Резонансное взаимодействие - Resonant interaction

В нелинейные системы, а резонансное взаимодействие это взаимодействие трех или более волны, обычно, но не всегда малой амплитуды. Резонансные взаимодействия возникают, когда простой набор критериев волновые векторы и дисперсионное уравнение которые встретились. Простота критериев делает технику популярной во многих областях. Его наиболее заметные и развитые формы появляются при изучении гравитационные волны, но также находит множество приложений от астрофизики и биологии до инженерии и медицины. Теоретическая работа по уравнения в частных производных дает представление о теория хаоса; есть любопытные ссылки на теория чисел. Резонансные взаимодействия позволяют волнам (упруго) разбросать, размытый или стать неустойчивый.^[1] Процессы диффузии несут ответственность за возможные термализация большинства нелинейных систем; нестабильность дает представление о многомерный хаос и турбулентность.

Обсуждение

Основная идея состоит в том, что когда сумма энергии и импульса нескольких колебательные режимы суммировать до нуля, они могут смешивание вместе через нелинейности в исследуемой системе. Режимы, в которых сумма энергии и импульса не равны нулю, не могут взаимодействовать, поскольку это означало бы нарушение сохранения энергии / импульса. Под импульсом волны понимается ее волновой вектор ${\displaystyle k}$ и его энергия ${\displaystyle \omega }$ следует из соотношение дисперсии для системы.

Например, для трех волн в непрерывные СМИ, условие резонанса условно записывается как требование, чтобы ${\displaystyle k_{1}\pm k_{2}\pm k_{3}=0}$ а также ${\displaystyle \omega _{1}\pm \omega _{2}\pm \omega _{3}=0}$, знак минус берется в зависимости от того, как энергия перераспределяется между волнами. Для волн в дискретных средах, например, при компьютерном моделировании на решетка, или в (нелинейный) твердотельные системы, волновые векторы квантуются, а нормальные режимы можно назвать фононы. В Зона Бриллюэна определяет верхнюю границу волнового вектора, и волны могут взаимодействовать, когда они суммируются до целых кратных векторов Бриллюэна (Умклаппское рассеяние ).

Несмотря на то что трехволновые системы обеспечивают простейшую форму резонансных взаимодействий в волнах, не все системы имеют трехволновые взаимодействия. Например, уравнение глубоководной волны, система сплошных сред, не имеет трехволнового взаимодействия.^[2] В Проблема Ферми – Паста – Улама – Цингоу система с дискретными средами не имеет трехволнового взаимодействия. У него есть четырехволновое взаимодействие, но этого недостаточно для термализации системы; что требует шестиволнового взаимодействия.^[3] В результате конечное время термализации идет как обратная восьмая степень связи - очевидно, очень долгое время для слабой связи - что позволяет знаменитым повторениям FPUT доминировать в «нормальных» временных масштабах.

Гамильтонова формулировка

Во многих случаях изучаемую систему легко выразить в виде Гамильтонов формализм. Когда это возможно, можно применить набор манипуляций, имеющих вид обобщенного, нелинейного преобразование Фурье. Эти манипуляции тесно связаны с метод обратной задачи.

Особенно простой пример можно найти в лечении глубоководных волн.^[4][2] В таком случае система может быть выражена через гамильтониан, сформулированный в терминах канонические координаты ${\displaystyle p,q}$. Чтобы избежать путаницы в обозначениях, напишите ${\displaystyle \psi ,\phi }$ для этих двоих; они должны быть сопряженными переменными, удовлетворяющими уравнению Гамильтона. Их следует понимать как функции координат конфигурационного пространства. ${\displaystyle {\vec {x}},t}$, т.е. функции пространства и времени. Принимая преобразование Фурье, записывать

${\displaystyle {\hat {\psi }}({\vec {k}})=\int e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\;\psi ({\vec {x}})\;dx}$

и аналогично для ${\displaystyle {\hat {\phi }}({\vec {k}})}$. Здесь, ${\displaystyle {\vec {k}}}$ это волновой вектор. Когда "на оболочке", это связано с угловой частотой ${\displaystyle \omega }$ посредством соотношение дисперсии. Операторы лестницы следуют каноническим образом:

${\displaystyle {\hat {\phi }}({\vec {k}})={\sqrt {2f(\omega )}}\;\;\left(a_{k}+a_{-k}^{*}\right)}$

${\displaystyle {\hat {\psi }}({\vec {k}})=-i{\sqrt {\frac {2}{f(\omega )}}}\;\;\left(a_{k}-a_{-k}^{*}\right)}$

с ${\displaystyle 2f(\omega )}$ некоторая функция угловой частоты. В ${\displaystyle a,a^{*}}$ соответствуют нормальные режимы линеаризованной системы. Гамильтониан (энергия) теперь можно записать в терминах этих повышающих и понижающих операторов (иногда называемых "переменные плотности действия ") в качестве

${\displaystyle H=H_{0}(a,a^{*})+\epsilon H_{1}(a,a^{*})}$

Здесь первый член ${\displaystyle H_{0}(a,a^{*})}$ квадратично по ${\displaystyle a,a^{*}}$ и представляет собой линеаризованную теорию, в то время как нелинейности фиксируются в ${\displaystyle H_{1}(a,a^{*})}$, который является кубическим или более высоким порядком.

Учитывая вышеизложенное в качестве отправной точки, система затем разбивается на «свободный» и «связанный» режимы.^[3][2] Связанные моды не имеют собственной независимой динамики; например, высшие гармоники солитон решения связаны с основной модой и не могут взаимодействовать. Это можно понять по тому факту, что они не подчиняются закону дисперсии и не имеют резонансных взаимодействий. В этом случае, канонические преобразования применяются с целью исключения терминов, которые не взаимодействуют друг с другом, оставляя свободные режимы. То есть один переписывает ${\displaystyle a\to a^{\prime }=a+{\mathcal {O}}(\epsilon )}$ и аналогично для ${\displaystyle a^{*}}$, и переписывает систему с точки зрения этих новых, «бесплатных» (или, по крайней мере, более свободных) режимов. Правильно сделано, это оставляет ${\displaystyle H_{1}}$ выражаются только терминами, которые резонансно взаимодействуют. Если ${\displaystyle H_{1}}$ кубический, то это трехволновые условия; если квартика, то это четырехволновые члены и так далее. Канонические преобразования можно повторять для получения членов более высокого порядка, если резонансные взаимодействия более низкого порядка не повреждены, и можно умело избегать проблема малого делителя,^[5] что происходит, когда есть близкие к резонансам. Сами термины определяют скорость или скорость перемешивания и иногда называются коэффициенты передачи или матрица передачи. В заключение мы получаем уравнение для временной эволюции нормальных мод с поправкой на члены рассеяния. Выбирая один из режимов из связки, назовите его ${\displaystyle a_{1}}$ ниже временная эволюция имеет общий вид

${\displaystyle {\frac {\partial a_{1}}{\partial t}}+i\omega _{1}=-i\int dk_{2}\cdots dk_{n}\;T_{1\cdots n}\;a_{2}^{\pm }\cdots a_{n}^{\pm }\;\delta _{1\pm 2\pm \cdots \pm n}}$

с ${\displaystyle T_{1\cdots n}}$ коэффициенты передачи для п-волновое взаимодействие, а ${\displaystyle \delta _{1\pm 2\pm \cdots \pm n}=\delta (k_{1}\pm k_{2}\pm \cdots \pm k_{n})}$ улавливать понятие сохранения энергии / импульса, подразумеваемое резонансным взаимодействием. Здесь ${\displaystyle a_{k}^{\pm }}$ либо ${\displaystyle a}$ или же ${\displaystyle a^{*}}$ по мере необходимости. Для глубоководных волн это называется Уравнение Захарова, названный в честь Захаров Владимир Евгеньевич.

История

Впервые резонансные взаимодействия были рассмотрены и описаны Анри Пуанкаре в XIX веке при анализе ряд возмущений описание 3-х корпусный планетарное движение. Члены первого порядка в пертурбативном ряду можно понимать как матрица; то собственные значения матрицы соответствуют основным модам в возмущенном решении. Пуанкаре заметил, что во многих случаях существуют целочисленные линейные комбинации собственных значений, сумма которых равна нулю; это оригинал резонансное взаимодействие. В резонансе передача энергии между режимами может поддерживать систему в стабильном состоянии. с фазовой синхронизацией государственный. Однако перейти ко второму порядку сложно по нескольким причинам. Один из них - это вырожденные решения сложно диагонализовать (единственного векторного базиса вырожденного пространства нет). Вторая проблема заключается в том, что различия появляются в знаменателе членов второго и более высоких порядков в ряду возмущений; небольшие отличия приводят к знаменитым проблема малого делителя. Их можно интерпретировать как соответствующие хаотическому поведению. Грубо говоря, точные резонансы приводят к рассеянию и смешиванию; приближенные резонансы приводят к хаотическому поведению.

Приложения

Резонансные взаимодействия нашли широкое применение во многих областях. Ниже приводится избранный список некоторых из них, указывающий на широкий спектр областей, в которых были применены идеи.

• На большой глубине трехволнового взаимодействия между поверхностные гравитационные волны; форма дисперсионного соотношения этого не допускает. Однако существует четырехволновое взаимодействие; он очень хорошо описывает экспериментально наблюдаемое взаимодействие наклонно движущихся волн (т.е. без свободных параметров или настроек).^[6] В Гамильтонов формализм для глубоководных волн был дан Захаров в 1968 г.^[4]
• Разбойные волны необычно большие и неожиданные океанские поверхностные волны; солитоны подразумеваются, в частности, резонансные взаимодействия между тремя из них.^[7]
• Россби волны, также известные как планетарные волны, описывают как струйный поток и океанские волны, которые движутся по термоклин. Существуют трехволновые резонансные взаимодействия волн Россби, и поэтому они обычно изучаются как таковые.^[8]
• Было обнаружено, что резонансные взаимодействия волн Россби связаны с Диофантовы уравнения, обычно считается темой в теории чисел.^[9]
• В летнее время на мелководье прибрежных вод низкочастотные звуковые волны распространяются аномальным образом. Аномалии зависят от времени, анизотропный, и может показывать аномально большие затухание. Резонансное взаимодействие акустических волн и солитон внутренние волны были предложены в качестве источника этих аномалий.^[10]
• В астрофизика, нелинейные резонансные взаимодействия между короблением и колебаниями в релятивистски вращающемся аккреционный диск вокруг черная дыра были предложены в качестве источника наблюдаемых килогерц квазипериодические колебания в маломассивном рентгеновские двойные системы.^[11] Нелинейность, обеспечивающая связь, обусловлена ​​общей теорией относительности; аккреционные диски в ньютоновской гравитации, например Кольца Сатурна не имеют этого особого вида резонансного взаимодействия (однако они демонстрируют множество других видов резонансов).
• В течение космический корабль вход в атмосферу, высокая скорость космического корабля нагревает воздух до раскаленного плазма. Эта плазма непроницаема для радиоволн, что приводит к отключению радиосвязи. Резонансные взаимодействия, которые механически (акустически) связывают космический аппарат с плазмой, были исследованы как средство пробивания дыры или туннелирования радиоволны, таким образом восстанавливая радиосвязь во время критической фазы полета.^[12]
• Резонансные взаимодействия были предложены как способ сочетания высокого пространственного разрешения электронные микроскопы к высокому временному разрешению лазеры, что позволяет проводить точную микроскопию как в пространстве, так и во времени.^[13] Резонансное взаимодействие происходит между свободными электронами и связанными электронами на поверхности материала.
• Заряженные частицы может быть ускорен резонансным взаимодействием с электромагнитными волнами.^[14] Скалярные частицы (нейтральные атомы), описываемые Уравнение Клейна-Гордона может быть ускорен гравитационные волны (например те, которые испускаются в результате слияния черных дыр.)^[15]
• Физическая основа макромолекулярной биоактивности - молекулярное распознавание - в белок -белковые и белковые-ДНК взаимодействие, плохо изучено. Такие взаимодействия известны как электромагнитные (очевидно, его «химия»), но в остальном они плохо изучены (это не «просто водородные связи "). модель резонансного распознавания (RRM) описывает такое молекулярное связывание с точки зрения резонансных взаимодействий.^[16][17] Учитывая белок, валентные электроны на различных аминокислоты делокализовать, и имеют некоторую свободу передвижения внутри белка. Их поведение можно относительно просто смоделировать с помощью электронно-ионного псевдопотенциал (EIIP), по одному для каждой отдельной аминокислоты или нуклеотид. Результат моделирования обеспечивает спектры, которые доступны экспериментально, что подтверждает численные результаты. Кроме того, в модели предусмотрены необходимые соотношение дисперсии из которых можно вывести резонансные взаимодействия. Резонансные взаимодействия получаются путем вычисления кросс-спектры. Поскольку резонансные взаимодействия смешивают состояния (и тем самым изменяют энтропия ), признание может происходить через энтропийные силы.
• Резонансное взаимодействие между высокочастотными электромагнитными полями и раковые клетки был предложен как метод лечения рака.^[18]

Смотрите также

• Трехволновое уравнение
• Метод обратной задачи рассеяния
• S-матрица
• Орбитальный резонанс
• Нелинейный резонанс
• Приливный резонанс
• Арнольд язык

Рекомендации

1. МакКомас, К. Генри; Бретертон, Фрэнсис П. (1977). «Резонансное взаимодействие океанских внутренних волн». Журнал геофизических исследований. 82 (9): 1397–1412. Bibcode:1977JGR .... 82.1397M. Дои:10.1029 / JC082i009p01397.
2. Янссен, П. А. Э. М. (2009). «О некоторых следствиях канонического преобразования в гамильтоновой теории волн на воде». J. Жидкий мех. 637: 1–44. Bibcode:2009JFM ... 637 .... 1J. Дои:10.1017 / S0022112009008131.
3. Онорато, Мигель; Возелла, Лара; Промент, Давиде; Львов, Юрий В. (2015). «Путь к термализации в системе α-Ферми – Паста – Улама». Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 112 (14): 4208–4213. arXiv:1402.1603. Bibcode:2015ПНАС..112.4208O. Дои:10.1073 / pnas.1404397112. ЧВК  4394280. PMID  25805822.
4. Захаров, В. (1968). «Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубинной жидкости». J. Appl. Мех. Tech. Phys. 9 (2): 190–194. Bibcode:1968JAMTP ... 9..190Z. Дои:10.1007 / BF00913182. S2CID  55755251.
5. «Малые знаменатели», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
6. Bonnefoy, F .; Haudin, F .; Michel, G .; Семин, Б .; Humbert, T .; Aumaître, S .; Berhanu, M .; Сокол, Э. (2018). «Наблюдение резонансных взаимодействий поверхностных гравитационных волн». J. Жидкий мех. 805: R3. arXiv:1606.09009. Дои:10.1017 / jfm.2016.576. S2CID  1694066.
7. Ян, Бо; Ян, Цзянькэ (2020). «Общие волны-убийцы в трехволновых системах резонансного взаимодействия». arXiv:2005.10847.
8. Лонге-Хиггинс, Майкл Селвин; Гилл, Адриан Эдмунд (1967). «Резонансные взаимодействия планетарных волн». Труды Королевского общества А. 299 (1456): 120–144. Bibcode:1967RSPSA.299..120L. Дои:10.1098 / rspa.1967.0126. S2CID  120179723.
9. Кишимото, Нобу; Йонеда, Цуёси (2017). «Теоретическое число наблюдений резонансного взаимодействия волн Россби». Математический журнал Кодай. 40 (1): 16–20. arXiv:1409.1031. Дои:10,2996 / kmj / 1490083220. S2CID  118262278.
10. Чжоу, Цзи-сюнь; Чжан, Сюэ-чжэнь (1991). «Резонансное взаимодействие звуковой волны с внутренними солитонами в прибрежной зоне». Журнал акустического общества Америки. 90 (4): 2042–2054. Bibcode:1991ASAJ ... 90.2042Z. Дои:10.1121/1.401632.
11. Като, Сёдзи (2004). «Резонансные взаимодействия волновой деформации в релятивистских дисках и кГц QPO». Публикации Астрономического общества Японии. 56 (3): 599–607. Bibcode:2004PASJ ... 56..559K. Дои:10.1093 / pasj / 56.3.599.
12. Богатская, А. В .; Кленов, Н. В .; Терешонок, М.В .; Аджемов, С. С .; Попов, А. М. (2018). «Резонансное взаимодействие электромагнитной волны со слоем плазмы и преодоление проблемы отключения радиосвязи». Журнал физики D: Прикладная физика. 51 (18): 185602. Bibcode:2018JPhD ... 51r5602B. Дои:10.1088 / 1361-6463 / aab756.
13. Говер, Авраам; Ярив, Амнон (2020). «Резонансное взаимодействие свободных электронов и связанных электронов». Письма с физическими проверками. 124 (6): 064801. Bibcode:2020PhRvL.124f4801G. Дои:10.1103 / PhysRevLett.124.064801.
14. Васильев, А. А .; Артемьев, А. В .; Neishtadt, A. I .; Вайнштейн, Д. Л .; Зеленый, Л. М. (2012). «Резонансное взаимодействие заряженных частиц с электромагнитными волнами». Хаос, сложность и транспорт. С. 16–23. Дои:10.1142/9789814405645_0002.
15. Asenjo, Felipe A .; Махаджан, Сводеш М. (2020). «Резонансное взаимодействие между дисперсными гравитационными волнами и скалярными массивными частицами». Phys. Ред. D. 101 (6): 063010. Bibcode:2020ПхРвД.101ф3010А. Дои:10.1103 / PhysRevD.101.063010.
16. Cosic, Ирена (1994). «Макромолекулярная биоактивность: резонансное взаимодействие между макромолекулами? Теория и приложения». IEEE Trans. Биомед. Англ.. 41 (12): 1101–14. Дои:10.1109/10.335859. PMID  7851912. S2CID  23892544.
17. Cosic, Ирена (1997). Модель резонансного распознавания макромолекулярной биоактивности. Берлин: Биркхойзер. ISBN  3-7643-5487-9.
18. Калабро, Эмануэле; Magazù, Сальваторе (2018). «Резонансное взаимодействие между электромагнитными полями и белками: возможная отправная точка для лечения рака». Электромагнитная биология и медицина. 37 (2): 1–14. Дои:10.1080/15368378.2018.1499031. PMID  30019948. S2CID  51678917.