апреля 2015 г. Wayback Machine, Кандидатская диссертация, Сент-Эндрюсский университет
  4. ^ Синиша Црвенкович; Иван Стойменович. "Алгоритм для таблиц Кэли алгебр". 23 (2). Univ. у Новом Саду, Zb. Рад. Природ.-мат. Фак. Обзор исследований, факультет естественных наук: 221–231. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь) [1] (Доступ 9 мая 2009 г.)
  5. ^ Джон А. Хильдебрант (2001). Справочник программ конечных полугрупп. (Препринт).[2]