Полугруппа с тремя элементами - Semigroup with three elements
В абстрактная алгебра, а полугруппа с тремя элементами представляет собой объект, состоящий из трех элементов и ассоциативная операция определены на них. Базовым примером могут быть три целых числа 0, 1 и -1 вместе с операцией умножения. Умножение целых чисел ассоциативно, и произведение любых двух из этих трех целых чисел снова является одним из этих трех целых чисел.
Существует 18 неэквивалентных способов определить ассоциативную операцию над тремя элементами: в то время как всего всего 39 = 19683 различных двоичных операций, которые могут быть определены, только 113 из них являются ассоциативными, и многие из них изоморфный или же антиизоморфный так что, по сути, есть только 18 возможностей. [1][2]
Один из них C3, то циклическая группа с тремя элементами. У всех остальных есть полугруппа с двумя элементами в качестве подполугруппы. В приведенном выше примере множество {−1,0,1} при умножении содержит как {0,1}, так и {−1,1} в качестве подполугрупп (последняя является подполугруппой).группа, C2 ).
Шесть из них группы, что означает, что все три элемента идемпотент, так что продукт любого элемента с самим собой снова является самим собой. Две из этих групп коммутативный, следовательно полурешетки (один из них представляет собой трехэлементное полностью упорядоченное множество, а другой - трехэлементную полурешетку, которая не является решеткой). Остальные четыре входят в антиизоморфные пары.
Одна из этих некоммутативных лент возникает в результате присоединения элемент идентичности к LO2, то полугруппа левых нулей с двумя элементами (или, вдвойне, чтобы RO2, то полугруппа правых нулей ). Иногда его называют шлепанцы моноид, ссылаясь на триггерные схемы используется в электронике: три элемента можно описать как «установить», «сбросить» и «ничего не делать». Эта полугруппа встречается в Разложение Крона – Родса конечных полугрупп.[3] Неприводимые элементы в этом разложении - это конечные простые группы плюс эта трехэлементная полугруппа и ее подполугруппы.
Есть два циклические полугруппы, описываемое уравнением Икс4 = Икс3, у которого есть О2, то нулевая полугруппа с двумя элементами, как подполугруппа. Другой описывается Икс4 = Икс2 и имеет C2, группа с двумя элементами, как подгруппа. (Уравнение Икс4 = Икс описывает C3, группа с тремя элементами, уже упоминавшаяся.)
Есть семь других нециклических небленых коммутативных полугрупп, включая начальный пример {−1, 0, 1} и О3, нулевая полугруппа с тремя элементами. Существуют также две другие антиизоморфные пары некоммутативных небленых полугрупп.
1. Циклическая группа (C3)
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Моногенный полугруппа (индекс 2, период 2)
Подполугруппа: {y, z} ≈ C2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Апериодический моногенная полугруппа (индекс 3)
Подполугруппа: {y, z} ≈ O2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Коммутативный моноид ({−1,0,1} при умножении)
Подполугруппы: {x, z} ≈ C2. {y, z} ≈ CH2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Коммутативный моноид
Подполугруппы: {x, z} ≈ C2. {y, z} ≈ CH2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Коммутативная полугруппа.
Подполугруппы: {x, z} ≈ C2. {y, z} ≈ O2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Ноль полугруппа (O3)
Подполугруппы: {x, z} ≈ {y, z} ≈ O2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
8. Коммутативная апериодическая полугруппа.
Подполугруппы: {x, z} ≈ O2. {y, z} ≈ CH2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Коммутативная апериодическая полугруппа.
Подполугруппы: {x, z} ≈ O2. {y, z} ≈ CH2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Коммутативный апериодический моноид.
Подполугруппы: {x, z} ≈ O2. {y, z} ≈ CH2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
11А. апериодическая полугруппа
Подполугруппы: {x, z} ≈ O2, {y, z} ≈ LO2 | 11B. это противоположный
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
12А. апериодическая полугруппа
Подполугруппы: {x, z} ≈ O2, {y, z} ≈ CH2 | 12B. его противоположность
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
13. Полурешетка (цепь )
Подгруппы: {x, y} ≈ {x, z} ≈ {y, z} ≈ CH2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
14. Полурешетка.
Подполугруппы: {x, z} ≈ {y, z} ≈ CH2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
15А. идемпотент полугруппа
Подполугруппы: {x, y} ≈ LO2, {x, z} ≈ CH2 | 15Б. его противоположность
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
16А. идемпотентная полугруппа
Подполугруппы: {x, y} ≈ LO2, {x, z} ≈ {y, z} ≈ CH2 | 16B. его противоположность
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
17А. левый ноль полугруппа (LO3)
Подполугруппы: {x, y} ≈ {x, z} ≈ {y, z} ≈ LO2 | 17B. его противоположность (RO3)
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
18А. идемпотентная полугруппа (левый триггер моноид)
Подполугруппы: {x, y} ≈ LO2, {x, z} ≈ {y, z} ≈ CH2 | 18B. его противоположность (правый моноид триггера)
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
Индекс двухэлементные подполугруппы: C2: циклическая группа, O2: нулевая полугруппа, CH2: полурешетка (цепочка), LO2/ RO2: полугруппа левых / правых нулей. | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Смотрите также
- Специальные классы полугрупп
- Полугруппа с двумя элементами
- Полугруппа с одним элементом
- Пустая полугруппа
Рекомендации
- ^ Андреас Дистлер, Классификация и перечисление конечных полугрупп В архиве 2015-04-02 в Wayback Machine, Кандидатская диссертация, Сент-Эндрюсский университет
- ^ Фридрик Диего; Кристин Халла Йонсдоттир (июль 2008 г.). «Ассоциативные операции над трехэлементным множеством» (PDF). Энтузиаст математики из Монтаны. 5 (2 & 3): 257–268. Получено 6 февраля 2014.
- ^ «Эта безобидная трехэлементная полугруппа играет важную роль в дальнейшем ...» - Приложения теории автоматов и алгебры к Джон Л. Родс.